Theorem pi1blem 22839

Description: Lemma for pi1buni 22840. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1val.g	|- G = ( J pi1 Y )
pi1val.1	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1val.2	|- ( ph -> Y e. X )
pi1val.o	|- O = ( J Om1 Y )
pi1bas.b	|- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
pi1bas.k	|- ( ph -> K = ( Base ` O ) )

Assertion

Ref	Expression
pi1blem	|- ( ph -> ( ( ( ~=ph ` J ) " K ) C_ K /\ K C_ ( II Cn J ) ) )

Proof of Theorem pi1blem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	elima 5471	. . . 4 |- ( x e. ( ( ~=ph ` J ) " K ) <-> E. y e. K y ( ~=ph ` J ) x )
3		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y ( ~=ph ` J ) x ) -> y ( ~=ph ` J ) x )
4		isphtpc 22793	. . . . . . . . 9 |- ( y ( ~=ph ` J ) x <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
5	3, 4	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y ( ~=ph ` J ) x ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
6	5	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ x e. ( II Cn J ) /\ ( y ( PHtpy ` J ) x ) =/= (/) ) )
7	6	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
8		phtpc01 22796	. . . . . . . . 9 |- ( y ( ~=ph ` J ) x -> ( ( y ` 0 ) = ( x ` 0 ) /\ ( y ` 1 ) = ( x ` 1 ) ) )
9	8	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( ( y ` 0 ) = ( x ` 0 ) /\ ( y ` 1 ) = ( x ` 1 ) ) )
10	9	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( y ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
11		pi1val.o	. . . . . . . . . . 11 |- O = ( J Om1 Y )
12		pi1val.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
13		pi1val.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. X )
14		pi1bas.k	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K = ( Base ` O ) )
15	11, 12, 13, 14	om1elbas 22832	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. K <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ ( y ` 0 ) = Y /\ ( y ` 1 ) = Y ) ) )
16	15	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. K ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ ( y ` 0 ) = Y /\ ( y ` 1 ) = Y ) )
17	16	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ ( y ` 0 ) = Y /\ ( y ` 1 ) = Y ) )
18	17	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( y ` 0 ) = Y )
19	10, 18	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( x ` 0 ) = Y )
20	9	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( y ` 1 ) = ( x ` 1 ) )
21	17	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( y ` 1 ) = Y )
22	20, 21	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( x ` 1 ) = Y )
23	11, 12, 13, 14	om1elbas 22832	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. K <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ` 0 ) = Y /\ ( x ` 1 ) = Y ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> ( x e. K <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ` 0 ) = Y /\ ( x ` 1 ) = Y ) ) )
25	7, 19, 22, 24	mpbir3and 1245	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. K /\ y ( ~=ph ` J ) x ) ) -> x e. K )
26	25	rexlimdvaa 3032	. . . 4 |- ( ph -> ( E. y e. K y ( ~=ph ` J ) x -> x e. K ) )
27	2, 26	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( ~=ph ` J ) " K ) -> x e. K ) )
28	27	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> ( ( ~=ph ` J ) " K ) C_ K )
29		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ` 0 ) = Y /\ ( x ` 1 ) = Y ) -> x e. ( II Cn J ) )
30	23, 29	syl6bi 243	. . 3 |- ( ph -> ( x e. K -> x e. ( II Cn J ) ) )
31	30	ssrdv 3609	. 2 |- ( ph -> K C_ ( II Cn J ) )
32	28, 31	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( ( ~=ph ` J ) " K ) C_ K /\ K C_ ( II Cn J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   Basecbs 15857  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678   PHtpycphtpy 22767   ~=ph cphtpc 22768   Om1 comi 22801   pi1 cpi1 22803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-om1 22806

This theorem is referenced by:  pi1buni  22840  pi1bas3  22843  pi1addf  22847  pi1addval  22848  pi1grplem  22849