Theorem pmatcollpwfi 20587

Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 4-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	|- P = (Poly1 ` R )
pmatcollpw.c	|- C = ( N Mat P )
pmatcollpw.b	|- B = ( Base ` C )
pmatcollpw.m	|- .* = ( .s ` C )
pmatcollpw.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
pmatcollpw.x	|- X = (var1 ` R )
pmatcollpw.t	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpwfi	|- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN0 M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... s ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   P, n   R, n   n, X   .^ , n   B, s, n   C, n   M, s   N, s   R, s

Allowed substitution hints:   C( s)   P( s)   T( n, s)   .^ ( s)   .* ( n, s)   X( s)

Proof of Theorem pmatcollpwfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . . 4 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2	1	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
3		simp3 1063	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> M e. B )
4		pmatcollpw.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
5		pmatcollpw.c	. . . 4 |- C = ( N Mat P )
6		pmatcollpw.b	. . . 4 |- B = ( Base ` C )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ( N Mat R ) = ( N Mat R )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` ( N Mat R ) ) = ( 0g ` ( N Mat R ) )
9	4, 5, 6, 7, 8	decpmataa0 20573	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ M e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) )
10	2, 3, 9	syl2anc 693	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) )
11		pmatcollpw.m	. . . . . . 7 |- .* = ( .s ` C )
12		pmatcollpw.e	. . . . . . 7 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` P ) )
13		pmatcollpw.x	. . . . . . 7 |- X = (var1 ` R )
14		pmatcollpw.t	. . . . . . 7 |- T = ( N matToPolyMat R )
15	4, 5, 6, 11, 12, 13, 14	pmatcollpw 20586	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> M = ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )
16	15	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )
17		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ n ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 )
18		nfra1 2941	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) )
19	17, 18	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ n ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) )
20		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` C ) = ( 0g ` C )
21		simp1 1061	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> N e. Fin )
22	4, 5	pmatring 20498	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. Ring )
23	21, 2, 22	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> C e. Ring )
24		ringcmn 18581	. . . . . . . 8 |- ( C e. Ring -> C e. CMnd )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> C e. CMnd )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) ) -> C e. CMnd )
27	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> N e. Fin )
28	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring )
29	4	ply1ring 19618	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> P e. Ring )
31	2	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` P ) = (mulGrp ` P )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
34	4, 13, 32, 12, 33	ply1moncl 19641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
35	31, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
36		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> R e. CRing )
37	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> M e. B )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` ( N Mat R ) ) = ( Base ` ( N Mat R ) )
40	4, 5, 6, 7, 39	decpmatcl 20572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. CRing /\ M e. B /\ n e. NN0 ) -> ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
41	36, 37, 38, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
42	14, 7, 39, 4, 5, 6	mat2pmatbas0 20532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( M decompPMat n ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) ) -> ( T ` ( M decompPMat n ) ) e. B )
43	27, 28, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( M decompPMat n ) ) e. B )
44	33, 5, 6, 11	matvscl 20237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) /\ ( ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) /\ ( T ` ( M decompPMat n ) ) e. B ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) e. B )
45	27, 30, 35, 43, 44	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) e. B )
46	45	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> A. n e. NN0 ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) e. B )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) ) -> A. n e. NN0 ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) e. B )
48		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) -> s e. NN0 )
49	48	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) ) -> s e. NN0 )
50		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) -> ( T ` ( M decompPMat n ) ) = ( T ` ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) )
51	2, 21	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( R e. Ring /\ N e. Fin ) )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( R e. Ring /\ N e. Fin ) )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` ( N Mat P ) ) = ( 0g ` ( N Mat P ) )
54	14, 4, 8, 53	0mat2pmat 20541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( T ` ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) = ( 0g ` ( N Mat P ) ) )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( T ` ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) = ( 0g ` ( N Mat P ) ) )
56	50, 55	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) /\ ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> ( T ` ( M decompPMat n ) ) = ( 0g ` ( N Mat P ) ) )
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) /\ ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` ( N Mat P ) ) ) )
58	4, 5	pmatlmod 20499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> C e. LMod )
59	21, 2, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> C e. LMod )
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> C e. LMod )
61	31	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( R e. Ring /\ n e. NN0 ) )
62	61, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` P ) )
63	4	ply1crng 19568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R e. CRing -> P e. CRing )
64	63	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
65	64	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ P e. CRing ) )
66	5	matsca2 20226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. Fin /\ P e. CRing ) -> P = (Scalar ` C ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> P = (Scalar ` C ) )
68	67	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (Scalar ` C ) = P )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> (Scalar ` C ) = P )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` P ) )
71	62, 70	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) )
72	5	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N Mat P ) = C
73	72	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` ( N Mat P ) ) = ( 0g ` C )
74	73	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` ( N Mat P ) ) ) = ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` C ) = (Scalar ` C )
76		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` C ) ) = ( Base ` (Scalar ` C ) )
77	75, 11, 76, 20	lmodvs0 18897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. LMod /\ ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` C ) ) = ( 0g ` C ) )
78	74, 77	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. LMod /\ ( n .^ X ) e. ( Base ` (Scalar ` C ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` ( N Mat P ) ) ) = ( 0g ` C ) )
79	60, 71, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` ( N Mat P ) ) ) = ( 0g ` C ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) /\ ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( 0g ` ( N Mat P ) ) ) = ( 0g ` C ) )
81	57, 80	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) /\ ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) = ( 0g ` C ) )
82	81	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) )
83	82	imim2d 57	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> ( s < n -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) ) )
84	83	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) ) )
85	84	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) ) -> A. n e. NN0 ( s < n -> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) = ( 0g ` C ) ) )
86	19, 6, 20, 26, 47, 49, 85	gsummptnn0fz 18382	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) ) -> ( C gsumg ( n e. NN0 |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... s ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )
87	16, 86	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) /\ A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... s ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )
88	87	ex 450	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN0 ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... s ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) ) )
89	88	reximdva 3017	. 2 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( M decompPMat n ) = ( 0g ` ( N Mat R ) ) ) -> E. s e. NN0 M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... s ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) ) )
90	10, 89	mpd 15	1 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> E. s e. NN0 M = ( C gsumg ( n e. ( 0 ... s ) |-> ( ( n .^ X ) .* ( T ` ( M decompPMat n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   < clt 10074   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  ._gcmg 17540  CMndccmn 18193  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509   decompPMat cdecpmat 20567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512  df-decpmat 20568

This theorem is referenced by:  pmatcollpw3fi  20590