Theorem prdsdsf 22172

Description: The product metric is a function into the nonnegative extended reals. In general this means that it is not a metric but rather an *extended* metric (even when all the factors are metrics), but it will be a metric when restricted to regions where it does not take infinite values. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsdsf.y	|- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
prdsdsf.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsdsf.v	|- V = ( Base ` R )
prdsdsf.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
prdsdsf.d	|- D = ( dist ` Y )
prdsdsf.s	|- ( ph -> S e. W )
prdsdsf.i	|- ( ph -> I e. X )
prdsdsf.r	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
prdsdsf.m	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )

Assertion

Ref	Expression
prdsdsf	|- ( ph -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )

Distinct variable groups:   x, I   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   D( x)   R( x)   S( x)   E( x)   V( x)   W( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem prdsdsf

Dummy variables f g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
2		prdsdsf.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. Z )
3		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( R e. Z -> R e. _V )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> R e. _V )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. I R e. _V )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I R e. _V )
7		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ y / x ]_ R
8	7	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x [_ y / x ]_ R e. _V
9		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> R = [_ y / x ]_ R )
10	9	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( R e. _V <-> [_ y / x ]_ R e. _V ) )
11	8, 10	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. I -> ( A. x e. I R e. _V -> [_ y / x ]_ R e. _V ) )
12	6, 11	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> [_ y / x ]_ R e. _V )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. I |-> R ) = ( x e. I |-> R )
14	13	fvmpts 6285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. I /\ [_ y / x ]_ R e. _V ) -> ( ( x e. I |-> R ) ` y ) = [_ y / x ]_ R )
15	1, 12, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( ( x e. I |-> R ) ` y ) = [_ y / x ]_ R )
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) = ( dist ` [_ y / x ]_ R ) )
17	16	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) = ( ( f ` y ) ( dist ` [_ y / x ]_ R ) ( g ` y ) ) )
18		prdsdsf.y	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Y = ( S X_s ( x e. I |-> R ) )
19		prdsdsf.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = ( Base ` Y )
20		prdsdsf.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. W )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> S e. W )
22		prdsdsf.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I e. X )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> I e. X )
24		prdsdsf.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V = ( Base ` R )
25		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> f e. B )
26	18, 19, 21, 23, 6, 24, 25	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( f ` x ) e. V )
27		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ y / x ]_ V
28	27	nfel2 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( f ` y ) e. [_ y / x ]_ V
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( f ` x ) = ( f ` y ) )
30		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> V = [_ y / x ]_ V )
31	29, 30	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( f ` x ) e. V <-> ( f ` y ) e. [_ y / x ]_ V ) )
32	28, 31	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. I -> ( A. x e. I ( f ` x ) e. V -> ( f ` y ) e. [_ y / x ]_ V ) )
33	26, 32	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( f ` y ) e. [_ y / x ]_ V )
34		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> g e. B )
35	18, 19, 21, 23, 6, 24, 34	prdsbascl 16143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I ( g ` x ) e. V )
36	27	nfel2 2781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( g ` y ) e. [_ y / x ]_ V
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( g ` x ) = ( g ` y ) )
38	37, 30	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( g ` x ) e. V <-> ( g ` y ) e. [_ y / x ]_ V ) )
39	36, 38	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. I -> ( A. x e. I ( g ` x ) e. V -> ( g ` y ) e. [_ y / x ]_ V ) )
40	35, 39	mpan9 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( g ` y ) e. [_ y / x ]_ V )
41	33, 40	ovresd 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( ( f ` y ) ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) ( g ` y ) ) = ( ( f ` y ) ( dist ` [_ y / x ]_ R ) ( g ` y ) ) )
42	17, 41	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) = ( ( f ` y ) ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) ( g ` y ) ) )
43		prdsdsf.m	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E e. ( *Met ` V ) )
44	43	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. x e. I E e. ( *Met ` V ) )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> A. x e. I E e. ( *Met ` V ) )
46		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x dist
47	46, 7	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( dist ` [_ y / x ]_ R )
48	27, 27	nfxp 5142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V )
49	47, 48	nfres 5398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) )
50		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x *Met
51	50, 27	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( *Met ` [_ y / x ]_ V )
52	49, 51	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) e. ( *Met ` [_ y / x ]_ V )
53		prdsdsf.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
54	9	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( dist ` R ) = ( dist ` [_ y / x ]_ R ) )
55	30	sqxpeqd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( V X. V ) = ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) )
56	54, 55	reseq12d 5397	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) ) = ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) )
57	53, 56	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> E = ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) )
58	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( *Met ` V ) = ( *Met ` [_ y / x ]_ V ) )
59	57, 58	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( E e. ( *Met ` V ) <-> ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) e. ( *Met ` [_ y / x ]_ V ) ) )
60	52, 59	rspc 3303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. I -> ( A. x e. I E e. ( *Met ` V ) -> ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) e. ( *Met ` [_ y / x ]_ V ) ) )
61	45, 60	mpan9 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) e. ( *Met ` [_ y / x ]_ V ) )
62		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) e. ( *Met ` [_ y / x ]_ V ) /\ ( f ` y ) e. [_ y / x ]_ V /\ ( g ` y ) e. [_ y / x ]_ V ) -> ( ( f ` y ) ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) ( g ` y ) ) e. RR* )
63	61, 33, 40, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( ( f ` y ) ( ( dist ` [_ y / x ]_ R ) |` ( [_ y / x ]_ V X. [_ y / x ]_ V ) ) ( g ` y ) ) e. RR* )
64	42, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) /\ y e. I ) -> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) e. RR* )
65		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) )
66	64, 65	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) : I --> RR* )
67		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) : I --> RR* -> ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) C_ RR* )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) C_ RR* )
69		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
70	69	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 e. RR* )
71	70	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> { 0 } C_ RR* )
72	68, 71	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* )
73		supxrcl 12145	. . . . . 6 |- ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* -> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. RR* )
74	72, 73	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. RR* )
75		ssun2 3777	. . . . . . 7 |- { 0 } C_ ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } )
76		c0ex 10034	. . . . . . . 8 |- 0 e. _V
77	76	snss 4316	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) <-> { 0 } C_ ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) )
78	75, 77	mpbir 221	. . . . . 6 |- 0 e. ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } )
79		supxrub 12154	. . . . . 6 |- ( ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) C_ RR* /\ 0 e. ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) ) -> 0 <_ sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
80	72, 78, 79	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> 0 <_ sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
81		elxrge0 12281	. . . . 5 |- ( sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
82	74, 80, 81	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f e. B /\ g e. B ) ) -> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
83	82	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. f e. B A. g e. B sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
84		eqid 2622	. . . 4 |- ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) = ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) )
85	84	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. f e. B A. g e. B sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
86	83, 85	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )
87		mptexg 6484	. . . . 5 |- ( I e. X -> ( x e. I |-> R ) e. _V )
88	22, 87	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> R ) e. _V )
89	2	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I R e. Z )
90		dmmptg 5632	. . . . 5 |- ( A. x e. I R e. Z -> dom ( x e. I |-> R ) = I )
91	89, 90	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> dom ( x e. I |-> R ) = I )
92		prdsdsf.d	. . . 4 |- D = ( dist ` Y )
93	18, 20, 88, 19, 91, 92	prdsds 16124	. . 3 |- ( ph -> D = ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) )
94	93	feq1d 6030	. 2 |- ( ph -> ( D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) <-> ( f e. B , g e. B |-> sup ( ( ran ( y e. I |-> ( ( f ` y ) ( dist ` ( ( x e. I |-> R ) ` y ) ) ( g ` y ) ) ) u. { 0 } ) , RR* , < ) ) : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) ) )
95	86, 94	mpbird 247	1 |- ( ph -> D : ( B X. B ) --> ( 0 [,] +oo ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supcsup 8346   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178   Basecbs 15857   distcds 15950   X__scprds 16106   *Metcxmt 19731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-prds 16108  df-xmet 19739

This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  22173  prdsmet  22175