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Theorem mudivsum 25219

Description: Asymptotic formula for

. Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
mudivsum

Distinct variable group:

Proof of Theorem mudivsum Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 10055	. . 3
2		reex 10027	. . . . . . 7
3		rpssre 11843	. . . . . . 7
4	2, 3	ssexi 4803	. . . . . 6
5	4	a1i 11	. . . . 5
6		fzfid 12772	. . . . . . . 8
7		rpre 11839	. . . . . . . . . . . 12
8		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12
9		nndivre 11056	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
11	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
12		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . 12
13	10, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	13	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	11, 14	subcld 10392	. . . . . . . . 9 $/\$
16	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
17		mucl 24867	. . . . . . . . . . 11
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
19	18	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 $/\$
20	15, 19	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
21	6, 20	fsumcl 14464	. . . . . . 7
22		rpcn 11841	. . . . . . 7
23		rpne0 11848	. . . . . . 7
24	21, 22, 23	divcld 10801	. . . . . 6
25	24	adantl 482	. . . . 5 $/\$
26		ovexd 6680	. . . . 5 $/\$
27		eqidd 2623	. . . . 5
28		eqidd 2623	. . . . 5
29	5, 25, 26, 27, 28	offval2 6914	. . . 4
30	3	a1i 11	. . . . . 6
31	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
32	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
33	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
34	31, 32, 33	absdivd 14194	. . . . . . . . 9 $/\$
35		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36		absid 14036	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
40	34, 39	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$
41	31	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
43	20	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
44	43	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
45	42, 44	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 $/\$
46	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
47	42, 43	fsumabs 14533	. . . . . . . . . . 11 $/\$
48		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . 13
49	46, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
51	15	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
52		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53	52	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
55	54	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
56	55, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
57	56	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
58	51, 57	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
59	51	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
60	57	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
61	51	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
62	57	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
63		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
64	8	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
65		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
66	63, 64, 65	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
67	3, 66	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
68	67, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
69		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
70	67, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
71	68, 67, 70	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
72		fracle1 12604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
73	67, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
74	71, 73	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
75		mule1 24874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	55, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
77	59, 50, 60, 50, 61, 62, 74, 76	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	58, 79	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	42, 44, 50, 80	fsumle 14531	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
83		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
84	42, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
85		flge1nn 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
86	7, 85	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
87	86	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
91	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
92	91	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
93	84, 90, 92	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
94	81, 93	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95		flle 12600	. . . . . . . . . . . . 13
96	46, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
97	45, 49, 46, 94, 96	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$
98	41, 45, 46, 47, 97	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 $/\$
99	32	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 $/\$
100	98, 99	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 $/\$
101		1red 10055	. . . . . . . . . 10 $/\$
102	41, 101, 63	ledivmuld 11925	. . . . . . . . 9 $/\$
103	100, 102	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$
104	40, 103	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$
105	104	adantl 482	. . . . . 6 $/\$ $/\$
106	30, 25, 1, 1, 105	elo1d 14267	. . . . 5
107		ax-1cn 9994	. . . . . . 7
108		divrcnv 14584	. . . . . . 7
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . 6
110		rlimo1 14347	. . . . . 6
111	109, 110	mp1i 13	. . . . 5
112		o1add 14344	. . . . 5 $/\$
113	106, 111, 112	syl2anc 693	. . . 4
114	29, 113	eqeltrrd 2702	. . 3
115		ovexd 6680	. . 3 $/\$
116	18	zred 11482	. . . . . . 7 $/\$
117	116, 16	nndivred 11069	. . . . . 6 $/\$
118	117	recnd 10068	. . . . 5 $/\$
119	6, 118	fsumcl 14464	. . . 4
120	119	adantl 482	. . 3 $/\$
121	119	adantr 481	. . . . . 6 $/\$
122	121	abscld 14175	. . . . 5 $/\$
123	118	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
124	42, 32, 123	fsummulc2 14516	. . . . . . . . 9 $/\$
125	14, 19	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126	125	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	42, 43, 126	fsumadd 14470	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	11	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
129	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
130	128, 129	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
131	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
132	51, 129, 57	adddird 10065	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
133	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
134	55	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
135		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
136	134, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
137		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
138		divass 10703	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
139	137, 138	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
140	133, 57, 136, 139	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
141	131, 132, 140	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
142	141	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10 $/\$
143		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13
144		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . 16
145		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
147	146, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
148	147	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
149	143, 46, 148	dvdsflsumcom 24914	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
150	148	3impb 1260	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
151	150	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	2sumeq2dv 14436	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
153		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14
154		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16
155	86, 154	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . 15
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
158		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
159	153, 42, 54, 157, 158	musumsum 24918	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
160	152, 159	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
161		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
162		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
163	161, 57, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
164		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
165		flge0nn0 12621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
166		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . . . 16
167	66, 164, 165, 166	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
168	167	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
169	163, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
170	169	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	149, 160, 170	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	127, 142, 172	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $/\$
174	124, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$
175	174	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$
176	121, 32, 33	divcan3d 10806	. . . . . . 7 $/\$
177		rpcnne0 11850	. . . . . . . . 9 $/\$
178	177	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
179		divdir 10710	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
180	31, 82, 178, 179	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$
181	175, 176, 180	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 $/\$
182	181	fveq2d 6195	. . . . 5 $/\$
183		eqle 10139	. . . . 5 $/\$
184	122, 182, 183	syl2anc 693	. . . 4 $/\$
185	184	adantl 482	. . 3 $/\$ $/\$
186	1, 114, 115, 120, 185	o1le 14383	. 2
187	186	trud 1493	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794

crab 2916

cvv 3200

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cfn 7955

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cfl 12591

chash 13117

cabs 13974

crli 14216

co1 14217

csu 14416

cdvds 14983

cmu 24821

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-o1 14221 df-lo1 14222 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542 df-mu 24827

This theorem is referenced by: mulogsumlem 25220 mulog2sumlem3 25225 selberglem1 25234

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