Theorem sylow3lem6 18047

Description: Lemma for sylow3 18048, second part. Using the lemma sylow2a 18034, show that the number of sylow subgroups is equivalent mod P to the number of fixed points under the group action. But K is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so ( ( # ` ( P pSyl G ) ) mod P ) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	|- X = ( Base ` G )
sylow3.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow3.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow3.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow3lem5.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow3lem5.d	|- .- = ( -g ` G )
sylow3lem5.k	|- ( ph -> K e. ( P pSyl G ) )
sylow3lem5.m	|- .(+) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
sylow3lem6.n	|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem6	|- ( ph -> ( ( # ` ( P pSyl G ) ) mod P ) = 1 )

Distinct variable groups:   x, y, z, .-   x, s, y, z, .(+)   K, s, x, y, z   z, N   x, X, y, z   G, s, x, y, z   ph, s, x, y, z   x, .+ , y, z   P, s, x, y, z

Allowed substitution hints:   .+ ( s)   .- ( s)   N( x, y, s)   X( s)

Proof of Theorem sylow3lem6

Dummy variables w g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` ( G ↾s K ) ) = ( Base ` ( G ↾s K ) )
2		sylow3.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
3		sylow3.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
4		sylow3.xf	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
5		sylow3.p	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. Prime )
6		sylow3lem5.a	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
7		sylow3lem5.d	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` G )
8		sylow3lem5.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( P pSyl G ) )
9		sylow3lem5.m	. . . . . 6 |- .(+) = ( x e. K , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	sylow3lem5 18046	. . . . 5 |- ( ph -> .(+) e. ( ( G ↾s K ) GrpAct ( P pSyl G ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( G ↾s K ) = ( G ↾s K )
12	11	slwpgp 18028	. . . . . 6 |- ( K e. ( P pSyl G ) -> P pGrp ( G ↾s K ) )
13	8, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> P pGrp ( G ↾s K ) )
14		slwsubg 18025	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( P pSyl G ) -> K e. (SubGrp ` G ) )
15	8, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
16	11	subgbas 17598	. . . . . . 7 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> K = ( Base ` ( G ↾s K ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> K = ( Base ` ( G ↾s K ) ) )
18	2	subgss 17595	. . . . . . . 8 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> K C_ X )
19	15, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> K C_ X )
20		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( X e. Fin /\ K C_ X ) -> K e. Fin )
21	4, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. Fin )
22	17, 21	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` ( G ↾s K ) ) e. Fin )
23		pwfi 8261	. . . . . . 7 |- ( X e. Fin <-> ~P X e. Fin )
24	4, 23	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P X e. Fin )
25		slwsubg 18025	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( P pSyl G ) -> x e. (SubGrp ` G ) )
26	2	subgss 17595	. . . . . . . . 9 |- ( x e. (SubGrp ` G ) -> x C_ X )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( P pSyl G ) -> x C_ X )
28		selpw 4165	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P X <-> x C_ X )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( x e. ( P pSyl G ) -> x e. ~P X )
30	29	ssriv 3607	. . . . . 6 |- ( P pSyl G ) C_ ~P X
31		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ~P X e. Fin /\ ( P pSyl G ) C_ ~P X ) -> ( P pSyl G ) e. Fin )
32	24, 30, 31	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pSyl G ) e. Fin )
33		eqid 2622	. . . . 5 |- { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s } = { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s }
34		eqid 2622	. . . . 5 |- { <. z , w >. | ( { z , w } C_ ( P pSyl G ) /\ E. h e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( h .(+) z ) = w ) } = { <. z , w >. | ( { z , w } C_ ( P pSyl G ) /\ E. h e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( h .(+) z ) = w ) }
35	1, 10, 13, 22, 32, 33, 34	sylow2a 18034	. . . 4 |- ( ph -> P || ( ( # ` ( P pSyl G ) ) - ( # ` { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s } ) ) )
36		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) = s <-> s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) )
37	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> K C_ X )
38	37	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> g e. X )
39	38	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> ( s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) <-> ( g e. X /\ s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) ) ) )
40	36, 39	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> ( ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) = s <-> ( g e. X /\ s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) ) ) )
41		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> g e. K )
42		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> s e. ( P pSyl G ) )
43		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = g /\ y = s ) -> y = s )
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = g /\ y = s ) -> x = g )
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = g /\ y = s ) -> ( x .+ z ) = ( g .+ z ) )
46	45, 44	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = g /\ y = s ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( g .+ z ) .- g ) )
47	43, 46	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = g /\ y = s ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) )
48	47	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = g /\ y = s ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) )
49		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- s e. _V
50	49	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) e. _V
51	50	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) e. _V
52	48, 9, 51	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g e. K /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> ( g .(+) s ) = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) )
53	41, 42, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> ( g .(+) s ) = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) )
54	53	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> ( ( g .(+) s ) = s <-> ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) = s ) )
55		slwsubg 18025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( P pSyl G ) -> s e. (SubGrp ` G ) )
56	55	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> s e. (SubGrp ` G ) )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) = ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) )
58		sylow3lem6.n	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. s <-> ( y .+ x ) e. s ) }
59	2, 6, 7, 57, 58	conjnmzb 17695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. (SubGrp ` G ) -> ( g e. N <-> ( g e. X /\ s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) ) ) )
60	56, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> ( g e. N <-> ( g e. X /\ s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) .- g ) ) ) ) )
61	40, 54, 60	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ g e. K ) -> ( ( g .(+) s ) = s <-> g e. N ) )
62	61	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> ( A. g e. K ( g .(+) s ) = s <-> A. g e. K g e. N ) )
63		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( K C_ N <-> A. g e. K g e. N )
64	62, 63	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> ( A. g e. K ( g .(+) s ) = s <-> K C_ N ) )
65	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> K = ( Base ` ( G ↾s K ) ) )
66	65	raleqdv 3144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> ( A. g e. K ( g .(+) s ) = s <-> A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s ) )
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` ( G ↾s N ) ) = ( Base ` ( G ↾s N ) )
68	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> G e. Grp )
69	58, 2, 6	nmzsubg 17635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Grp -> N e. (SubGrp ` G ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> N e. (SubGrp ` G ) )
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G ↾s N ) = ( G ↾s N )
72	71	subgbas 17598	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. (SubGrp ` G ) -> N = ( Base ` ( G ↾s N ) ) )
73	70, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> N = ( Base ` ( G ↾s N ) ) )
74	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> X e. Fin )
75	2	subgss 17595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. (SubGrp ` G ) -> N C_ X )
76	70, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> N C_ X )
77		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. Fin /\ N C_ X ) -> N e. Fin )
78	74, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> N e. Fin )
79	73, 78	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> ( Base ` ( G ↾s N ) ) e. Fin )
80	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> K e. ( P pSyl G ) )
81		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> K C_ N )
82	71	subgslw 18031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. (SubGrp ` G ) /\ K e. ( P pSyl G ) /\ K C_ N ) -> K e. ( P pSyl ( G ↾s N ) ) )
83	70, 80, 81, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> K e. ( P pSyl ( G ↾s N ) ) )
84		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> s e. ( P pSyl G ) )
85	55	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> s e. (SubGrp ` G ) )
86	58, 2, 6	ssnmz 17636	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. (SubGrp ` G ) -> s C_ N )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> s C_ N )
88	71	subgslw 18031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. (SubGrp ` G ) /\ s e. ( P pSyl G ) /\ s C_ N ) -> s e. ( P pSyl ( G ↾s N ) ) )
89	70, 84, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> s e. ( P pSyl ( G ↾s N ) ) )
90		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` G ) e. _V
91	2, 90	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- X e. _V
92	58, 91	rabex2 4815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N e. _V
93	71, 6	ressplusg 15993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. _V -> .+ = ( +g ` ( G ↾s N ) ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` ( G ↾s N ) )
95		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -g ` ( G ↾s N ) ) = ( -g ` ( G ↾s N ) )
96	67, 79, 83, 89, 94, 95	sylow2 18041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> E. g e. ( Base ` ( G ↾s N ) ) K = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) )
97	58, 2, 6, 71	nmznsg 17638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. (SubGrp ` G ) -> s e. (NrmSGrp ` ( G ↾s N ) ) )
98	85, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> s e. (NrmSGrp ` ( G ↾s N ) ) )
99		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) = ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) )
100	67, 94, 95, 99	conjnsg 17696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. (NrmSGrp ` ( G ↾s N ) ) /\ g e. ( Base ` ( G ↾s N ) ) ) -> s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) )
101	98, 100	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) /\ g e. ( Base ` ( G ↾s N ) ) ) -> s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) )
102		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) -> ( s = K <-> s = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) ) )
103	101, 102	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) /\ g e. ( Base ` ( G ↾s N ) ) ) -> ( K = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) -> s = K ) )
104	103	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> ( E. g e. ( Base ` ( G ↾s N ) ) K = ran ( z e. s |-> ( ( g .+ z ) ( -g ` ( G ↾s N ) ) g ) ) -> s = K ) )
105	96, 104	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ K C_ N ) -> s = K )
106		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ s = K ) -> s = K )
107	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ s = K ) -> K e. (SubGrp ` G ) )
108	106, 107	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ s = K ) -> s e. (SubGrp ` G ) )
109	108, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ s = K ) -> s C_ N )
110	106, 109	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) /\ s = K ) -> K C_ N )
111	105, 110	impbida 877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> ( K C_ N <-> s = K ) )
112	64, 66, 111	3bitr3d 298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( P pSyl G ) ) -> ( A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s <-> s = K ) )
113	112	rabbidva 3188	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s } = { s e. ( P pSyl G ) | s = K } )
114		rabsn 4256	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( P pSyl G ) -> { s e. ( P pSyl G ) | s = K } = { K } )
115	8, 114	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { s e. ( P pSyl G ) | s = K } = { K } )
116	113, 115	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s } = { K } )
117	116	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s } ) = ( # ` { K } ) )
118		hashsng 13159	. . . . . . 7 |- ( K e. ( P pSyl G ) -> ( # ` { K } ) = 1 )
119	8, 118	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` { K } ) = 1 )
120	117, 119	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s } ) = 1 )
121	120	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` ( P pSyl G ) ) - ( # ` { s e. ( P pSyl G ) | A. g e. ( Base ` ( G ↾s K ) ) ( g .(+) s ) = s } ) ) = ( ( # ` ( P pSyl G ) ) - 1 ) )
122	35, 121	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> P || ( ( # ` ( P pSyl G ) ) - 1 ) )
123		prmnn 15388	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
124	5, 123	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN )
125		hashcl 13147	. . . . . 6 |- ( ( P pSyl G ) e. Fin -> ( # ` ( P pSyl G ) ) e. NN0 )
126	32, 125	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( P pSyl G ) ) e. NN0 )
127	126	nn0zd 11480	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( P pSyl G ) ) e. ZZ )
128		1zzd 11408	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
129		moddvds 14991	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ ( # ` ( P pSyl G ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( ( # ` ( P pSyl G ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( # ` ( P pSyl G ) ) - 1 ) ) )
130	124, 127, 128, 129	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( # ` ( P pSyl G ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) <-> P || ( ( # ` ( P pSyl G ) ) - 1 ) ) )
131	122, 130	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` ( P pSyl G ) ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
132		prmuz2 15408	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
133		eluz2b2 11761	. . . 4 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
134		nnre 11027	. . . . 5 |- ( P e. NN -> P e. RR )
135		1mod 12702	. . . . 5 |- ( ( P e. RR /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
136	134, 135	sylan 488	. . . 4 |- ( ( P e. NN /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
137	133, 136	sylbi 207	. . 3 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
138	5, 132, 137	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( 1 mod P ) = 1 )
139	131, 138	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( ( # ` ( P pSyl G ) ) mod P ) = 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   RRcr 9935   1c1 9937   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   mod cmo 12668   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588  NrmSGrpcnsg 17589   pGrp cpgp 17946   pSyl cslw 17947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-ga 17723  df-od 17948  df-pgp 17950  df-slw 17951

This theorem is referenced by:  sylow3  18048