Theorem padicabvf 25320

Description: The p-adic absolute value is an absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
padicabvf	|- J : Prime --> A

Distinct variable groups:   x, q, A   x, Q

Allowed substitution hints:   Q( q)   J( x, q)

Proof of Theorem padicabvf

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qex 11800	. . . 4 |- QQ e. _V
2	1	mptex 6486	. . 3 |- ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) e. _V
3		padic.j	. . 3 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
4	2, 3	fnmpti 6022	. 2 |- J Fn Prime
5	3	padicfval 25305	. . . . 5 |- ( p e. Prime -> ( J ` p ) = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( p ^ -u ( p pCnt x ) ) ) ) )
6		prmnn 15388	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
7	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ -. x = 0 ) -> p e. NN )
8	7	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ -. x = 0 ) -> p e. CC )
9	7	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ -. x = 0 ) -> p =/= 0 )
10		df-ne 2795	. . . . . . . . . 10 |- ( x =/= 0 <-> -. x = 0 )
11		pcqcl 15561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. Prime /\ ( x e. QQ /\ x =/= 0 ) ) -> ( p pCnt x ) e. ZZ )
12	11	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ x =/= 0 ) -> ( p pCnt x ) e. ZZ )
13	10, 12	sylan2br 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ -. x = 0 ) -> ( p pCnt x ) e. ZZ )
14	8, 9, 13	expnegd 13015	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ -. x = 0 ) -> ( p ^ -u ( p pCnt x ) ) = ( 1 / ( p ^ ( p pCnt x ) ) ) )
15	8, 9, 13	exprecd 13016	. . . . . . . 8 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ -. x = 0 ) -> ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) = ( 1 / ( p ^ ( p pCnt x ) ) ) )
16	14, 15	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) /\ -. x = 0 ) -> ( p ^ -u ( p pCnt x ) ) = ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) )
17	16	ifeq2da 4117	. . . . . 6 |- ( ( p e. Prime /\ x e. QQ ) -> if ( x = 0 , 0 , ( p ^ -u ( p pCnt x ) ) ) = if ( x = 0 , 0 , ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) ) )
18	17	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( p e. Prime -> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( p ^ -u ( p pCnt x ) ) ) ) = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) ) ) )
19	5, 18	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( p e. Prime -> ( J ` p ) = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) ) ) )
20	6	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> ( 1 / p ) e. RR )
21	6	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
22		prmgt1 15409	. . . . . . . 8 |- ( p e. Prime -> 1 < p )
23		recgt1i 10920	. . . . . . . 8 |- ( ( p e. RR /\ 1 < p ) -> ( 0 < ( 1 / p ) /\ ( 1 / p ) < 1 ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> ( 0 < ( 1 / p ) /\ ( 1 / p ) < 1 ) )
25	24	simpld 475	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> 0 < ( 1 / p ) )
26	24	simprd 479	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> ( 1 / p ) < 1 )
27		0xr 10086	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
28		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
29	28	rexri 10097	. . . . . . 7 |- 1 e. RR*
30		elioo2 12216	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* ) -> ( ( 1 / p ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 1 / p ) e. RR /\ 0 < ( 1 / p ) /\ ( 1 / p ) < 1 ) ) )
31	27, 29, 30	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( 1 / p ) e. ( 0 (,) 1 ) <-> ( ( 1 / p ) e. RR /\ 0 < ( 1 / p ) /\ ( 1 / p ) < 1 ) )
32	20, 25, 26, 31	syl3anbrc 1246	. . . . 5 |- ( p e. Prime -> ( 1 / p ) e. ( 0 (,) 1 ) )
33		qrng.q	. . . . . 6 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
34		qabsabv.a	. . . . . 6 |- A = (AbsVal ` Q )
35		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) ) ) = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) ) )
36	33, 34, 35	padicabv 25319	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ ( 1 / p ) e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) ) ) e. A )
37	32, 36	mpdan 702	. . . 4 |- ( p e. Prime -> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( ( 1 / p ) ^ ( p pCnt x ) ) ) ) e. A )
38	19, 37	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( p e. Prime -> ( J ` p ) e. A )
39	38	rgen 2922	. 2 |- A. p e. Prime ( J ` p ) e. A
40		ffnfv 6388	. 2 |- ( J : Prime --> A <-> ( J Fn Prime /\ A. p e. Prime ( J ` p ) e. A ) )
41	4, 39, 40	mpbir2an 955	1 |- J : Prime --> A

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   QQcq 11788   (,)cioo 12175   ^cexp 12860   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   ↾_s cress 15858  AbsValcabv 18816  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  ostth  25328