Theorem nmzsubg 17635

Description: The normalizer N_G(S) of a subset S of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
nmzsubg.2	|- X = ( Base ` G )
nmzsubg.3	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
nmzsubg	|- ( G e. Grp -> N e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, y, G   x, S, y   x, .+ , y   x, X, y

Allowed substitution hints:   N( x, y)

Proof of Theorem nmzsubg

Dummy variables z w u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnmz.1	. . . 4 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) }
2		ssrab2 3687	. . . 4 |- { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } C_ X
3	1, 2	eqsstri 3635	. . 3 |- N C_ X
4	3	a1i 11	. 2 |- ( G e. Grp -> N C_ X )
5		nmzsubg.2	. . . . 5 |- X = ( Base ` G )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
7	5, 6	grpidcl 17450	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
8		nmzsubg.3	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
9	5, 8, 6	grplid 17452	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
10	5, 8, 6	grprid 17453	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .+ ( 0g ` G ) ) = z )
11	9, 10	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = ( z .+ ( 0g ` G ) ) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) )
13	12	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( G e. Grp -> A. z e. X ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) )
14	1	elnmz 17633	. . . 4 |- ( ( 0g ` G ) e. N <-> ( ( 0g ` G ) e. X /\ A. z e. X ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) e. S <-> ( z .+ ( 0g ` G ) ) e. S ) ) )
15	7, 13, 14	sylanbrc 698	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. N )
16		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. N -> N =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. 2 |- ( G e. Grp -> N =/= (/) )
18		id 22	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> G e. Grp )
19	3	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( z e. N -> z e. X )
20	3	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( w e. N -> w e. X )
21	5, 8	grpcl 17430	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X /\ w e. X ) -> ( z .+ w ) e. X )
22	18, 19, 20, 21	syl3an 1368	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. X )
23		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> G e. Grp )
24		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> z e. N )
25	3, 24	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> z e. X )
26		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> w e. N )
27	3, 26	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> w e. X )
28		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> u e. X )
29	5, 8	grpass 17431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( z e. X /\ w e. X /\ u e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) .+ u ) = ( z .+ ( w .+ u ) ) )
30	23, 25, 27, 28, 29	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ w ) .+ u ) = ( z .+ ( w .+ u ) ) )
31	30	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S ) )
32	5, 8	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ w e. X /\ u e. X ) -> ( w .+ u ) e. X )
33	23, 27, 28, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( w .+ u ) e. X )
34	1	nmzbi 17634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N /\ ( w .+ u ) e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S ) )
35	24, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S ) )
36	5, 8	grpass 17431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( w e. X /\ u e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( w .+ u ) .+ z ) = ( w .+ ( u .+ z ) ) )
37	23, 27, 28, 25, 36	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( w .+ u ) .+ z ) = ( w .+ ( u .+ z ) ) )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( w .+ u ) .+ z ) e. S <-> ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S ) )
39	5, 8	grpcl 17430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ z e. X ) -> ( u .+ z ) e. X )
40	23, 28, 25, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ z ) e. X )
41	1	nmzbi 17634	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N /\ ( u .+ z ) e. X ) -> ( ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
42	26, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( w .+ ( u .+ z ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
43	35, 38, 42	3bitrd 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( w .+ u ) ) e. S <-> ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S ) )
44	5, 8	grpass 17431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( u .+ z ) .+ w ) = ( u .+ ( z .+ w ) ) )
45	23, 28, 25, 27, 44	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ z ) .+ w ) = ( u .+ ( z .+ w ) ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( u .+ z ) .+ w ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
47	31, 43, 46	3bitrd 294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
48	47	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> A. u e. X ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) )
49	1	elnmz 17633	. . . . . . 7 |- ( ( z .+ w ) e. N <-> ( ( z .+ w ) e. X /\ A. u e. X ( ( ( z .+ w ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( z .+ w ) ) e. S ) ) )
50	22, 48, 49	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. N )
51	50	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ w e. N ) -> ( z .+ w ) e. N )
52	51	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> A. w e. N ( z .+ w ) e. N )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
54	5, 53	grpinvcl 17467	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
55	19, 54	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
56		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> z e. N )
57		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> G e. Grp )
58	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X )
59		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> u e. X )
60	5, 8	grpcl 17430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X ) -> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X )
61	57, 59, 58, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X )
62	5, 8	grpcl 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) e. X )
63	57, 58, 61, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) e. X )
64	1	nmzbi 17634	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S ) )
65	56, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S ) )
66	3, 56	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> z e. X )
67	5, 8, 6, 53	grprinv 17469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( 0g ` G ) )
68	57, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) = ( 0g ` G ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) )
70	5, 8	grpass 17431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( z e. X /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X ) ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) )
71	57, 66, 58, 61, 70	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) )
72	5, 8, 6	grplid 17452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
73	57, 61, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
74	69, 71, 73	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) = ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) )
75	74	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( z .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
76	5, 8	grpass 17431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) )
77	57, 58, 61, 66, 76	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) )
78	5, 8	grpass 17431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( u e. X /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) )
79	57, 59, 58, 66, 78	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) )
80	5, 8, 6, 53	grplinv 17468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
81	57, 66, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) ) = ( u .+ ( 0g ` G ) ) )
83	5, 8, 6	grprid 17453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X ) -> ( u .+ ( 0g ` G ) ) = u )
84	57, 59, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( u .+ ( 0g ` G ) ) = u )
85	79, 82, 84	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) = u )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) .+ z ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) )
87	77, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) )
88	87	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) ) .+ z ) e. S <-> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S ) )
89	65, 75, 88	3bitr3rd 299	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ z e. N ) /\ u e. X ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
90	89	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> A. u e. X ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) )
91	1	elnmz 17633	. . . . 5 |- ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. N <-> ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ A. u e. X ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ u ) e. S <-> ( u .+ ( ( invg ` G ) ` z ) ) e. S ) ) )
92	55, 90, 91	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. N )
93	52, 92	jca 554	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ z e. N ) -> ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) )
94	93	ralrimiva 2966	. 2 |- ( G e. Grp -> A. z e. N ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) )
95	5, 8, 53	issubg2 17609	. 2 |- ( G e. Grp -> ( N e. (SubGrp ` G ) <-> ( N C_ X /\ N =/= (/) /\ A. z e. N ( A. w e. N ( z .+ w ) e. N /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. N ) ) ) )
96	4, 17, 94, 95	mpbir3and 1245	1 |- ( G e. Grp -> N e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591

This theorem is referenced by:  nmznsg  17638  sylow3lem3  18044  sylow3lem4  18045  sylow3lem6  18047