Theorem nnsum3primesprm 41678

Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsum3primesprm	|- ( P e. Prime -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ P = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )

Distinct variable group:   P, d, f, k

Proof of Theorem nnsum3primesprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11031	. 2 |- 1 e. NN
2		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> 1 e. ZZ )
3		id 22	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> P e. Prime )
4	2, 3	fsnd 6179	. . . 4 |- ( P e. Prime -> { <. 1 , P >. } : { 1 } --> Prime )
5		prmex 15391	. . . . 5 |- Prime e. _V
6		snex 4908	. . . . 5 |- { 1 } e. _V
7	5, 6	elmap 7886	. . . 4 |- ( { <. 1 , P >. } e. ( Prime ^m { 1 } ) <-> { <. 1 , P >. } : { 1 } --> Prime )
8	4, 7	sylibr 224	. . 3 |- ( P e. Prime -> { <. 1 , P >. } e. ( Prime ^m { 1 } ) )
9		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
10		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ k e. { 1 } ) -> P e. Prime )
11		fvsng 6447	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR /\ P e. Prime ) -> ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) = P )
12	9, 10, 11	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ k e. { 1 } ) -> ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) = P )
13	12	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. { 1 } ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) = sum_ k e. { 1 } P )
14		prmz 15389	. . . . . . 7 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
15	14	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. CC )
16		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( k = 1 -> P = P )
17	16	sumsn 14475	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ P e. CC ) -> sum_ k e. { 1 } P = P )
18	9, 15, 17	sylancr 695	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> sum_ k e. { 1 } P = P )
19	13, 18	eqtr2d 2657	. . . 4 |- ( P e. Prime -> P = sum_ k e. { 1 } ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) )
20		1le3 11244	. . . 4 |- 1 <_ 3
21	19, 20	jctil 560	. . 3 |- ( P e. Prime -> ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) ) )
22		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( f = { <. 1 , P >. } /\ k e. { 1 } ) -> f = { <. 1 , P >. } )
23		elsni 4194	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { 1 } -> k = 1 )
24	23	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( f = { <. 1 , P >. } /\ k e. { 1 } ) -> k = 1 )
25	22, 24	fveq12d 6197	. . . . . . 7 |- ( ( f = { <. 1 , P >. } /\ k e. { 1 } ) -> ( f ` k ) = ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) )
26	25	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( f = { <. 1 , P >. } -> sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) = sum_ k e. { 1 } ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) )
27	26	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( f = { <. 1 , P >. } -> ( P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) <-> P = sum_ k e. { 1 } ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) ) )
28	27	anbi2d 740	. . . 4 |- ( f = { <. 1 , P >. } -> ( ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) ) <-> ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) ) ) )
29	28	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( { <. 1 , P >. } e. ( Prime ^m { 1 } ) /\ ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( { <. 1 , P >. } ` 1 ) ) ) -> E. f e. ( Prime ^m { 1 } ) ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) ) )
30	8, 21, 29	syl2anc 693	. 2 |- ( P e. Prime -> E. f e. ( Prime ^m { 1 } ) ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) ) )
31		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( d = 1 -> ( 1 ... d ) = ( 1 ... 1 ) )
32		1z 11407	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
33		fzsn 12383	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
35	31, 34	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( d = 1 -> ( 1 ... d ) = { 1 } )
36	35	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( d = 1 -> ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) = ( Prime ^m { 1 } ) )
37		breq1 4656	. . . . 5 |- ( d = 1 -> ( d <_ 3 <-> 1 <_ 3 ) )
38	35	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( d = 1 -> sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) )
39	38	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( d = 1 -> ( P = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) <-> P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) ) )
40	37, 39	anbi12d 747	. . . 4 |- ( d = 1 -> ( ( d <_ 3 /\ P = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) <-> ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) ) ) )
41	36, 40	rexeqbidv 3153	. . 3 |- ( d = 1 -> ( E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ P = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) <-> E. f e. ( Prime ^m { 1 } ) ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) ) ) )
42	41	rspcev 3309	. 2 |- ( ( 1 e. NN /\ E. f e. ( Prime ^m { 1 } ) ( 1 <_ 3 /\ P = sum_ k e. { 1 } ( f ` k ) ) ) -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ P = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )
43	1, 30, 42	sylancr 695	1 |- ( P e. Prime -> E. d e. NN E. f e. ( Prime ^m ( 1 ... d ) ) ( d <_ 3 /\ P = sum_ k e. ( 1 ... d ) ( f ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   <_ cle 10075   NNcn 11020   3c3 11071   ZZcz 11377   ...cfz 12326   sum_csu 14416   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  41679  nnsum3primesle9  41682