Theorem volf 23297

Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volf	|- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem volf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolf 23250	. . . . . 6 |- vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
2		ffun 6048	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun vol* )
3		funres 5929	. . . . . 6 |- ( Fun vol* -> Fun ( vol* |` dom vol ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 |- Fun ( vol* |` dom vol )
5		volres 23296	. . . . . 6 |- vol = ( vol* |` dom vol )
6	5	funeqi 5909	. . . . 5 |- ( Fun vol <-> Fun ( vol* |` dom vol ) )
7	4, 6	mpbir 221	. . . 4 |- Fun vol
8		resss 5422	. . . . . 6 |- ( vol* |` dom vol ) C_ vol*
9	5, 8	eqsstri 3635	. . . . 5 |- vol C_ vol*
10		fssxp 6060	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
12	9, 11	sstri 3612	. . . 4 |- vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
13	7, 12	pm3.2i 471	. . 3 |- ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
14		funssxp 6061	. . 3 |- ( ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) ) <-> ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR ) )
15	13, 14	mpbi 220	. 2 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR )
16	15	simpli 474	1 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Syntax hints:   /\ wa 384   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   X. cxp 5112   dom cdm 5114   |` cres 5116   Fun wfun 5882   -->wf 5884  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  volsup  23324  volsup2  23373  volivth  23375  itg1climres  23481  itg2const2  23508  itg2gt0  23527  areambl  24685  voliune  30292  volfiniune  30293  volmeas  30294  volsupnfl  33454  areacirc  33505  arearect  37801  areaquad  37802  volioof  40204  volicoff  40212  voliooicof  40213  fourierdlem87  40410  voliunsge0lem  40689  volmea  40691  hoidmv1lelem1  40805  hoidmv1lelem2  40806  hoidmv1lelem3  40807  ovolval4lem1  40863  ovolval5lem1  40866