modfzo0difsn - Metamath Proof Explorer

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Theorem modfzo0difsn 12742

Description: For a number within a half-open range of nonnegative integers with one excluded integer there is a positive integer so that the number is equal to the sum of the positive integer and the excluded integer modulo the upper bound of the range. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
modfzo0difsn	..^ $/\$ ..^ $\$ ..^

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem modfzo0difsn**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3732	. . . . . 6 ..^ $\$ ..^
2		elfzoelz 12470	. . . . . . 7 ..^
3	2	zred 11482	. . . . . 6 ..^
4	1, 3	syl 17	. . . . 5 ..^ $\$
5		elfzoelz 12470	. . . . . 6 ..^
6	5	zred 11482	. . . . 5 ..^
7		leloe 10124	. . . . 5 $/\$ $\/$
8	4, 6, 7	syl2anr 495	. . . 4 ..^ $/\$ ..^ $\$ $\/$
9		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . 12 ..^ $/\$ $/\$
10		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $/\$
11		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18	17	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
20	13, 16, 19	subadd23d 10414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
22		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
23		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
24		znnsub 11423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
25	22, 23, 24	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
26	25	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
27		nn0nnaddcl 11324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
28	21, 26, 27	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	20, 28	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	36, 39	sublt0d 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	41	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
44	35, 38, 43	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	44, 47	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		ltaddnegr 10252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	42, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		elfzo1 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $/\$ $/\$
54	30, 33, 52, 53	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ ..^
55	54	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ ..^
56	10, 55	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $/\$ ..^
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ ..^
58	57	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ ..^ ..^
59	9, 58	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
60	1, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ..^ $\$ ..^ ..^
61	60	impcom 446	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
62	61	impcom 446	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
63		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
64	2	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $/\$ $/\$
66	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $/\$ $/\$
68	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ $/\$ $/\$
70	65, 67, 69	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ $/\$ $/\$
72	1, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ $\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
74	73	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
75	10, 74	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$
76	75	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
78		nppcan 10303	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$
80	63, 79	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$
82	81	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$
83	9	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ $/\$ $/\$
84	83	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ $/\$ $/\$
85	1, 84	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ..^ $\$ ..^ $/\$ $/\$
86	85	impcom 446	. . . . . . . . . 10 ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
87	86	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
88		addmodidr 12719	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
89	88	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$
91	62, 82, 90	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
92	91	ex 450	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
93		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 ..^ $\$ ..^ $/\$
94		eqneqall 2805	. . . . . . . . . . 11 ..^
95	94	com12 32	. . . . . . . . . 10 ..^
96	95	adantl 482	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^
97	93, 96	sylbi 207	. . . . . . . 8 ..^ $\$ ..^
98	97	adantl 482	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
99	98	com12 32	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
100	92, 99	jaoi 394	. . . . 5 $\/$ ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
101	100	com12 32	. . . 4 ..^ $/\$ ..^ $\$ $\/$ ..^
102	8, 101	sylbid 230	. . 3 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
103	102	com12 32	. 2 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
104		ltnle 10117	. . . . . . . . 9 $/\$
105	6, 4, 104	syl2an 494	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ $\$
106	105	bicomd 213	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $\$
107	22	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
108		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
110		znnsub 11423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
111	107, 109, 110	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116	115	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
118		subge02 10544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
119	34, 38, 118	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
120	117, 119	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
121	38	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
122	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
123	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
124	121, 122, 123	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	43	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
126	125	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
127		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
128		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
129	126, 127, 128	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	120, 132	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
134	133	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
135	134	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	112, 114, 136	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	137	exp31 630	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	9, 139	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 ..^ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	1, 140	syl 17	. . . . . . . . . 10 ..^ $\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	com12 32	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
143	10, 142	sylbi 207	. . . . . . . 8 ..^ ..^ $\$ $/\$ $/\$
144	143	imp 445	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
145	106, 144	sylbid 230	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
146	145	impcom 446	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$ $/\$
147		elfzo1 12517	. . . . 5 ..^ $/\$ $/\$
148	146, 147	sylibr 224	. . . 4 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
149		oveq1 6657	. . . . . . 7
150	1, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ..^ $\$
151	5	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 ..^
152		npcan 10290	. . . . . . . . 9 $/\$
153	150, 151, 152	syl2anr 495	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ $\$
154	153	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$
155	149, 154	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$
156	155	oveq1d 6665	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$
157	156	eqeq2d 2632	. . . 4 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ $/\$
158		zmodidfzoimp 12700	. . . . . . . 8 ..^
159	1, 158	syl 17	. . . . . . 7 ..^ $\$
160	159	adantl 482	. . . . . 6 ..^ $/\$ ..^ $\$
161	160	adantl 482	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$
162	161	eqcomd 2628	. . . 4 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$
163	148, 157, 162	rspcedvd 3317	. . 3 $/\$ ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
164	163	ex 450	. 2 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^
165	103, 164	pm2.61i 176	1 ..^ $/\$ ..^ $\$ ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913 $\$ cdif 3571

csn 4177 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377 ..^cfzo 12465

cmo 12668

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669

This theorem is referenced by: cshimadifsn 13575

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