frgrregord013 - Metamath Proof Explorer

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Theorem frgrregord013 27253

Description: If a finite friendship graph is

-regular, then it must have order 0, 1 or 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
frgrreggt1.v	Vtx

**Assertion**
Ref	Expression
frgrregord013	FriendGraph $/\$ $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$

Proof of Theorem frgrregord013 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashcl 13147	. . 3
2		ax-1 6	. . . . 5 $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
3		3ioran 1056	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $/\$ $/\$
4		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . 13
5		hasheq0 13154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6	5	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
7	6	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
8		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
9		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10		eluz2b3 11762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
11		hash2prde 13252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
12		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
14		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
16		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
17	13, 15, 16	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$
18		frgrreggt1.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Vtx
19	18	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Vtx
20	19	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Vtx
21		nfrgr2v 27136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ $/\$ Vtx FriendGraph
22	17, 20, 21	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ FriendGraph
23		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 FriendGraph FriendGraph
24	22, 23	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ FriendGraph
25	24	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
27	26	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
28	11, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
30	29	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
31	30	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
33	32	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
34	33	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 VtxDeg VtxDeg
36	18, 35	rusgrprop0 26463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 RegUSGraph USGraph $/\$ NN0* $/\$ VtxDeg
37		eluz2gt1 11760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
38	37	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 FriendGraph $/\$ FriendGraph $/\$
39	38	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 $/\$ FriendGraph FriendGraph $/\$
40	18	vdgn0frgrv2 27159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 FriendGraph $/\$ VtxDeg
41	40	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 FriendGraph $/\$ VtxDeg
42	41	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 FriendGraph $/\$ VtxDeg
43		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 VtxDeg VtxDeg
44	43	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 VtxDeg VtxDeg
45		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 VtxDeg $/\$ VtxDeg VtxDeg $/\$ VtxDeg
46		nne 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 VtxDeg VtxDeg
47	46	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 VtxDeg VtxDeg
48	47	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 VtxDeg $/\$ VtxDeg VtxDeg $/\$ VtxDeg
49		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 VtxDeg $/\$ VtxDeg VtxDeg $/\$ VtxDeg
50		pm3.24 926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 VtxDeg $/\$ VtxDeg
51	50	bifal 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 VtxDeg $/\$ VtxDeg
52	48, 49, 51	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 VtxDeg $/\$ VtxDeg
53	52	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 VtxDeg $/\$ VtxDeg
54		r19.3rzv 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
55		falim 1498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 $\/$ $\/$
56	54, 55	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 $\/$ $\/$
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 $/\$ $\/$ $\/$
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 $/\$ $\/$ $\/$
59	53, 58	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 VtxDeg $/\$ VtxDeg $/\$ $\/$ $\/$
60	45, 59	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 VtxDeg $/\$ VtxDeg $/\$ $\/$ $\/$
61	60	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 VtxDeg VtxDeg $/\$ $\/$ $\/$
62	44, 61	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 VtxDeg VtxDeg $/\$ $\/$ $\/$
63	62	com4t 93	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 VtxDeg $/\$ VtxDeg $\/$ $\/$
64	39, 42, 63	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 $/\$ FriendGraph $/\$ VtxDeg $\/$ $\/$
65	64	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 FriendGraph $/\$ VtxDeg $\/$ $\/$
66	65	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 VtxDeg $/\$ FriendGraph $\/$ $\/$
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 $/\$ $/\$ VtxDeg $/\$ FriendGraph $\/$ $\/$
68	67	com15 101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 FriendGraph VtxDeg $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
69	68	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 VtxDeg FriendGraph $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
70	69	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 USGraph $/\$ NN0* $/\$ VtxDeg FriendGraph $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
71	36, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 RegUSGraph FriendGraph $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
72	71	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 FriendGraph $/\$ RegUSGraph $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
73	72	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
74	18	frrusgrord 27205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph
76		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
78	76, 77	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
80		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
81	80	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
82		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
83	81, 82	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
84	83	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
85		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
86	84, 85	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
87	79, 86	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
88	87	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
89		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 $\/$ $\/$
90	89	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
91	90	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
92	88, 91	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
93	75, 92	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
94	18	frgrreg 27252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$
95	94	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$
96	73, 93, 95	mpjaod 396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
97	96	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
98	97	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ FriendGraph $/\$ $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
99	98	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
100	99	exp4c 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
101	100	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
102	101	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
103	102	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
104	103	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
105	104	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
106	105	3imp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
107	106	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
108	34, 107	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
109	108	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
110	10, 109	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
111	110	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
112	9, 111	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
113	112	com25 99	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
114	8, 113	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
115	114	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
116	115	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
117	116	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
118	117	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
119	7, 118	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
120	119	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
121	120	com14 96	. . . . . . . . . . . . 13 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
122	4, 121	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
123	122	com24 95	. . . . . . . . . . 11 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
124	123	3imp 1256	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
125	124	com25 99	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
126	125	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
127	126	com14 96	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
128	127	3imp 1256	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
129	3, 128	sylbi 207	. . . . 5 $\/$ $\/$ $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
130	2, 129	pm2.61i 176	. . . 4 $/\$ $/\$ FriendGraph $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$
131	130	3exp1 1283	. . 3 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
132	1, 131	mpcom 38	. 2 FriendGraph RegUSGraph $\/$ $\/$
133	132	3imp21 1277	1 FriendGraph $/\$ $/\$ RegUSGraph $\/$ $\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wfal 1488

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wnel 2897

wral 2912

cvv 3200

c0 3915

cpr 4179 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cmin 10266

cn 11020

c2 11070

c3 11071

cn0 11292 NN0*cxnn0 11363

cuz 11687

chash 13117 Vtxcvtx 25874 USGraph cusgr 26044 VtxDegcvtxdg 26361 RegUSGraph crusgr 26452 FriendGraph cfrgr 27120

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-ac2 9285 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-ifp 1013 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-ec 7744 df-qs 7748 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-ac 8939 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-word 13299 df-lsw 13300 df-concat 13301 df-s1 13302 df-substr 13303 df-reps 13306 df-csh 13535 df-s2 13593 df-s3 13594 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-phi 15471 df-vtx 25876 df-iedg 25877 df-edg 25940 df-uhgr 25953 df-ushgr 25954 df-upgr 25977 df-umgr 25978 df-uspgr 26045 df-usgr 26046 df-fusgr 26209 df-nbgr 26228 df-vtxdg 26362 df-rgr 26453 df-rusgr 26454 df-wlks 26495 df-wlkson 26496 df-trls 26589 df-trlson 26590 df-pths 26612 df-spths 26613 df-pthson 26614 df-spthson 26615 df-wwlks 26722 df-wwlksn 26723 df-wwlksnon 26724 df-wspthsn 26725 df-wspthsnon 26726 df-clwwlks 26877 df-clwwlksn 26878 df-conngr 27047 df-frgr 27121

This theorem is referenced by: frgrregord13 27254

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