Theorem ply1divmo 23895

Description: Uniqueness of a quotient in a polynomial division. For polynomials F , G such that G =/= 0 and the leading coefficient of G is not a zero divisor, there is at most one polynomial q which satisfies F = ( G x. q ) + r where the degree of r is less than the degree of G. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1divalg.p	|- P = (Poly1 ` R )
ply1divalg.d	|- D = ( deg1 ` R )
ply1divalg.b	|- B = ( Base ` P )
ply1divalg.m	|- .- = ( -g ` P )
ply1divalg.z	|- .0. = ( 0g ` P )
ply1divalg.t	|- .xb = ( .r ` P )
ply1divalg.r1	|- ( ph -> R e. Ring )
ply1divalg.f	|- ( ph -> F e. B )
ply1divalg.g1	|- ( ph -> G e. B )
ply1divalg.g2	|- ( ph -> G =/= .0. )
ply1divmo.g3	|- ( ph -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) e. E )
ply1divmo.e	|- E = (RLReg ` R )

Assertion

Ref	Expression
ply1divmo	|- ( ph -> E* q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )

Distinct variable groups:   ph, q   B, q   D, q   F, q   G, q   .- , q   .xb , q

Allowed substitution hints:   P( q)   R( q)   E( q)   .0. ( q)

Proof of Theorem ply1divmo

Dummy variable r is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1divalg.r1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. Ring )
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> R e. Ring )
3		ply1divalg.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = (Poly1 ` R )
4	3	ply1ring 19618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> P e. Ring )
6		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Ring -> P e. Grp )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> P e. Grp )
8		ply1divalg.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. B )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> F e. B )
10		ply1divalg.g1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. B )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> G e. B )
12		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> q e. B )
13		ply1divalg.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- B = ( Base ` P )
14		ply1divalg.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- .xb = ( .r ` P )
15	13, 14	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Ring /\ G e. B /\ q e. B ) -> ( G .xb q ) e. B )
16	5, 11, 12, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( G .xb q ) e. B )
17		ply1divalg.m	. . . . . . . . . . . 12 |- .- = ( -g ` P )
18	13, 17	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Grp /\ F e. B /\ ( G .xb q ) e. B ) -> ( F .- ( G .xb q ) ) e. B )
19	7, 9, 16, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( F .- ( G .xb q ) ) e. B )
20		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> r e. B )
21	13, 14	ringcl 18561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. Ring /\ G e. B /\ r e. B ) -> ( G .xb r ) e. B )
22	5, 11, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( G .xb r ) e. B )
23	13, 17	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Grp /\ F e. B /\ ( G .xb r ) e. B ) -> ( F .- ( G .xb r ) ) e. B )
24	7, 9, 22, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( F .- ( G .xb r ) ) e. B )
25	13, 17	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Grp /\ ( F .- ( G .xb q ) ) e. B /\ ( F .- ( G .xb r ) ) e. B ) -> ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) e. B )
26	7, 19, 24, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) e. B )
27		ply1divalg.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( deg1 ` R )
28	27, 3, 13	deg1xrcl 23842	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) e. B -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) e. RR* )
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) e. RR* )
30	27, 3, 13	deg1xrcl 23842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F .- ( G .xb r ) ) e. B -> ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) e. RR* )
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) e. RR* )
32	27, 3, 13	deg1xrcl 23842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F .- ( G .xb q ) ) e. B -> ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) e. RR* )
33	19, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) e. RR* )
34	31, 33	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) e. RR* )
35	27, 3, 13	deg1xrcl 23842	. . . . . . . . 9 |- ( G e. B -> ( D ` G ) e. RR* )
36	11, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( D ` G ) e. RR* )
37	29, 34, 36	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) e. RR* /\ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) e. RR* /\ ( D ` G ) e. RR* ) )
38	37	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> ( ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) e. RR* /\ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) e. RR* /\ ( D ` G ) e. RR* ) )
39	3, 27, 2, 13, 17, 19, 24	deg1suble 23867	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) <_ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) <_ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) )
41		xrmaxlt 12012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) e. RR* /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) e. RR* /\ ( D ` G ) e. RR* ) -> ( if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
42	33, 31, 36, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) ) )
43	42	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) < ( D ` G ) )
44	40, 43	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> ( ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) <_ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) /\ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
45		xrlelttr 11987	. . . . . 6 |- ( ( ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) e. RR* /\ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) e. RR* /\ ( D ` G ) e. RR* ) -> ( ( ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) <_ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) /\ if ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) <_ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) , ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) ) < ( D ` G ) ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
46	38, 44, 45	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) )
47	46	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
48		ply1divalg.g2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G =/= .0. )
49		ply1divalg.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .0. = ( 0g ` P )
50	27, 3, 49, 13	deg1nn0cl 23848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ G e. B /\ G =/= .0. ) -> ( D ` G ) e. NN0 )
51	1, 10, 48, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ` G ) e. NN0 )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` G ) e. NN0 )
53	52	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` G ) e. RR )
54	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> R e. Ring )
55	13, 17	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P e. Grp /\ r e. B /\ q e. B ) -> ( r .- q ) e. B )
56	7, 20, 12, 55	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( r .- q ) e. B )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( r .- q ) e. B )
58	13, 49, 17	grpsubeq0 17501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P e. Grp /\ r e. B /\ q e. B ) -> ( ( r .- q ) = .0. <-> r = q ) )
59	7, 20, 12, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( r .- q ) = .0. <-> r = q ) )
60		equcom 1945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = q <-> q = r )
61	59, 60	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( r .- q ) = .0. <-> q = r ) )
62	61	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( r .- q ) =/= .0. <-> q =/= r ) )
63	62	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( r .- q ) =/= .0. )
64	27, 3, 49, 13	deg1nn0cl 23848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( r .- q ) e. B /\ ( r .- q ) =/= .0. ) -> ( D ` ( r .- q ) ) e. NN0 )
65	54, 57, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` ( r .- q ) ) e. NN0 )
66		nn0addge1 11339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D ` G ) e. RR /\ ( D ` ( r .- q ) ) e. NN0 ) -> ( D ` G ) <_ ( ( D ` G ) + ( D ` ( r .- q ) ) ) )
67	53, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` G ) <_ ( ( D ` G ) + ( D ` ( r .- q ) ) ) )
68		ply1divmo.e	. . . . . . . . . 10 |- E = (RLReg ` R )
69	10	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> G e. B )
70	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> G =/= .0. )
71		ply1divmo.g3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) e. E )
72	71	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( (coe1 ` G ) ` ( D ` G ) ) e. E )
73	27, 3, 68, 13, 14, 49, 54, 69, 70, 72, 57, 63	deg1mul2 23874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` ( G .xb ( r .- q ) ) ) = ( ( D ` G ) + ( D ` ( r .- q ) ) ) )
74	67, 73	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` G ) <_ ( D ` ( G .xb ( r .- q ) ) ) )
75		ringabl 18580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. Ring -> P e. Abel )
76	5, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> P e. Abel )
77	13, 17, 76, 9, 16, 22	ablnnncan1 18229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) = ( ( G .xb r ) .- ( G .xb q ) ) )
78	13, 14, 17, 5, 11, 20, 12	ringsubdi 18599	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( G .xb ( r .- q ) ) = ( ( G .xb r ) .- ( G .xb q ) ) )
79	77, 78	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) = ( G .xb ( r .- q ) ) )
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) = ( D ` ( G .xb ( r .- q ) ) ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) = ( D ` ( G .xb ( r .- q ) ) ) )
82	74, 81	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( D ` G ) <_ ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) )
83		xrlenlt 10103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D ` G ) e. RR* /\ ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) e. RR* ) -> ( ( D ` G ) <_ ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) <-> -. ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
84	36, 29, 83	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( D ` G ) <_ ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) <-> -. ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> ( ( D ` G ) <_ ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) <-> -. ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
86	82, 85	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) /\ q =/= r ) -> -. ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) )
87	86	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( q =/= r -> -. ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) ) )
88	87	necon4ad 2813	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( D ` ( ( F .- ( G .xb q ) ) .- ( F .- ( G .xb r ) ) ) ) < ( D ` G ) -> q = r ) )
89	47, 88	syld 47	. . 3 |- ( ( ph /\ ( q e. B /\ r e. B ) ) -> ( ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) -> q = r ) )
90	89	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. q e. B A. r e. B ( ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) -> q = r ) )
91		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( q = r -> ( G .xb q ) = ( G .xb r ) )
92	91	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( q = r -> ( F .- ( G .xb q ) ) = ( F .- ( G .xb r ) ) )
93	92	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( q = r -> ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) = ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) )
94	93	breq1d 4663	. . 3 |- ( q = r -> ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) )
95	94	rmo4 3399	. 2 |- ( E* q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) <-> A. q e. B A. r e. B ( ( ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) /\ ( D ` ( F .- ( G .xb r ) ) ) < ( D ` G ) ) -> q = r ) )
96	90, 95	sylibr 224	1 |- ( ph -> E* q e. B ( D ` ( F .- ( G .xb q ) ) ) < ( D ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E*wrmo 2915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   Abelcabl 18194   Ringcrg 18547  RLRegcrlreg 19279  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816

This theorem is referenced by:  ply1divalg  23897