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Theorem nulmbl2 23304

Description: A set of outer measure zero is measurable. The term "outer measure zero" here is slightly different from "nullset/negligible set"; a nullset has

while "outer measure zero" means that for any

there is a

containing

with volume less than

. Assuming AC, these notions are equivalent (because the intersection of all such

is a nullset) but in ZF this is a strictly weaker notion. Proposition 563Gb of [Fremlin5] p. 193. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
nulmbl2	$/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem nulmbl2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1rp 11836	. . . . 5
2	1	ne0ii 3923	. . . 4
3		r19.2z 4060	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
4	2, 3	mpan 706	. . 3 $/\$ $/\$
5		simprl 794	. . . . . 6 $/\$ $/\$
6		mblss 23299	. . . . . . 7
7	6	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$
8	5, 7	sstrd 3613	. . . . 5 $/\$ $/\$
9	8	rexlimiva 3028	. . . 4 $/\$
10	9	rexlimivw 3029	. . 3 $/\$
11	4, 10	syl 17	. 2 $/\$
12		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
14		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . . 13
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
16		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
17		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$
19		difssd 3738	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
20		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $/\$ $\$
21	19, 15, 16, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
22	18, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
23	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
24	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		difssd 3738	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
26	7	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . 13
28	27	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29		simprrr 805	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		ovollecl 23251	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
31	26, 28, 29, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $/\$ $\$
33	25, 26, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
34	24, 33	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
35	24, 28	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
36	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
37	21	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
38		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	39, 40, 24, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
44		ovolsscl 23254	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $/\$ $\$
45	43, 40, 24, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
46	45, 33	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
47		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . 13
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	38, 40	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	49, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	40	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
54	26	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
55	53, 54	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
56		ovolun 23267	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
57	53, 45, 54, 33, 56	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
58		ovollecl 23251	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
59	55, 46, 57, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
60		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
61		undif1 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
62	60, 61	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
63		ssdif 3745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$ $\$
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$
65		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
66	64, 65	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$
67		difun1 3887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$
68		ssequn2 3786	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	47, 68	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	69	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
71	67, 70	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
72	71	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
73	66, 72	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
74		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
75	73, 55, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
76	37, 59, 46, 75, 57	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
77	36, 37, 42, 46, 52, 76	le2addd 10646	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
78		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		mblsplit 23300	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$
80	78, 40, 24, 79	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
82	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83	45	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
84	33	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
85	82, 83, 84	addassd 10062	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
86	81, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
87	77, 86	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
88		difss 3737	. . . . . . . . . . . 12 $\$
89		ovolss 23253	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$
90	88, 26, 89	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
91	33, 31, 28, 90, 29	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
92	33, 28, 24, 91	leadd2dd 10642	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93	23, 34, 35, 87, 92	letrd 10194	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
94	93	rexlimdvaa 3032	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
95	94	ralimdva 2962	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
96	95	impcom 446	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
97	22	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
98	97	rexrd 10089	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
99		simprr 796	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
100		xralrple 12036	. . . . . 6 $\$ $/\$ $\$ $\$
101	98, 99, 100	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
102	96, 101	mpbird 247	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
103	102	expr 643	. . 3 $/\$ $/\$ $\$
104	103	ralrimiva 2966	. 2 $/\$ $\$
105		ismbl2 23295	. 2 $/\$ $\$
106	11, 104, 105	sylanbrc 698	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cpw 4158 class class class wbr 4653

cdm 5114

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cxr 10073

cle 10075

crp 11832

covol 23231

cvol 23232

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-ovol 23233 df-vol 23234

This theorem is referenced by: (None)

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