Theorem ovolf 23250

Description: The domain and range of the outer volume function. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 17-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ovolf	|- vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem ovolf

Dummy variables f x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11974	. . . 4 |- < Or RR*
2	1	infex 8399	. . 3 |- inf ( { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( x C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } , RR* , < ) e. _V
3		df-ovol 23233	. . 3 |- vol* = ( x e. ~P RR |-> inf ( { y e. RR* | E. f e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( x C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = sup ( ran seq 1 ( + , ( ( abs o. - ) o. f ) ) , RR* , < ) ) } , RR* , < ) )
4	2, 3	fnmpti 6022	. 2 |- vol* Fn ~P RR
5		elpwi 4168	. . . 4 |- ( x e. ~P RR -> x C_ RR )
6		ovolcl 23246	. . . . 5 |- ( x C_ RR -> ( vol* ` x ) e. RR* )
7		ovolge0 23249	. . . . 5 |- ( x C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` x ) )
8		pnfge 11964	. . . . . 6 |- ( ( vol* ` x ) e. RR* -> ( vol* ` x ) <_ +oo )
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( x C_ RR -> ( vol* ` x ) <_ +oo )
10		0xr 10086	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
11		pnfxr 10092	. . . . . 6 |- +oo e. RR*
12		elicc1 12219	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( ( vol* ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( vol* ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( vol* ` x ) /\ ( vol* ` x ) <_ +oo ) ) )
13	10, 11, 12	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( vol* ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( vol* ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( vol* ` x ) /\ ( vol* ` x ) <_ +oo ) )
14	6, 7, 9, 13	syl3anbrc 1246	. . . 4 |- ( x C_ RR -> ( vol* ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	5, 14	syl 17	. . 3 |- ( x e. ~P RR -> ( vol* ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
16	15	rgen 2922	. 2 |- A. x e. ~P RR ( vol* ` x ) e. ( 0 [,] +oo )
17		ffnfv 6388	. 2 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( vol* Fn ~P RR /\ A. x e. ~P RR ( vol* ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) ) )
18	4, 16, 17	mpbir2an 955	1 |- vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   seqcseq 12801   abscabs 13974   vol*covol 23231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233

This theorem is referenced by:  ismbl  23294  volf  23297  ovolfs2  23339  ismbl3  40203  ovolsplit  40205