Theorem dgrco 24031

Description: The degree of a composition of two polynomials is the product of the degrees. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrco.1	|- M = (deg ` F )
dgrco.2	|- N = (deg ` G )
dgrco.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrco.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrco	|- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Proof of Theorem dgrco

Dummy variables f x y d g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyssc 23956	. . 3 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
2		dgrco.3	. . 3 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
3	1, 2	sseldi 3601	. 2 |- ( ph -> F e. (Poly ` CC ) )
4		dgrco.1	. . . 4 |- M = (deg ` F )
5		dgrcl 23989	. . . . 5 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
6	2, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
7	4, 6	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> M e. NN0 )
8		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ 0 ) )
9	8	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
10	9	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
11	10	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = 0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
12		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = d -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ d ) )
13	12	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( x = d -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
14	13	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = d -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
15	14	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = d -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
16		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) ) )
17	16	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
18	17	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( d + 1 ) -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
20		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( (deg ` f ) <_ x <-> (deg ` f ) <_ M ) )
21	20	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
22	21	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = M -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
23	22	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ x -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) <-> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
24		dgrco.2	. . . . . . . . . . . 12 |- N = (deg ` G )
25		dgrco.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
26		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. (Poly ` S ) -> (deg ` G ) e. NN0 )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` G ) e. NN0 )
28	24, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN0 )
29	28	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. CC )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> N e. CC )
31	30	mul02d 10234	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( 0 x. N ) = 0 )
32		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) <_ 0 )
33		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
34	33	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
35	34	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> 0 <_ (deg ` f ) )
36	34	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
37		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
38		letri3 10123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (deg ` f ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
39	36, 37, 38	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> ( (deg ` f ) <_ 0 /\ 0 <_ (deg ` f ) ) ) )
40	32, 35, 39	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = 0 )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( 0 x. N ) )
42	31, 41, 40	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = (deg ` f ) )
43		fconstmpt 5163	. . . . . . . . 9 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) )
44		0dgrb 24002	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. (Poly ` CC ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
45	44	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( (deg ` f ) = 0 <-> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) ) )
46	40, 45	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) )
47	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
48		plyf 23954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G : CC --> CC )
50	49	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) /\ y e. CC ) -> ( G ` y ) e. CC )
51	49	feqmptd 6249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> G = ( y e. CC |-> ( G ` y ) ) )
52		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( f ` 0 ) } ) = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) )
53	46, 52	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( x e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
54		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( G ` y ) -> ( f ` 0 ) = ( f ` 0 ) )
55	50, 51, 53, 54	fmptco 6396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> ( f o. G ) = ( y e. CC |-> ( f ` 0 ) ) )
56	43, 46, 55	3eqtr4a 2682	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> f = ( f o. G ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` f ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
58	42, 57	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` f ) <_ 0 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
59	58	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ 0 -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
61		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` f ) = (deg ` g ) )
62	61	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` g ) <_ d ) )
63		coeq1 5279	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f o. G ) = ( g o. G ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( g o. G ) ) )
65	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( (deg ` g ) x. N ) )
66	64, 65	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
67	62, 66	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) )
68	67	cbvralv 3171	. . . . . . 7 |- ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
69	33	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. NN0 )
70	69	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> (deg ` f ) e. RR )
71		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. NN0 -> ( d + 1 ) e. NN )
72	71	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. NN )
73	72	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( d + 1 ) e. RR )
74	70, 73	leloed 10180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) <-> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) )
75		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> d e. NN0 )
76		nn0leltp1 11436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (deg ` f ) e. NN0 /\ d e. NN0 ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
77	69, 75, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d <-> (deg ` f ) < ( d + 1 ) ) )
78		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` g ) = (deg ` f ) )
79	78	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` f ) <_ d ) )
80		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = f -> ( g o. G ) = ( f o. G ) )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( f o. G ) ) )
82	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = f -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
83	81, 82	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = f -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
84	79, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
85	84	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
87	77, 86	sylbird 250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (deg ` f ) = (deg ` f )
89		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> f e. (Poly ` CC ) )
90	1, 25	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> G e. (Poly ` CC ) )
91	90	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> G e. (Poly ` CC ) )
92		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coeff ` f ) = (coeff ` f )
93		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> d e. NN0 )
94		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` f ) = ( d + 1 ) )
95		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` g ) = (deg ` h ) )
97	96	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) <_ d <-> (deg ` h ) <_ d ) )
98		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( g = h -> ( g o. G ) = ( h o. G ) )
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> (deg ` ( g o. G ) ) = (deg ` ( h o. G ) ) )
100	96	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g = h -> ( (deg ` g ) x. N ) = ( (deg ` h ) x. N ) )
101	99, 100	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = h -> ( (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) <-> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
102	97, 101	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = h -> ( ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) ) )
103	102	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) <-> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
104	95, 103	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> A. h e. (Poly ` CC ) ( (deg ` h ) <_ d -> (deg ` ( h o. G ) ) = ( (deg ` h ) x. N ) ) )
105	88, 24, 89, 91, 92, 93, 94, 104	dgrcolem2 24030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) /\ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) )
106	105	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) = ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
107	87, 106	jaod 395	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( ( (deg ` f ) < ( d + 1 ) \/ (deg ` f ) = ( d + 1 ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
108	74, 107	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ ( f e. (Poly ` CC ) /\ A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
109	108	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ d e. NN0 ) /\ f e. (Poly ` CC ) ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
110	109	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. g e. (Poly ` CC ) ( (deg ` g ) <_ d -> (deg ` ( g o. G ) ) = ( (deg ` g ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
111	68, 110	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ d e. NN0 ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
112	111	expcom 451	. . . . 5 |- ( d e. NN0 -> ( ph -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
113	112	a2d 29	. . . 4 |- ( d e. NN0 -> ( ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ d -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ ( d + 1 ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) ) )
114	11, 15, 19, 23, 60, 113	nn0ind 11472	. . 3 |- ( M e. NN0 -> ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) ) )
115	7, 114	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
116	7	nn0red 11352	. . 3 |- ( ph -> M e. RR )
117	116	leidd 10594	. 2 |- ( ph -> M <_ M )
118		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( f = F -> (deg ` f ) = (deg ` F ) )
119	118, 4	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` f ) = M )
120	119	breq1d 4663	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) <_ M <-> M <_ M ) )
121		coeq1 5279	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( f o. G ) = ( F o. G ) )
122	121	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( f = F -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( F o. G ) ) )
123	119	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( f = F -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( M x. N ) )
124	122, 123	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( f = F -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) )
125	120, 124	imbi12d 334	. . 3 |- ( f = F -> ( ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
126	125	rspcv 3305	. 2 |- ( F e. (Poly ` CC ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ M -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> ( M <_ M -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) ) ) )
127	3, 115, 117, 126	syl3c 66	1 |- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  taylply2  24122  ftalem7  24805