Theorem dgrcolem2 24030

Description: Lemma for dgrco 24031. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrco.1	|- M = (deg ` F )
dgrco.2	|- N = (deg ` G )
dgrco.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrco.4	|- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
dgrco.5	|- A = (coeff ` F )
dgrco.6	|- ( ph -> D e. NN0 )
dgrco.7	|- ( ph -> M = ( D + 1 ) )
dgrco.8	|- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ D -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrcolem2	|- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Distinct variable groups:   A, f   f, F   f, M   f, N   D, f   f, G   ph, f

Allowed substitution hint:   S( f)

Proof of Theorem dgrcolem2

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrco.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. (Poly ` S ) )
2		plyf 23954	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G : CC --> CC )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : CC --> CC )
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( G ` x ) e. CC )
5		dgrco.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
6		plyf 23954	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : CC --> CC )
8	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( G ` x ) e. CC ) -> ( F ` ( G ` x ) ) e. CC )
9	4, 8	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( F ` ( G ` x ) ) e. CC )
10		dgrco.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = (coeff ` F )
11	10	coef3 23988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC )
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
13		dgrco.1	. . . . . . . . . . . 12 |- M = (deg ` F )
14		dgrcl 23989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
15	5, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` F ) e. NN0 )
16	13, 15	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN0 )
17	12, 16	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A ` M ) e. CC )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( A ` M ) e. CC )
19	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> M e. NN0 )
20	4, 19	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( G ` x ) ^ M ) e. CC )
21	18, 20	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) e. CC )
22	9, 21	npcand 10396	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) + ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
23	22	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) + ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( F ` ( G ` x ) ) ) )
24		cnex 10017	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> CC e. _V )
26	9, 21	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) e. CC )
27		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
28		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
29	25, 26, 21, 27, 28	offval2 6914	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) oF + ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) + ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
30	3	feqmptd 6249	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( x e. CC |-> ( G ` x ) ) )
31	7	feqmptd 6249	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = ( y e. CC |-> ( F ` y ) ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( y = ( G ` x ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` x ) ) )
33	4, 30, 31, 32	fmptco 6396	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F o. G ) = ( x e. CC |-> ( F ` ( G ` x ) ) ) )
34	23, 29, 33	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ph -> ( F o. G ) = ( ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) oF + ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
35	34	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) oF + ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) )
36	35	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( F o. G ) ) = (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) oF + ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) )
37	25, 9, 21, 33, 28	offval2 6914	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F o. G ) oF - ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
38		plyssc 23956	. . . . . . . . 9 |- (Poly ` S ) C_ (Poly ` CC )
39	38, 5	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. (Poly ` CC ) )
40	38, 1	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. (Poly ` CC ) )
41		addcl 10018	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z + w ) e. CC )
42	41	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z + w ) e. CC )
43		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. CC /\ w e. CC ) -> ( z x. w ) e. CC )
44	43	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( z x. w ) e. CC )
45	39, 40, 42, 44	plyco 23997	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F o. G ) e. (Poly ` CC ) )
46		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) )
47		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( G ` x ) -> ( y ^ M ) = ( ( G ` x ) ^ M ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( G ` x ) -> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) = ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
49	4, 30, 46, 48	fmptco 6396	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
50		ssid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- CC C_ CC
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> CC C_ CC )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) )
53	52	ply1term 23960	. . . . . . . . . 10 |- ( ( CC C_ CC /\ ( A ` M ) e. CC /\ M e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
54	51, 17, 16, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
55	54, 40, 42, 44	plyco 23997	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) o. G ) e. (Poly ` CC ) )
56	49, 55	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
57		plysubcl 23978	. . . . . . 7 |- ( ( ( F o. G ) e. (Poly ` CC ) /\ ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) ) -> ( ( F o. G ) oF - ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
58	45, 56, 57	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F o. G ) oF - ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
59	37, 58	eqeltrrd 2702	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
60	59	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
61	56	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
62		dgrco.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M = ( D + 1 ) )
63		dgrco.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. NN0 )
64		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. NN0 -> ( D + 1 ) e. NN )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( D + 1 ) e. NN )
66	62, 65	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
67	66	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < M )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = 0p -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) = (deg ` 0p ) )
69		dgr0 24018	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` 0p ) = 0
70	68, 69	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = 0p -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) = 0 )
71	70	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = 0p -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M <-> 0 < M ) )
72	67, 71	syl5ibrcom 237	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = 0p -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M ) )
73		idd 24	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M ) )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) )
75	13, 74	dgrsub 24028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. (Poly ` CC ) /\ ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) ) -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ if ( M <_ (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , M ) )
76	39, 54, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ if ( M <_ (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , M ) )
77	66	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M =/= 0 )
78	13, 10	dgreq0 24021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( F = 0p <-> ( A ` M ) = 0 ) )
79	5, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F = 0p <-> ( A ` M ) = 0 ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
81	80, 69	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = 0 )
82	13, 81	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F = 0p -> M = 0 )
83	79, 82	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A ` M ) = 0 -> M = 0 ) )
84	83	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M =/= 0 -> ( A ` M ) =/= 0 ) )
85	77, 84	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ` M ) =/= 0 )
86	52	dgr1term 24016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ` M ) e. CC /\ ( A ` M ) =/= 0 /\ M e. NN0 ) -> (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = M )
87	17, 85, 16, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = M )
88	87	ifeq1d 4104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> if ( M <_ (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , M ) = if ( M <_ (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , M , M ) )
89		ifid 4125	. . . . . . . . . . 11 |- if ( M <_ (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , M , M ) = M
90	88, 89	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( M <_ (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , (deg ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) , M ) = M )
91	76, 90	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ M )
92		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) )
93	10, 92	coesub 24013	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. (Poly ` CC ) /\ ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) ) -> (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) = ( A oF - (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) )
94	39, 54, 93	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) = ( A oF - (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) )
95	94	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) ` M ) = ( ( A oF - (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) ` M ) )
96		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A : NN0 --> CC -> A Fn NN0 )
97	12, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A Fn NN0 )
98	92	coef3 23988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) -> (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC )
99	54, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC )
100		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) : NN0 --> CC -> (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) Fn NN0 )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) Fn NN0 )
102		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. _V
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> NN0 e. _V )
104		inidm 3822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
105		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ M e. NN0 ) -> ( A ` M ) = ( A ` M ) )
106	52	coe1term 24015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ` M ) e. CC /\ M e. NN0 /\ M e. NN0 ) -> ( (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ` M ) = if ( M = M , ( A ` M ) , 0 ) )
107	17, 16, 16, 106	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ` M ) = if ( M = M , ( A ` M ) , 0 ) )
108		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M = M
109	108	iftruei 4093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- if ( M = M , ( A ` M ) , 0 ) = ( A ` M )
110	107, 109	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ` M ) = ( A ` M ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ M e. NN0 ) -> ( (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ` M ) = ( A ` M ) )
112	97, 101, 103, 103, 104, 105, 111	ofval 6906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ M e. NN0 ) -> ( ( A oF - (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) ` M ) = ( ( A ` M ) - ( A ` M ) ) )
113	16, 112	mpdan 702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A oF - (coeff ` ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) ` M ) = ( ( A ` M ) - ( A ` M ) ) )
114	17	subidd 10380	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ` M ) - ( A ` M ) ) = 0 )
115	95, 113, 114	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) ` M ) = 0 )
116		plysubcl 23978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. (Poly ` CC ) /\ ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) ) -> ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
117	39, 54, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
118		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) = (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) )
119		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) = (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) )
120	118, 119	dgrlt 24022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) /\ M e. NN0 ) -> ( ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = 0p \/ (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M ) <-> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ M /\ ( (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) ` M ) = 0 ) ) )
121	117, 16, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = 0p \/ (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M ) <-> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ M /\ ( (coeff ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) ` M ) = 0 ) ) )
122	91, 115, 121	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = 0p \/ (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M ) )
123	72, 73, 122	mpjaod 396	. . . . . . 7 |- ( ph -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M )
124	123	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M )
125		dgrcl 23989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) e. NN0 )
126	117, 125	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) e. NN0 )
127	126	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) e. RR )
128	127	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) e. RR )
129	16	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. RR )
130	129	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> M e. RR )
131		nnre 11027	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
132	131	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> N e. RR )
133		nngt0 11049	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
134	133	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> 0 < N )
135		ltmul1 10873	. . . . . . 7 |- ( ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M <-> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) < ( M x. N ) ) )
136	128, 130, 132, 134, 135	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < M <-> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) < ( M x. N ) ) )
137	124, 136	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) < ( M x. N ) )
138	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( F ` y ) e. CC )
139	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( A ` M ) e. CC )
140		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. CC -> y e. CC )
141		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ M e. NN0 ) -> ( y ^ M ) e. CC )
142	140, 16, 141	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( y ^ M ) e. CC )
143	139, 142	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. CC ) -> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) e. CC )
144	25, 138, 143, 31, 46	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( F ` y ) - ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) )
145	32, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( G ` x ) -> ( ( F ` y ) - ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) = ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
146	4, 30, 144, 145	fmptco 6396	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
147	146	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> (deg ` ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) )
148		dgrco.8	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ D -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) )
149	123, 62	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < ( D + 1 ) )
150		nn0leltp1 11436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) e. NN0 /\ D e. NN0 ) -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ D <-> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < ( D + 1 ) ) )
151	126, 63, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ D <-> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) < ( D + 1 ) ) )
152	149, 151	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ D )
153		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) -> (deg ` f ) = (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) )
154	153	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) <_ D <-> (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ D ) )
155		coeq1 5279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) -> ( f o. G ) = ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) )
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) -> (deg ` ( f o. G ) ) = (deg ` ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) ) )
157	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) -> ( (deg ` f ) x. N ) = ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) )
158	156, 157	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) -> ( (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) <-> (deg ` ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) ) = ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) ) )
159	154, 158	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) -> ( ( (deg ` f ) <_ D -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) <-> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ D -> (deg ` ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) ) = ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) ) ) )
160	159	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) -> ( A. f e. (Poly ` CC ) ( (deg ` f ) <_ D -> (deg ` ( f o. G ) ) = ( (deg ` f ) x. N ) ) -> ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) <_ D -> (deg ` ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) ) = ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) ) ) )
161	117, 148, 152, 160	syl3c 66	. . . . . . 7 |- ( ph -> (deg ` ( ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) o. G ) ) = ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) )
162	147, 161	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) = ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) )
163	162	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) = ( (deg ` ( F oF - ( y e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( y ^ M ) ) ) ) ) x. N ) )
164		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( CC X. { ( A ` M ) } ) = ( x e. CC |-> ( A ` M ) )
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( CC X. { ( A ` M ) } ) = ( x e. CC |-> ( A ` M ) ) )
166		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
167	25, 18, 20, 165, 166	offval2 6914	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( CC X. { ( A ` M ) } ) oF x. ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (deg ` ( ( CC X. { ( A ` M ) } ) oF x. ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
169		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y ^ M ) ) = ( y e. CC |-> ( y ^ M ) ) )
170	4, 30, 169, 47	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ M ) ) o. G ) = ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) )
171		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
172		plypow 23961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( CC C_ CC /\ 1 e. CC /\ M e. NN0 ) -> ( y e. CC |-> ( y ^ M ) ) e. (Poly ` CC ) )
173	51, 171, 16, 172	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y ^ M ) ) e. (Poly ` CC ) )
174	173, 40, 42, 44	plyco 23997	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( y e. CC |-> ( y ^ M ) ) o. G ) e. (Poly ` CC ) )
175	170, 174	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) e. (Poly ` CC ) )
176		dgrmulc 24027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` M ) e. CC /\ ( A ` M ) =/= 0 /\ ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) e. (Poly ` CC ) ) -> (deg ` ( ( CC X. { ( A ` M ) } ) oF x. ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
177	17, 85, 175, 176	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (deg ` ( ( CC X. { ( A ` M ) } ) oF x. ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
178	168, 177	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
179	178	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
180		dgrco.2	. . . . . . 7 |- N = (deg ` G )
181	66	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> M e. NN )
182		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> N e. NN )
183	1	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> G e. (Poly ` S ) )
184	180, 181, 182, 183	dgrcolem1 24029	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) = ( M x. N ) )
185	179, 184	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = ( M x. N ) )
186	137, 163, 185	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) < (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
187		eqid 2622	. . . . 5 |- (deg ` ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
188		eqid 2622	. . . . 5 |- (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) )
189	187, 188	dgradd2 24024	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) e. (Poly ` CC ) /\ ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) < (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) oF + ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
190	60, 61, 186, 189	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( ( x e. CC |-> ( ( F ` ( G ` x ) ) - ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) oF + ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) ) = (deg ` ( x e. CC |-> ( ( A ` M ) x. ( ( G ` x ) ^ M ) ) ) ) )
191	36, 190, 185	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )
192		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
193		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( G : CC --> CC /\ 0 e. CC ) -> ( G ` 0 ) e. CC )
194	3, 192, 193	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G ` 0 ) e. CC )
195	7, 194	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( G ` 0 ) ) e. CC )
196		0dgr 24001	. . . . . 6 |- ( ( F ` ( G ` 0 ) ) e. CC -> (deg ` ( CC X. { ( F ` ( G ` 0 ) ) } ) ) = 0 )
197	195, 196	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> (deg ` ( CC X. { ( F ` ( G ` 0 ) ) } ) ) = 0 )
198	16	nn0cnd 11353	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. CC )
199	198	mul01d 10235	. . . . 5 |- ( ph -> ( M x. 0 ) = 0 )
200	197, 199	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` ( CC X. { ( F ` ( G ` 0 ) ) } ) ) = ( M x. 0 ) )
201	200	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> (deg ` ( CC X. { ( F ` ( G ` 0 ) ) } ) ) = ( M x. 0 ) )
202	194	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ N = 0 ) /\ x e. CC ) -> ( G ` 0 ) e. CC )
203		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> N = 0 )
204	180, 203	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> (deg ` G ) = 0 )
205		0dgrb 24002	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. (Poly ` S ) -> ( (deg ` G ) = 0 <-> G = ( CC X. { ( G ` 0 ) } ) ) )
206	1, 205	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( (deg ` G ) = 0 <-> G = ( CC X. { ( G ` 0 ) } ) ) )
207	206	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( (deg ` G ) = 0 <-> G = ( CC X. { ( G ` 0 ) } ) ) )
208	204, 207	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> G = ( CC X. { ( G ` 0 ) } ) )
209		fconstmpt 5163	. . . . . . 7 |- ( CC X. { ( G ` 0 ) } ) = ( x e. CC |-> ( G ` 0 ) )
210	208, 209	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> G = ( x e. CC |-> ( G ` 0 ) ) )
211	31	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> F = ( y e. CC |-> ( F ` y ) ) )
212		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = ( G ` 0 ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` 0 ) ) )
213	202, 210, 211, 212	fmptco 6396	. . . . 5 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( F o. G ) = ( x e. CC |-> ( F ` ( G ` 0 ) ) ) )
214		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( CC X. { ( F ` ( G ` 0 ) ) } ) = ( x e. CC |-> ( F ` ( G ` 0 ) ) )
215	213, 214	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( F o. G ) = ( CC X. { ( F ` ( G ` 0 ) ) } ) )
216	215	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> (deg ` ( F o. G ) ) = (deg ` ( CC X. { ( F ` ( G ` 0 ) ) } ) ) )
217	203	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> ( M x. N ) = ( M x. 0 ) )
218	201, 216, 217	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ N = 0 ) -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )
219		dgrcl 23989	. . . . 5 |- ( G e. (Poly ` S ) -> (deg ` G ) e. NN0 )
220	1, 219	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (deg ` G ) e. NN0 )
221	180, 220	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
222		elnn0 11294	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
223	221, 222	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
224	191, 218, 223	mpjaodan 827	1 |- ( ph -> (deg ` ( F o. G ) ) = ( M x. N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  dgrco  24031