Theorem zprod 14667

Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zprod.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zprod.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zprod.3	|- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
zprod.4	|- ( ph -> A C_ Z )
zprod.5	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
zprod.6	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zprod	|- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n, y   B, n, y   k, F   k, n, ph, y   k, M, y   ph, n, y   n, Z

Allowed substitution hints:   B( k)   F( y, n)   M( n)   Z( y, k)

Proof of Theorem zprod

Dummy variables f g i j m x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 1059	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
2		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i if ( k e. A , B , 1 )
3		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k i e. A
4		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
5		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k 1
6	3, 4, 5	nfif 4115	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 1 )
7		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( k e. A <-> i e. A ) )
8		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
9	7, 8	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = i -> if ( k e. A , B , 1 ) = if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 1 ) )
10	2, 6, 9	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( i e. ZZ |-> if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 1 ) )
11		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ph )
12		zprod.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
13	12	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
14	4	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ i / k ]_ B e. CC
15	8	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> ( B e. CC <-> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
16	14, 15	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
17	13, 16	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A -> ( ph -> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
18	11, 17	mpan9 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
19		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> m e. ZZ )
20		zprod.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> M e. ZZ )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
23		zprod.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ Z )
24		zprod.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
25	23, 24	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
27	10, 18, 19, 21, 22, 26	prodrb 14662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
28	27	biimpd 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
29	28	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
30	1, 29	syl5 34	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
31	30	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
32		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
33		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ZZ C_ RR
34	32, 33	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ZZ>= ` M ) C_ RR
35	24, 34	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z C_ RR
36	23, 35	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A C_ RR )
37	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ RR )
38		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
39		soss 5053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A C_ RR -> ( < Or RR -> < Or A ) )
40	37, 38, 39	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> < Or A )
41		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... m ) e. Fin
42		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 ... m ) e. _V
43	42	f1oen 7976	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> ( 1 ... m ) ~~ A )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
45	44	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
46		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
47	41, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
48		fz1iso 13246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( < Or A /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
49	40, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
50		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) -> ph )
51	50, 17	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
53	52	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
54		csbco 3543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B
55	53, 54	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B )
56	55	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) = ( j e. NN |-> [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B ) = ( j e. NN |-> [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B )
58		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
59	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) -> M e. ZZ )
60	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
61		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
62		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) )
63	10, 51, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62	prodmolem2a 14664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) )
64	63	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) )
65	64	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... ( # ` A ) ) , A ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) )
66	49, 65	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) )
67		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) -> ( seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) )
68	66, 67	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
69	68	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
70	69	exlimdv 1861	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
71	70	rexlimdva 3031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
72	31, 71	jaod 395	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
73	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> M e. ZZ )
74	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> A C_ Z )
75		zprod.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) )
76	24	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Z <-> n e. ( ZZ>= ` M ) )
77		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ZZ )
79		uztrn 11704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( ZZ>= ` n ) /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
80	79	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( ZZ>= ` n ) ) -> z e. ( ZZ>= ` M ) )
81	24	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
82		zprod.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
83	24, 32	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- Z C_ ZZ
84	83	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. Z -> k e. ZZ )
85		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
86	85	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) = B )
87	86, 12	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
88	87	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) )
89		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) = 1 )
90		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. CC
91	89, 90	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
92	88, 91	pm2.61d1 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> if ( k e. A , B , 1 ) e. CC )
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
94	93	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( k e. ZZ /\ if ( k e. A , B , 1 ) e. CC ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
95	84, 92, 94	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = if ( k e. A , B , 1 ) )
96	82, 95	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) )
97	81, 96	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) )
98	97	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) )
99		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z )
100	99	nfeq2 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k ( F ` z ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> ( F ` k ) = ( F ` z ) )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) )
103	101, 102	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = z -> ( ( F ` k ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) <-> ( F ` z ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) ) )
104	100, 103	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) -> ( F ` z ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) ) )
105	98, 104	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` z ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) )
106	80, 105	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ z e. ( ZZ>= ` n ) ) ) -> ( F ` z ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) )
107	106	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ z e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( F ` z ) = ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) )
108	78, 107	seqfeq 12826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> seq n ( x. , F ) = seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) )
109	108	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq n ( x. , F ) ~~> y <-> seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
110	109	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
111	110	exbidv 1850	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
112	76, 111	sylan2b 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
113	112	rexbidva 3049	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) <-> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
114	75, 113	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
115	114	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) )
116		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x )
117		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = M -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` M ) )
118	117, 24	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( ZZ>= ` m ) = Z )
119	118	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ Z ) )
120	118	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) <-> E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) ) )
121		seqeq1 12804	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) )
122	121	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
123	119, 120, 122	3anbi123d 1399	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ Z /\ E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) )
124	123	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A C_ Z /\ E. n e. Z E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
125	73, 74, 115, 116, 124	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
126	125	orcd 407	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
127	126	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) )
128	72, 127	impbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) )
129	95, 82	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
130	81, 129	sylan2br 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
131	130	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
132	99	nfeq1 2778	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) = ( F ` z )
133	102, 101	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( k = z -> ( ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = ( F ` k ) <-> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) = ( F ` z ) ) )
134	132, 133	rspc 3303	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` k ) = ( F ` k ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) = ( F ` z ) ) )
135	131, 134	mpan9 486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ` z ) = ( F ` z ) )
136	20, 135	seqfeq 12826	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) = seq M ( x. , F ) )
137	136	breq1d 4663	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( x. , F ) ~~> x ) )
138	128, 137	bitrd 268	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( x. , F ) ~~> x ) )
139	138	iotabidv 5872	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x seq M ( x. , F ) ~~> x ) )
140		df-prod 14636	. 2 |- prod_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y =/= 0 /\ seq n ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> [_ ( f ` n ) / k ]_ B ) ) ` m ) ) ) )
141		df-fv 5896	. 2 |- ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) = ( iota x seq M ( x. , F ) ~~> x )
142	139, 140, 141	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( x. , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   iotacio 5849   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   ~~> cli 14215   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  iprod  14668  zprodn0  14669  prodss  14677