Theorem opphllem3 25641

Description: Lemma for opphl 25646: We assume opphllem3.l "without loss of generality". (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpg.p	|- P = ( Base ` G )
hpg.d	|- .- = ( dist ` G )
hpg.i	|- I = (Itv ` G )
hpg.o	|- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
opphl.l	|- L = (LineG ` G )
opphl.d	|- ( ph -> D e. ran L )
opphl.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
opphl.k	|- K = (hlG ` G )
opphllem5.n	|- N = ( (pInvG ` G ) ` M )
opphllem5.a	|- ( ph -> A e. P )
opphllem5.c	|- ( ph -> C e. P )
opphllem5.r	|- ( ph -> R e. D )
opphllem5.s	|- ( ph -> S e. D )
opphllem5.m	|- ( ph -> M e. P )
opphllem5.o	|- ( ph -> A O C )
opphllem5.p	|- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
opphllem5.q	|- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
opphllem3.t	|- ( ph -> R =/= S )
opphllem3.l	|- ( ph -> ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) )
opphllem3.u	|- ( ph -> U e. P )
opphllem3.v	|- ( ph -> ( N ` R ) = S )

Assertion

Ref	Expression
opphllem3	|- ( ph -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )

Distinct variable groups:   D, a, b   I, a, b   P, a, b   t, A   t, D   t, R   t, C   t, G   t, L   t, U   t, I   t, K   t, M   t, O   t, N   t, P   t, S   ph, t   t, .-   t, a, b

Allowed substitution hints:   ph( a, b)   A( a, b)   C( a, b)   R( a, b)   S( a, b)   U( a, b)   G( a, b)   K( a, b)   L( a, b)   M( a, b)   .- ( a, b)   N( a, b)   O( a, b)

Proof of Theorem opphllem3

Dummy variables m p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpg.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		hpg.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
3		opphl.k	. . . . 5 |- K = (hlG ` G )
4		opphllem3.u	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. P )
5	4	ad4antr 768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> U e. P )
6		opphllem5.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
7	6	ad4antr 768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> A e. P )
8		opphl.l	. . . . . . 7 |- L = (LineG ` G )
9		opphl.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TarskiG )
10		opphl.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ran L )
11		opphllem5.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. D )
12	1, 8, 2, 9, 10, 11	tglnpt 25444	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. P )
13	12	ad4antr 768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R e. P )
14	9	ad4antr 768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> G e. TarskiG )
15		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p e. P )
16		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p e. ( R I A ) )
17		opphllem5.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
18	8, 9, 17	perpln2 25606	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A L R ) e. ran L )
19	1, 2, 8, 9, 6, 12, 18	tglnne 25523	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= R )
20	19	ad4antr 768	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> A =/= R )
21		hpg.d	. . . . . 6 |- .- = ( dist ` G )
22		opphllem5.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
23	22	ad4antr 768	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> C e. P )
24		opphllem5.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. D )
25	1, 8, 2, 9, 10, 24	tglnpt 25444	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. P )
26	25	ad4antr 768	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S e. P )
27		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S .- C ) = ( R .- p ) )
28	1, 21, 2, 14, 26, 23, 13, 15, 27	tgcgrcomlr 25375	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C .- S ) = ( p .- R ) )
29		opphllem5.q	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
30	29	ad4antr 768	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D (⟂G ` G ) ( C L S ) )
31	8, 14, 30	perpln2 25606	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C L S ) e. ran L )
32	1, 2, 8, 14, 23, 26, 31	tglnne 25523	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> C =/= S )
33	1, 21, 2, 14, 23, 26, 15, 13, 28, 32	tgcgrneq 25378	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> p =/= R )
34	1, 2, 3, 5, 7, 13, 14, 15, 16, 20, 33	hlbtwn 25506	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> U ( K ` R ) p ) )
35		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (pInvG ` G ) = (pInvG ` G )
36	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> G e. TarskiG )
37		opphllem5.n	. . . . . . 7 |- N = ( (pInvG ` G ) ` M )
38		opphllem5.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. P )
39	38	ad5antr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> M e. P )
40	5	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> U e. P )
41	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> p e. P )
42	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> R e. P )
43		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> U ( K ` R ) p )
44	1, 21, 2, 8, 35, 36, 37, 3, 39, 40, 41, 42, 43	mirhl 25574	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) ( K ` ( N ` R ) ) ( N ` p ) )
45		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) = ( N ` U ) )
46		opphllem3.v	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` R ) = S )
47	46	ad5antr 770	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` R ) = S )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( K ` ( N ` R ) ) = ( K ` S ) )
49		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) )
50	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> G e. TarskiG )
51		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> m e. P )
52	38	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> M e. P )
53	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> S e. P )
54	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> R e. P )
55		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) )
56	55	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) = R )
57	37	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N ` S ) = ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S )
58	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 12, 46	mircom 25558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N ` S ) = R )
59	57, 58	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S ) = R )
60	59	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` M ) ` S ) = R )
61	1, 21, 2, 8, 35, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 60	miduniq 25580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> m = M )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( (pInvG ` G ) ` m ) = ( (pInvG ` G ) ` M ) )
63	62, 37	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( (pInvG ` G ) ` m ) = N )
64	63	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) = ( N ` p ) )
65	49, 64	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ m e. P ) /\ ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) ) -> ( N ` p ) = C )
66		opphllem3.t	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R =/= S )
67	66	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R =/= S )
68	67	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S =/= R )
69	10	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D e. ran L )
70		simp-4r 807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. D )
71	1, 8, 2, 14, 69, 70	tglnpt 25444	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. P )
72	24	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> S e. D )
73	11	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> R e. D )
74	1, 2, 8, 14, 26, 13, 68, 68, 69, 72, 73	tglinethru 25531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D = ( S L R ) )
75	17	ad4antr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> D (⟂G ` G ) ( A L R ) )
76	74, 75	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S L R ) (⟂G ` G ) ( A L R ) )
77	1, 2, 8, 14, 23, 26, 32	tglinecom 25530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( C L S ) = ( S L C ) )
78	30, 74, 77	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( S L R ) (⟂G ` G ) ( S L C ) )
79	70, 74	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. ( S L R ) )
80		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> t e. ( A I C ) )
81	1, 21, 2, 8, 14, 35, 26, 13, 68, 7, 23, 71, 76, 78, 79, 80, 15, 16, 27	opphllem 25627	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> E. m e. P ( R = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` S ) /\ C = ( ( (pInvG ` G ) ` m ) ` p ) ) )
82	65, 81	r19.29a 3078	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( N ` p ) = C )
83	82	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` p ) = C )
84	45, 48, 83	breq123d 4667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( ( N ` U ) ( K ` ( N ` R ) ) ( N ` p ) <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
85	44, 84	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ U ( K ` R ) p ) -> ( N ` U ) ( K ` S ) C )
86	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> G e. TarskiG )
87	38	ad5antr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> M e. P )
88	1, 21, 2, 8, 35, 9, 38, 37, 4	mircl 25556	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N ` U ) e. P )
89	88	ad5antr 770	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` U ) e. P )
90	23	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> C e. P )
91	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> S e. P )
92		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` U ) ( K ` S ) C )
93	1, 21, 2, 8, 35, 86, 37, 3, 87, 89, 90, 91, 92	mirhl 25574	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` ( N ` U ) ) ( K ` ( N ` S ) ) ( N ` C ) )
94	5	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> U e. P )
95	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 94	mirmir 25557	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` ( N ` U ) ) = U )
96	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> R e. P )
97	46	ad5antr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` R ) = S )
98	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 96, 97	mircom 25558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` S ) = R )
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( K ` ( N ` S ) ) = ( K ` R ) )
100	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> p e. P )
101	82	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` p ) = C )
102	1, 21, 2, 8, 35, 86, 87, 37, 100, 101	mircom 25558	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( N ` C ) = p )
103	95, 99, 102	breq123d 4667	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> ( ( N ` ( N ` U ) ) ( K ` ( N ` S ) ) ( N ` C ) <-> U ( K ` R ) p ) )
104	93, 103	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) /\ ( N ` U ) ( K ` S ) C ) -> U ( K ` R ) p )
105	85, 104	impbida 877	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) p <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
106	34, 105	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) /\ p e. P ) /\ ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
107		opphllem3.l	. . . . 5 |- ( ph -> ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) )
108		eqid 2622	. . . . . 6 |- (≤G ` G ) = (≤G ` G )
109	1, 21, 2, 108, 9, 25, 22, 12, 6	legov 25480	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S .- C ) (≤G ` G ) ( R .- A ) <-> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) ) )
110	107, 109	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) )
111	110	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) -> E. p e. P ( p e. ( R I A ) /\ ( S .- C ) = ( R .- p ) ) )
112	106, 111	r19.29a 3078	. 2 |- ( ( ( ph /\ t e. D ) /\ t e. ( A I C ) ) -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )
113		opphllem5.o	. . . 4 |- ( ph -> A O C )
114		hpg.o	. . . . 5 |- O = { <. a , b >. | ( ( a e. ( P \ D ) /\ b e. ( P \ D ) ) /\ E. t e. D t e. ( a I b ) ) }
115	1, 21, 2, 114, 6, 22	islnopp 25631	. . . 4 |- ( ph -> ( A O C <-> ( ( -. A e. D /\ -. C e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I C ) ) ) )
116	113, 115	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( ( -. A e. D /\ -. C e. D ) /\ E. t e. D t e. ( A I C ) ) )
117	116	simprd 479	. 2 |- ( ph -> E. t e. D t e. ( A I C ) )
118	112, 117	r19.29a 3078	1 |- ( ph -> ( U ( K ` R ) A <-> ( N ` U ) ( K ` S ) C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   class class class wbr 4653   {copab 4712   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  TarskiGcstrkg 25329  Itvcitv 25335  LineGclng 25336  ≤Gcleg 25477  hlGchlg 25495  pInvGcmir 25547  ⟂Gcperpg 25590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-trkgc 25347  df-trkgb 25348  df-trkgcb 25349  df-trkg 25352  df-cgrg 25406  df-leg 25478  df-hlg 25496  df-mir 25548  df-rag 25589  df-perpg 25591

This theorem is referenced by:  opphllem4  25642  opphllem6  25644