Theorem pmatcollpw 20586

Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 26-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
pmatcollpw.b	|- B = ( Base ` C )
pmatcollpw.m	|- .* = ( .s ` C )
pmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
pmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw	|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> M = ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   R, n   n, X   .^ , n

Allowed substitution hints:   C( n)   T( n)   .* ( n)

Proof of Theorem pmatcollpw

Dummy variables i j a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . 3 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		pmatcollpw.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
3		pmatcollpw.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
4		pmatcollpw.b	. . . 4 |- B = ( Base ` C )
5		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` P ) = ( .s ` P )
6		pmatcollpw.e	. . . 4 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
7		pmatcollpw.x	. . . 4 |- X = (var1 ` R )
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	pmatcollpw2 20583	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> M = ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) ) ) )
9	1, 8	syl3an2 1360	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> M = ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) ) ) )
10		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) )
11		oveq12 6659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( i ( M decompPMat n ) j ) = ( a ( M decompPMat n ) b ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = a /\ j = b ) -> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) = ( ( a ( M decompPMat n ) b ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) /\ ( i = a /\ j = b ) ) -> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) = ( ( a ( M decompPMat n ) b ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) )
14		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> a e. N )
15		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
16	15	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> b e. N )
17		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. CRing )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> R e. CRing )
19	18, 1	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> R e. Ring )
21		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( N Mat R ) = ( N Mat R )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` ( N Mat R ) ) = ( Base ` ( N Mat R ) )
24		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> M e. B )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> M e. B )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
27	2, 3, 4, 21, 23	decpmatcl 20572	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ n e. NN0 ) -> ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
28	18, 25, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
30	21, 22, 23, 14, 16, 29	matecld 20232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( M decompPMat n ) b ) e. ( Base ` R ) )
31		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> n e. NN0 )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
34	22, 2, 7, 5, 32, 6, 33	ply1tmcl 19642	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( a ( M decompPMat n ) b ) e. ( Base ` R ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( a ( M decompPMat n ) b ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) e. ( Base ` P ) )
35	20, 30, 31, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( ( a ( M decompPMat n ) b ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) e. ( Base ` P ) )
36	10, 13, 14, 16, 35	ovmpt2d 6788	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) b ) = ( ( a ( M decompPMat n ) b ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) )
37		pmatcollpw.m	. . . . . . . . 9 |- .* = ( .s ` C )
38		pmatcollpw.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( N matToPolyMat R )
39	2, 3, 4, 37, 6, 7, 38	pmatcollpwlem 20585	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( ( a ( M decompPMat n ) b ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) = ( a ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) b ) )
40	39	3expb 1266	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( ( a ( M decompPMat n ) b ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) = ( a ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) b ) )
41	36, 40	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) b ) = ( a ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) b ) )
42	41	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) b ) = ( a ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) b ) )
43		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> N e. Fin )
44	2	ply1ring 19618	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
45	1, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> P e. Ring )
46	45	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> P e. Ring )
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> P e. Ring )
48	19	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> R e. Ring )
49		simp2 1062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> i e. N )
50		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> j e. N )
51	28	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
52	21, 22, 23, 49, 50, 51	matecld 20232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( i ( M decompPMat n ) j ) e. ( Base ` R ) )
53	26	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> n e. NN0 )
54	22, 2, 7, 5, 32, 6, 33	ply1tmcl 19642	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( i ( M decompPMat n ) j ) e. ( Base ` R ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) e. ( Base ` P ) )
55	48, 52, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) /\ i e. N /\ j e. N ) -> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) e. ( Base ` P ) )
56	3, 33, 4, 43, 47, 55	matbas2d 20229	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) e. B )
57	1	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
58	2, 7, 32, 6, 33	ply1moncl 19641	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
59	57, 58	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
60	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring )
61	38, 21, 23, 2, 3	mat2pmatbas 20531	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) ) -> ( T ` ( M decompPMat n ) ) e. ( Base ` C ) )
62	43, 60, 28, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( M decompPMat n ) ) e. ( Base ` C ) )
63	62, 4	syl6eleqr 2712	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( M decompPMat n ) ) e. B )
64	33, 3, 4, 37	matvscl 20237	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) /\ ( ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` ( M decompPMat n ) ) e. B ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) e. B )
65	43, 47, 59, 63, 64	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) e. B )
66	3, 4	eqmat 20230	. . . . . 6 |- ( ( ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) e. B /\ ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) e. B ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) <-> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) b ) = ( a ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) b ) ) )
67	56, 65, 66	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) <-> A. a e. N A. b e. N ( a ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) b ) = ( a ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) b ) ) )
68	42, 67	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) )
69	68	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) )
70	69	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( i e. N , j e. N |-> ( ( i ( M decompPMat n ) j ) ( .s ` P ) ( n .^ X ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )
71	9, 70	eqtrd 2656	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> M = ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .scvsca 15945   gsum_g cgsu 16101  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509   decompPMat cdecpmat 20567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512  df-decpmat 20568

This theorem is referenced by:  pmatcollpwfi  20587  pmatcollpw3  20589  pmatcollpwscmat  20596