Theorem pi1grplem 22849

Description: Lemma for pi1grp 22850. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pi1fval.g	|- G = ( J pi1 Y )
pi1fval.b	|- B = ( Base ` G )
pi1fval.3	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
pi1fval.4	|- ( ph -> Y e. X )
pi1grplem.z	|- .0. = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )

Assertion

Ref	Expression
pi1grplem	|- ( ph -> ( G e. Grp /\ [ .0. ] ( ~=ph ` J ) = ( 0g ` G ) ) )

Proof of Theorem pi1grplem

Dummy variables a b c d u x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pi1fval.g	. . . . 5 |- G = ( J pi1 Y )
2		pi1fval.3	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		pi1fval.4	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. X )
4		eqid 2622	. . . . 5 |- ( J Om1 Y ) = ( J Om1 Y )
5	1, 2, 3, 4	pi1val 22837	. . . 4 |- ( ph -> G = ( ( J Om1 Y ) /.s ( ~=ph ` J ) ) )
6		pi1fval.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> B = ( Base ` G ) )
8		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` ( J Om1 Y ) ) = ( Base ` ( J Om1 Y ) ) )
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	pi1buni 22840	. . . 4 |- ( ph -> U. B = ( Base ` ( J Om1 Y ) ) )
10		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ph -> ( ~=ph ` J ) e. _V )
11		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ph -> ( J Om1 Y ) e. _V )
12	1, 2, 3, 4, 7, 9	pi1blem 22839	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ~=ph ` J ) " U. B ) C_ U. B /\ U. B C_ ( II Cn J ) ) )
13	12	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ~=ph ` J ) " U. B ) C_ U. B )
14	5, 9, 10, 11, 13	qusin 16204	. . 3 |- ( ph -> G = ( ( J Om1 Y ) /.s ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ) )
15	4, 2, 3	om1plusg 22834	. . 3 |- ( ph -> ( *p ` J ) = ( +g ` ( J Om1 Y ) ) )
16		phtpcer 22794	. . . . 5 |- ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J )
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ~=ph ` J ) Er ( II Cn J ) )
18	12	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ ( II Cn J ) )
19	17, 18	erinxp 7821	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) Er U. B )
20		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) = ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` ( J Om1 Y ) ) = ( +g ` ( J Om1 Y ) )
22	1, 2, 3, 7, 20, 4, 21	pi1cpbl 22844	. . . 4 |- ( ph -> ( ( a ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) c /\ b ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) d ) -> ( a ( +g ` ( J Om1 Y ) ) b ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( c ( +g ` ( J Om1 Y ) ) d ) ) )
23	15	oveqd 6667	. . . . 5 |- ( ph -> ( a ( *p ` J ) b ) = ( a ( +g ` ( J Om1 Y ) ) b ) )
24	15	oveqd 6667	. . . . 5 |- ( ph -> ( c ( *p ` J ) d ) = ( c ( +g ` ( J Om1 Y ) ) d ) )
25	23, 24	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( a ( *p ` J ) b ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( c ( *p ` J ) d ) <-> ( a ( +g ` ( J Om1 Y ) ) b ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( c ( +g ` ( J Om1 Y ) ) d ) ) )
26	22, 25	sylibrd 249	. . 3 |- ( ph -> ( ( a ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) c /\ b ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) d ) -> ( a ( *p ` J ) b ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( c ( *p ` J ) d ) ) )
27	2	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B /\ y e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
28	3	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B /\ y e. U. B ) -> Y e. X )
29	9	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B /\ y e. U. B ) -> U. B = ( Base ` ( J Om1 Y ) ) )
30		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B /\ y e. U. B ) -> x e. U. B )
31		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B /\ y e. U. B ) -> y e. U. B )
32	4, 27, 28, 29, 30, 31	om1addcl 22833	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. B /\ y e. U. B ) -> ( x ( *p ` J ) y ) e. U. B )
33	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
34	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> Y e. X )
35	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> U. B = ( Base ` ( J Om1 Y ) ) )
36	32	3adant3r3 1276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( x ( *p ` J ) y ) e. U. B )
37		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> z e. U. B )
38	4, 33, 34, 35, 36, 37	om1addcl 22833	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( ( x ( *p ` J ) y ) ( *p ` J ) z ) e. U. B )
39		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> x e. U. B )
40		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> y e. U. B )
41	4, 33, 34, 35, 40, 37	om1addcl 22833	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( y ( *p ` J ) z ) e. U. B )
42	4, 33, 34, 35, 39, 41	om1addcl 22833	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( x ( *p ` J ) ( y ( *p ` J ) z ) ) e. U. B )
43	1, 2, 3, 7	pi1eluni 22842	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. U. B <-> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ` 0 ) = Y /\ ( x ` 1 ) = Y ) ) )
44	43	biimpa 501	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ` 0 ) = Y /\ ( x ` 1 ) = Y ) )
45	44	3ad2antr1 1226	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ` 0 ) = Y /\ ( x ` 1 ) = Y ) )
46	45	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> x e. ( II Cn J ) )
47	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> B = ( Base ` G ) )
48	1, 33, 34, 47	pi1eluni 22842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( y e. U. B <-> ( y e. ( II Cn J ) /\ ( y ` 0 ) = Y /\ ( y ` 1 ) = Y ) ) )
49	40, 48	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( y e. ( II Cn J ) /\ ( y ` 0 ) = Y /\ ( y ` 1 ) = Y ) )
50	49	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> y e. ( II Cn J ) )
51	1, 33, 34, 47	pi1eluni 22842	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( z e. U. B <-> ( z e. ( II Cn J ) /\ ( z ` 0 ) = Y /\ ( z ` 1 ) = Y ) ) )
52	37, 51	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( z e. ( II Cn J ) /\ ( z ` 0 ) = Y /\ ( z ` 1 ) = Y ) )
53	52	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> z e. ( II Cn J ) )
54	45	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( x ` 1 ) = Y )
55	49	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( y ` 0 ) = Y )
56	54, 55	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( x ` 1 ) = ( y ` 0 ) )
57	49	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( y ` 1 ) = Y )
58	52	simp2d 1074	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( z ` 0 ) = Y )
59	57, 58	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( y ` 1 ) = ( z ` 0 ) )
60		eqid 2622	. . . . 5 |- ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( u e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( u <_ ( 1 / 2 ) , if ( u <_ ( 1 / 4 ) , ( 2 x. u ) , ( u + ( 1 / 4 ) ) ) , ( ( u / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) ) )
61	46, 50, 53, 56, 59, 60	pcoass 22824	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( ( x ( *p ` J ) y ) ( *p ` J ) z ) ( ~=ph ` J ) ( x ( *p ` J ) ( y ( *p ` J ) z ) ) )
62		brinxp2 5180	. . . 4 |- ( ( ( x ( *p ` J ) y ) ( *p ` J ) z ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( x ( *p ` J ) ( y ( *p ` J ) z ) ) <-> ( ( ( x ( *p ` J ) y ) ( *p ` J ) z ) e. U. B /\ ( x ( *p ` J ) ( y ( *p ` J ) z ) ) e. U. B /\ ( ( x ( *p ` J ) y ) ( *p ` J ) z ) ( ~=ph ` J ) ( x ( *p ` J ) ( y ( *p ` J ) z ) ) ) )
63	38, 42, 61, 62	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. U. B /\ y e. U. B /\ z e. U. B ) ) -> ( ( x ( *p ` J ) y ) ( *p ` J ) z ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) ( x ( *p ` J ) ( y ( *p ` J ) z ) ) )
64		pi1grplem.z	. . . . . 6 |- .0. = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } )
65	64	pcoptcl 22821	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ Y e. X ) -> ( .0. e. ( II Cn J ) /\ ( .0. ` 0 ) = Y /\ ( .0. ` 1 ) = Y ) )
66	2, 3, 65	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( .0. e. ( II Cn J ) /\ ( .0. ` 0 ) = Y /\ ( .0. ` 1 ) = Y ) )
67	1, 2, 3, 7	pi1eluni 22842	. . . 4 |- ( ph -> ( .0. e. U. B <-> ( .0. e. ( II Cn J ) /\ ( .0. ` 0 ) = Y /\ ( .0. ` 1 ) = Y ) ) )
68	66, 67	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> .0. e. U. B )
69	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> J e. (TopOn ` X ) )
70	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> Y e. X )
71	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> U. B = ( Base ` ( J Om1 Y ) ) )
72	68	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> .0. e. U. B )
73		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> x e. U. B )
74	4, 69, 70, 71, 72, 73	om1addcl 22833	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( .0. ( *p ` J ) x ) e. U. B )
75	18	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> x e. ( II Cn J ) )
76	44	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( x ` 0 ) = Y )
77	64	pcopt 22822	. . . . 5 |- ( ( x e. ( II Cn J ) /\ ( x ` 0 ) = Y ) -> ( .0. ( *p ` J ) x ) ( ~=ph ` J ) x )
78	75, 76, 77	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( .0. ( *p ` J ) x ) ( ~=ph ` J ) x )
79		brinxp2 5180	. . . 4 |- ( ( .0. ( *p ` J ) x ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) x <-> ( ( .0. ( *p ` J ) x ) e. U. B /\ x e. U. B /\ ( .0. ( *p ` J ) x ) ( ~=ph ` J ) x ) )
80	74, 73, 78, 79	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( .0. ( *p ` J ) x ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) x )
81		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) = ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) )
82	81	pcorevcl 22825	. . . . . 6 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 0 ) = ( x ` 1 ) /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 1 ) = ( x ` 0 ) ) )
83	75, 82	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 0 ) = ( x ` 1 ) /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 1 ) = ( x ` 0 ) ) )
84	83	simp1d 1073	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. ( II Cn J ) )
85	83	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 0 ) = ( x ` 1 ) )
86	44	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( x ` 1 ) = Y )
87	85, 86	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 0 ) = Y )
88	83	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 1 ) = ( x ` 0 ) )
89	88, 76	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 1 ) = Y )
90	1, 2, 3, 7	pi1eluni 22842	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. U. B <-> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 0 ) = Y /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 1 ) = Y ) ) )
91	90	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. U. B <-> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. ( II Cn J ) /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 0 ) = Y /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ` 1 ) = Y ) ) )
92	84, 87, 89, 91	mpbir3and 1245	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) e. U. B )
93	4, 69, 70, 71, 92, 73	om1addcl 22833	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) e. U. B )
94		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( x ` 1 ) } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( x ` 1 ) } )
95	81, 94	pcorev 22827	. . . . . 6 |- ( x e. ( II Cn J ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( x ` 1 ) } ) )
96	75, 95	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) ( ~=ph ` J ) ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( x ` 1 ) } ) )
97	86	sneqd 4189	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> { ( x ` 1 ) } = { Y } )
98	97	xpeq2d 5139	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( x ` 1 ) } ) = ( ( 0 [,] 1 ) X. { Y } ) )
99	98, 64	syl6reqr 2675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> .0. = ( ( 0 [,] 1 ) X. { ( x ` 1 ) } ) )
100	96, 99	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) ( ~=ph ` J ) .0. )
101		brinxp2 5180	. . . 4 |- ( ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) .0. <-> ( ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) e. U. B /\ .0. e. U. B /\ ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) ( ~=ph ` J ) .0. ) )
102	93, 72, 100, 101	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U. B ) -> ( ( a e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( x ` ( 1 - a ) ) ) ( *p ` J ) x ) ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) .0. )
103	14, 9, 15, 19, 11, 26, 32, 63, 68, 80, 92, 102	qusgrp2 17533	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ [ .0. ] ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) = ( 0g ` G ) ) )
104		ecinxp 7822	. . . . 5 |- ( ( ( ( ~=ph ` J ) " U. B ) C_ U. B /\ .0. e. U. B ) -> [ .0. ] ( ~=ph ` J ) = [ .0. ] ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) )
105	13, 68, 104	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> [ .0. ] ( ~=ph ` J ) = [ .0. ] ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) )
106	105	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( ph -> ( [ .0. ] ( ~=ph ` J ) = ( 0g ` G ) <-> [ .0. ] ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) = ( 0g ` G ) ) )
107	106	anbi2d 740	. 2 |- ( ph -> ( ( G e. Grp /\ [ .0. ] ( ~=ph ` J ) = ( 0g ` G ) ) <-> ( G e. Grp /\ [ .0. ] ( ( ~=ph ` J ) i^i ( U. B X. U. B ) ) = ( 0g ` G ) ) ) )
108	103, 107	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ [ .0. ] ( ~=ph ` J ) = ( 0g ` G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Er wer 7739   [cec 7740   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   IIcii 22678   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800   Om1 comi 22801   pi1 cpi1 22803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-om1 22806  df-pi1 22808

This theorem is referenced by:  pi1grp  22850  pi1id  22851  pi1inv  22852