Theorem modsumfzodifsn 12743

Description: The sum of a number within a half-open range of positive integers is an element of the corresponding open range of nonnegative integers with one excluded integer modulo the excluded integer. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modsumfzodifsn	|- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Proof of Theorem modsumfzodifsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 12508	. . . . . 6 |- ( J e. ( 0..^ N ) <-> ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) )
2		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. ZZ )
3	2	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. RR )
4		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( J e. NN0 -> J e. RR )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> J e. RR )
6		readdcl 10019	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR ) -> ( K + J ) e. RR )
7	3, 5, 6	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
8		nnrp 11842	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
9	8	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. RR+ )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR+ )
11	7, 10	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR+ ) )
12	1, 11	sylanb 489	. . . . 5 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR+ ) )
13	12	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR+ ) )
14		elfzo1 12517	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1..^ N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) )
15		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
16	15	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> K e. NN0 )
17	14, 16	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. NN0 )
18		elfzonn0 12512	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. NN0 )
19		nn0addcl 11328	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ J e. NN0 ) -> ( K + J ) e. NN0 )
20	17, 18, 19	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. NN0 )
21	20	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K + J ) e. NN0 )
22	21	nn0ge0d 11354	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> 0 <_ ( K + J ) )
23		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K + J ) < N )
24	22, 23	jca 554	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( 0 <_ ( K + J ) /\ ( K + J ) < N ) )
25		modid 12695	. . . 4 |- ( ( ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( K + J ) /\ ( K + J ) < N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
26	13, 24, 25	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( K + J ) )
27		simp2 1062	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. NN )
28	1, 27	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. NN )
29	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. NN )
30	29	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> N e. NN )
31		elfzo0 12508	. . . . 5 |- ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( K + J ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( K + J ) < N ) )
32	21, 30, 23, 31	syl3anbrc 1246	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K + J ) e. ( 0..^ N ) )
33	2	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K e. CC )
34	33	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. CC )
35		0cnd 10033	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> 0 e. CC )
36		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ZZ )
37	36	zcnd 11483	. . . . . . . 8 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. CC )
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. CC )
39		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN -> K =/= 0 )
40	39	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> K =/= 0 )
41	14, 40	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K =/= 0 )
42	41	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K =/= 0 )
43	34, 35, 38, 42	addneintr2d 10244	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) =/= ( 0 + J ) )
44	43	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K + J ) =/= ( 0 + J ) )
45	38	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> J e. CC )
46		addid2 10219	. . . . . . 7 |- ( J e. CC -> ( 0 + J ) = J )
47	46	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( J e. CC -> J = ( 0 + J ) )
48	45, 47	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> J = ( 0 + J ) )
49	44, 48	neeqtrrd 2868	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K + J ) =/= J )
50		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( K + J ) e. ( 0..^ N ) /\ ( K + J ) =/= J ) )
51	32, 49, 50	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K + J ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
52	26, 51	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
53		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. ZZ )
54	53	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. CC )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. CC )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> N e. CC )
57	56	mulm1d 10482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( -u 1 x. N ) = -u N )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) + -u N ) )
59		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ J e. ZZ ) -> ( K + J ) e. ZZ )
60	2, 36, 59	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. ZZ )
61	60	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. CC )
62	61, 55	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) e. CC /\ N e. CC ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) e. CC /\ N e. CC ) )
64		negsub 10329	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K + J ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) + -u N ) = ( ( K + J ) - N ) )
66	58, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) = ( ( K + J ) - N ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) )
68	2, 36, 59	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ( 1..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( K + J ) e. ZZ )
69	68	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ( 1..^ N ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
70	69	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
71	53	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. RR )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR )
73	70, 72	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. RR )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. RR )
75	27	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> N e. RR+ )
76	1, 75	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. RR+ )
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR+ )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> N e. RR+ )
79		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( K e. NN -> K e. RR )
80	79	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> K e. RR )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> K e. RR )
82	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J e. NN0 /\ J < N ) -> J e. RR )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> J e. RR )
84		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N e. RR )
85	84	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> N e. RR )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> N e. RR )
87		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> N e. RR )
88	6	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> ( K + J ) e. RR )
89	87, 88	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> ( N <_ ( K + J ) <-> -. ( K + J ) < N ) )
90	89	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> ( -. ( K + J ) < N -> N <_ ( K + J ) ) )
91	88, 87	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) <-> N <_ ( K + J ) ) )
92	90, 91	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> ( -. ( K + J ) < N -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
93	81, 83, 86, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( -. ( K + J ) < N -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
94	82, 80	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( K e. RR /\ J e. RR ) )
95	84, 84	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ N e. RR ) )
96	95	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( N e. RR /\ N e. RR ) )
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( N e. RR /\ N e. RR ) )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. NN0 /\ J < N ) -> J < N )
99		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> K < N )
100	98, 99	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( K < N /\ J < N ) )
101	94, 97, 100	jca31 557	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) )
102		lt2add 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) -> ( ( K < N /\ J < N ) -> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
103	102	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
104	101, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
105	80, 82, 6	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
106		ltsubadd 10498	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
107	105, 86, 86, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
108	104, 107	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
109	93, 108	jctird 567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. NN0 /\ J < N ) /\ ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) ) -> ( -. ( K + J ) < N -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) )
110	109	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. NN0 /\ J < N ) -> ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( -. ( K + J ) < N -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) ) )
111	14, 110	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. NN0 /\ J < N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( -. ( K + J ) < N -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) ) )
112	111	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( -. ( K + J ) < N -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) ) )
113	1, 112	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( -. ( K + J ) < N -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) ) )
114	113	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( -. ( K + J ) < N -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) )
115	114	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) )
116	74, 78, 115	jca31 557	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( ( K + J ) - N ) e. RR /\ N e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) )
117		modid 12695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( K + J ) - N ) e. RR /\ N e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( ( K + J ) - N ) /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
119	67, 118	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
120	119	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) )
121	1, 9	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> N e. RR+ )
122	121	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR+ )
123		neg1z 11413	. . . . . . 7 |- -u 1 e. ZZ
124	123	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> -u 1 e. ZZ )
125		modcyc 12705	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR+ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
126	70, 122, 124, 125	syl2an23an 1387	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( ( K + J ) + ( -u 1 x. N ) ) mod N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
127	120, 126	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K + J ) mod N ) )
128	127	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) = ( ( K + J ) - N ) )
129	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. ZZ )
130	60, 129	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
131	130	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ZZ )
132	3	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> K e. RR )
133	36	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. RR )
134	133	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> J e. RR )
135	91	biimprd 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> ( N <_ ( K + J ) -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
136	89, 135	sylbird 250	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. RR /\ J e. RR /\ N e. RR ) -> ( -. ( K + J ) < N -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
137	132, 134, 72, 136	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( -. ( K + J ) < N -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
138	137	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> 0 <_ ( ( K + J ) - N ) )
139		elnn0z 11390	. . . . . 6 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( K + J ) - N ) ) )
140	131, 138, 139	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. NN0 )
141	29	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> N e. NN )
142	101	expcom 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( ( J e. NN0 /\ J < N ) -> ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) ) )
143	14, 142	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( ( J e. NN0 /\ J < N ) -> ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) ) )
144	143	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. NN0 /\ J < N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) ) )
145	144	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) ) )
146	1, 145	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) ) )
147	146	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( ( K e. RR /\ J e. RR ) /\ ( N e. RR /\ N e. RR ) ) /\ ( K < N /\ J < N ) ) )
148	147, 103	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) < ( N + N ) )
149	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> J e. RR )
150	3, 149, 6	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K + J ) e. RR )
151	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> N e. RR )
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> N e. RR )
153	150, 152, 152	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) )
154	153	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) ) )
155	154	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. NN0 /\ N e. NN /\ J < N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) ) )
156	1, 155	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( K e. ( 1..^ N ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) ) )
157	156	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) e. RR /\ N e. RR /\ N e. RR ) )
158	157, 106	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( ( K + J ) - N ) < N <-> ( K + J ) < ( N + N ) ) )
159	148, 158	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
160	159	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) < N )
161		elfzo0 12508	. . . . 5 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( ( K + J ) - N ) < N ) )
162	140, 141, 160, 161	syl3anbrc 1246	. . . 4 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) )
163		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. NN -> K e. CC )
164		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. CC )
165		subcl 10280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - N ) e. CC )
166	163, 164, 165	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K - N ) e. CC )
167	166	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> ( K - N ) e. CC )
168	14, 167	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K - N ) e. CC )
169	168	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) e. CC )
170	169	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K - N ) e. CC )
171		0cnd 10033	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> 0 e. CC )
172	38	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> J e. CC )
173		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> N e. ZZ )
174	173	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> N e. CC )
175	80, 99	ltned 10173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K < N ) -> K =/= N )
176	14, 175	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> K =/= N )
177	33, 174, 176	subne0d 10401	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 1..^ N ) -> ( K - N ) =/= 0 )
178	177	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K - N ) =/= 0 )
179	178	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K - N ) =/= 0 )
180	170, 171, 172, 179	addneintr2d 10244	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K - N ) + J ) =/= ( 0 + J ) )
181	34, 38, 55	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
182	181	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) )
183		addsub 10292	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ J e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K - N ) + J ) )
184	182, 183	syl 17	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) = ( ( K - N ) + J ) )
185	172, 46	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( 0 + J ) = J )
186	185	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> J = ( 0 + J ) )
187	180, 184, 186	3netr4d 2871	. . . 4 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) =/= J )
188		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) <-> ( ( ( K + J ) - N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( K + J ) - N ) =/= J ) )
189	162, 187, 188	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) - N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
190	128, 189	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( -. ( K + J ) < N /\ ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )
191	52, 190	pm2.61ian 831	1 |- ( ( J e. ( 0..^ N ) /\ K e. ( 1..^ N ) ) -> ( ( K + J ) mod N ) e. ( ( 0..^ N ) \ { J } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669

This theorem is referenced by:  cshimadifsn  13575