Theorem selberglem2 25235

Description: Lemma for selberg 25237. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
selberglem1.t	|- T = ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / n )

Assertion

Ref	Expression
selberglem2	|- ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1)

Distinct variable group:   m, n, x

Allowed substitution hints:   T( x, m, n)

Proof of Theorem selberglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
2		rpssre 11843	. . . . . . 7 |- RR+ C_ RR
3	1, 2	ssexi 4803	. . . . . 6 |- RR+ e. _V
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> RR+ e. _V )
5		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
6		elfznn 12370	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
8		mucl 24867	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( mmu ` n ) e. ZZ )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. ZZ )
10	9	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. RR )
11	10	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. CC )
12		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
13		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
15	14	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. RR+ )
16	15	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
17	16	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) ^ 2 ) e. RR )
18	12, 17	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) e. RR )
19		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
20	18, 19	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) e. RR )
21	20	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) e. CC )
22		selberglem1.t	. . . . . . . . . 10 |- T = ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / n )
23		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
24	6	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. RR+ )
25		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. RR+ /\ n e. RR+ ) -> ( x / n ) e. RR+ )
26	23, 24, 25	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
27	26	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
28	27	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. RR )
29		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
30		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ ( log ` ( x / n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
31	29, 27, 30	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
32		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR ) -> ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
33	29, 31, 32	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
34	28, 33	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. RR )
35	34, 7	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / n ) e. RR )
36	22, 35	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. RR )
37	36	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> T e. CC )
38	21, 37	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) e. CC )
39	11, 38	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) e. CC )
40	5, 39	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) e. CC )
41	11, 37	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. T ) e. CC )
42	5, 41	fsumcl 14464	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) e. CC )
43		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
44		relogcl 24322	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
45	44	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
46	45	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. CC )
47		mulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. CC /\ ( log ` x ) e. CC ) -> ( 2 x. ( log ` x ) ) e. CC )
48	43, 46, 47	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 x. ( log ` x ) ) e. CC )
49	42, 48	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) e. CC )
50		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) )
51		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) )
52	4, 40, 49, 50, 51	offval2 6914	. . . 4 |- ( T. -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) oF + ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) ) )
53	40, 42, 48	addsubassd 10412	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) )
54		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
56	55	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
57	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( mmu ` n ) e. RR )
58	57, 17	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) e. RR )
59	12, 58	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) e. RR )
60	59	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) e. CC )
61	55	simprd 479	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
62	5, 56, 60, 61	fsumdivc 14518	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) )
63	17	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( log ` m ) ^ 2 ) e. CC )
64	12, 63	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) e. CC )
65	55	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x e. CC /\ x =/= 0 ) )
66		divass 10703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( mmu ` n ) e. CC /\ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) = ( ( mmu ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) ) )
67	11, 64, 65, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) = ( ( mmu ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) ) )
68	12, 11, 63	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( mmu ` n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) )
70	21, 37	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) + T ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) + T ) ) = ( ( mmu ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) ) )
72	11, 38, 37	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) + T ) ) = ( ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( ( mmu ` n ) x. T ) ) )
73	71, 72	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( mmu ` n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) ) = ( ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( ( mmu ` n ) x. T ) ) )
74	67, 69, 73	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) = ( ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( ( mmu ` n ) x. T ) ) )
75	74	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( ( mmu ` n ) x. T ) ) )
76	5, 39, 41	fsumadd 14470	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( ( mmu ` n ) x. T ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) ) )
77	62, 75, 76	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) )
78	77	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) )
79	53, 78	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) )
80	79	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) + ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) )
81	52, 80	eqtrd 2656	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) oF + ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) )
82		1red 10055	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. RR )
83	5, 28	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. RR )
84	83, 23	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) e. RR )
85	84	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) e. CC )
86		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
87		2nn0 11309	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
88		logexprlim 24950	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. NN0 -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) ) ~~> r ( ! ` 2 ) )
89	87, 88	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) ) ~~> r ( ! ` 2 ) )
90		2cnd 11093	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 2 e. CC )
91		rlimconst 14275	. . . . . . . 8 |- ( ( RR+ C_ RR /\ 2 e. CC ) -> ( x e. RR+ |-> 2 ) ~~> r 2 )
92	2, 90, 91	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> 2 ) ~~> r 2 )
93	85, 86, 89, 92	rlimadd 14373	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) ~~> r ( ( ! ` 2 ) + 2 ) )
94		rlimo1 14347	. . . . . 6 |- ( ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) ~~> r ( ( ! ` 2 ) + 2 ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) e. O(1) )
95	93, 94	syl 17	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) e. O(1) )
96		readdcl 10019	. . . . . 6 |- ( ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) e. RR )
97	84, 29, 96	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) e. RR )
98	40	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) e. RR )
99	97	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) e. CC )
100	99	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) e. RR )
101	39	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) e. RR )
102	5, 101	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) e. RR )
103	5, 39	fsumabs 14533	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) )
104		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) e. RR )
105	28, 29, 104	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) e. RR )
106	105, 19	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) e. RR )
107	5, 106	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) e. RR )
108	38	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) e. RR )
109	11, 38	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) = ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) )
110	11	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) e. RR )
111		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
112	38	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) )
113		mule1 24874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) <_ 1 )
114	7, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( mmu ` n ) ) <_ 1 )
115	110, 111, 108, 112, 114	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( 1 x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) )
116	108	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) e. CC )
117	116	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) = ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) )
118	115, 117	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` ( mmu ` n ) ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) )
119	109, 118	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) )
120	65	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. CC )
121	120, 38	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) = ( ( abs ` x ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) )
122	120, 21, 37	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) = ( ( x x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) ) - ( x x. T ) ) )
123	65	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x =/= 0 )
124	64, 120, 123	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) )
125	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC )
126	7	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
127		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. RR+ -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( n e. CC /\ n =/= 0 ) )
129		divass 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( x x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / n ) = ( x x. ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / n ) ) )
130	22	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x x. T ) = ( x x. ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) / n ) )
131	129, 130	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( x x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / n ) = ( x x. T ) )
132		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( x x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) / n ) = ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
133	131, 132	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) e. CC /\ ( n e. CC /\ n =/= 0 ) ) -> ( x x. T ) = ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
134	120, 125, 128, 133	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x x. T ) = ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) )
135	124, 134	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) ) - ( x x. T ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) - ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) ) )
136	122, 135	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) - ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) ) )
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( x x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) = ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) - ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) ) ) )
138		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
139		absid 14036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( abs ` x ) = x )
140	19, 138, 139	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` x ) = x )
141	140	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( abs ` x ) x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) = ( x x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) )
142	121, 137, 141	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) - ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) ) ) = ( x x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) )
143	7	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
144	143	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
145		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
147		fznnfl 12661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
149	148	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
150	144, 149	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
151	19	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
152	111, 151, 126	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
153	150, 152	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
154		log2sumbnd 25233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x / n ) e. RR+ /\ 1 <_ ( x / n ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) - ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) ) ) <_ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) )
155	26, 153, 154	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) - ( ( x / n ) x. ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( 2 - ( 2 x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) ) ) ) ) <_ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) )
156	142, 155	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) )
157	108, 105, 19	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( x x. ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) <-> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) <_ ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) ) )
158	156, 157	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) <_ ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) )
159	101, 108, 106, 119, 158	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) )
160	5, 101, 106, 159	fsumle 14531	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) )
161	5, 105	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) e. RR )
162		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
163	146, 29, 162	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 2 ) e. RR )
164	83, 163	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( x x. 2 ) ) e. RR )
165	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. CC )
166		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 2 e. CC )
167	5, 165, 166	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) 2 ) )
168		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin /\ 2 e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) 2 = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. 2 ) )
169	5, 43, 168	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) 2 = ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. 2 ) )
170	138	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
171		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( |_ ` x ) e. NN0 )
172		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` x ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
173	170, 171, 172	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) = ( |_ ` x ) )
174	173	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) x. 2 ) = ( ( |_ ` x ) x. 2 ) )
175	169, 174	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) 2 = ( ( |_ ` x ) x. 2 ) )
176	175	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) 2 ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( ( |_ ` x ) x. 2 ) ) )
177	167, 176	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( ( |_ ` x ) x. 2 ) ) )
178		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) e. RR )
179	146, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) e. RR )
180	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> 2 e. RR )
181	179, 180	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) x. 2 ) e. RR )
182		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( |_ ` x ) <_ x )
183	146, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( |_ ` x ) <_ x )
184		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 2
185	29, 184	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
187		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( |_ ` x ) e. RR /\ x e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` x ) <_ x <-> ( ( |_ ` x ) x. 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) )
188	179, 146, 186, 187	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) <_ x <-> ( ( |_ ` x ) x. 2 ) <_ ( x x. 2 ) ) )
189	183, 188	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( |_ ` x ) x. 2 ) <_ ( x x. 2 ) )
190	181, 163, 83, 189	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( ( |_ ` x ) x. 2 ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( x x. 2 ) ) )
191	177, 190	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( x x. 2 ) ) )
192	161, 164, 23, 191	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( x x. 2 ) ) / x ) )
193	105	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. RR+ ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) e. CC )
194	5, 56, 193, 61	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) )
195	83	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. CC )
196	56, 86	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 2 ) e. CC )
197		divdir 10710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) e. CC /\ ( x x. 2 ) e. CC /\ ( x e. CC /\ x =/= 0 ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( x x. 2 ) ) / x ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + ( ( x x. 2 ) / x ) ) )
198	195, 196, 55, 197	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( x x. 2 ) ) / x ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + ( ( x x. 2 ) / x ) ) )
199	86, 56, 61	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( x x. 2 ) / x ) = 2 )
200	199	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + ( ( x x. 2 ) / x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) )
201	198, 200	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + ( x x. 2 ) ) / x ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) )
202	192, 194, 201	3brtr3d 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) + 2 ) / x ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) )
203	102, 107, 97, 160, 202	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( abs ` ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) )
204	98, 102, 97, 103, 203	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) )
205	97	leabsd 14153	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) <_ ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) )
206	98, 97, 100, 204, 205	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) )
207	206	adantrr 753	. . . . 5 |- ( ( T. /\ ( x e. RR+ /\ 1 <_ x ) ) -> ( abs ` sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) <_ ( abs ` ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` ( x / n ) ) ^ 2 ) / x ) + 2 ) ) )
208	82, 95, 97, 40, 207	o1le 14383	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) e. O(1) )
209	22	selberglem1 25234	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1)
210		o1add 14344	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) e. O(1) /\ ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) ) -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) oF + ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
211	208, 209, 210	sylancl 694	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. RR+ |-> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( log ` m ) ^ 2 ) / x ) - T ) ) ) oF + ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( mmu ` n ) x. T ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) ) e. O(1) )
212	81, 211	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
213	212	trud 1493	1 |- ( x e. RR+ |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( mmu ` n ) x. ( ( log ` m ) ^ 2 ) ) / x ) - ( 2 x. ( log ` x ) ) ) ) e. O(1)

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   !cfa 13060   #chash 13117   abscabs 13974   ~~> r crli 14216   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   logclog 24301   mmucmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  selberglem3  25236  selberg  25237