Theorem psrridm 19404

Description: The identity element of the ring of power series is a right identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i	|- ( ph -> I e. V )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )
psr1cl.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psr1cl.z	|- .0. = ( 0g ` R )
psr1cl.o	|- .1. = ( 1r ` R )
psr1cl.u	|- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
psr1cl.b	|- B = ( Base ` S )
psrlidm.t	|- .x. = ( .r ` S )
psrlidm.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrridm	|- ( ph -> ( X .x. U ) = X )

Distinct variable groups:   x, f, .0.   f, I, x   x, B   R, f, x   x, D   f, X, x   ph, x   x, V   x, .x.   x, S   x, .1.

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   S( f)   .x. ( f)   U( x, f)   .1. ( f)   V( f)

Proof of Theorem psrridm

Dummy variables y z g w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psr1cl.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4		psr1cl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` S )
5		psrlidm.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` S )
6		psrring.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
7		psrlidm.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. B )
8		psrring.i	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. V )
9		psr1cl.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
10		psr1cl.o	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` R )
11		psr1cl.u	. . . . . 6 |- U = ( x e. D |-> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
12	1, 8, 6, 3, 9, 10, 11, 4	psr1cl 19402	. . . . 5 |- ( ph -> U e. B )
13	1, 4, 5, 6, 7, 12	psrmulcl 19388	. . . 4 |- ( ph -> ( X .x. U ) e. B )
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 19379	. . 3 |- ( ph -> ( X .x. U ) : D --> ( Base ` R ) )
15	14	ffnd 6046	. 2 |- ( ph -> ( X .x. U ) Fn D )
16	1, 2, 3, 4, 7	psrelbas 19379	. . 3 |- ( ph -> X : D --> ( Base ` R ) )
17	16	ffnd 6046	. 2 |- ( ph -> X Fn D )
18		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
19	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> X e. B )
20	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> U e. B )
21		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y e. D )
22	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21	psrmulval 19386	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X .x. U ) ` y ) = ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
23	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> I e. V )
24	3	psrbagf 19365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ y e. D ) -> y : I --> NN0 )
25	8, 24	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y : I --> NN0 )
26		nn0re 11301	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN0 -> z e. RR )
27	26	leidd 10594	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN0 -> z <_ z )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. NN0 ) -> z <_ z )
29	23, 25, 28	caofref 6923	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y oR <_ y )
30		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( g = y -> ( g oR <_ y <-> y oR <_ y ) )
31	30	elrab 3363	. . . . . . . 8 |- ( y e. { g e. D | g oR <_ y } <-> ( y e. D /\ y oR <_ y ) )
32	21, 29, 31	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y e. { g e. D | g oR <_ y } )
33	32	snssd 4340	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { y } C_ { g e. D | g oR <_ y } )
34	33	resmptd 5452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { y } ) = ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { y } ) ) = ( R gsumg ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
36		ringcmn 18581	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
37	6, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CMnd )
38	37	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. CMnd )
39		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
40	3, 39	rab2ex 4816	. . . . . 6 |- { g e. D | g oR <_ y } e. _V
41	40	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { g e. D | g oR <_ y } e. _V )
42	6	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> R e. Ring )
43	16	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> X : D --> ( Base ` R ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z e. { g e. D | g oR <_ y } )
45		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = z -> ( g oR <_ y <-> z oR <_ y ) )
46	45	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { g e. D | g oR <_ y } <-> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
47	44, 46	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( z e. D /\ z oR <_ y ) )
48	47	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z e. D )
49	43, 48	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( X ` z ) e. ( Base ` R ) )
50	1, 2, 3, 4, 20	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> U : D --> ( Base ` R ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> U : D --> ( Base ` R ) )
52	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> I e. V )
53	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> y e. D )
54	3	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ z e. D ) -> z : I --> NN0 )
55	52, 48, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z : I --> NN0 )
56	47	simprd 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z oR <_ y )
57	3	psrbagcon 19371	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ ( y e. D /\ z : I --> NN0 /\ z oR <_ y ) ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
58	52, 53, 55, 56, 57	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( y oF - z ) e. D /\ ( y oF - z ) oR <_ y ) )
59	58	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( y oF - z ) e. D )
60	51, 59	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( U ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) )
61	2, 18	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) /\ ( U ` ( y oF - z ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) e. ( Base ` R ) )
62	42, 49, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) e. ( Base ` R ) )
63		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) = ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) )
64	62, 63	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) : { g e. D | g oR <_ y } --> ( Base ` R ) )
65		eldifi 3732	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) -> z e. { g e. D | g oR <_ y } )
66	65, 59	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( y oF - z ) e. D )
67		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y oF - z ) -> ( x = ( I X. { 0 } ) <-> ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) ) )
68	67	ifbid 4108	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y oF - z ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
69		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1r ` R ) e. _V
70	10, 69	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- .1. e. _V
71		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` R ) e. _V
72	9, 71	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- .0. e. _V
73	70, 72	ifex 4156	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) e. _V
74	68, 11, 73	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y oF - z ) e. D -> ( U ` ( y oF - z ) ) = if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
75	66, 74	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( U ` ( y oF - z ) ) = if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) )
76		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) -> z =/= y )
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> z =/= y )
78	77	necomd 2849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> y =/= z )
79		nn0sscn 11297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN0 C_ CC
80		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> y : I --> CC )
81	25, 79, 80	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> y : I --> CC )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> y : I --> CC )
83		fss 6056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> z : I --> CC )
84	55, 79, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> z : I --> CC )
85		ofsubeq0 11017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( I e. V /\ y : I --> CC /\ z : I --> CC ) -> ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = z ) )
86	52, 82, 84, 85	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = z ) )
87	65, 86	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = z ) )
88	87	necon3bbid 2831	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( -. ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) <-> y =/= z ) )
89	78, 88	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> -. ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) )
90	89	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> if ( ( y oF - z ) = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .0. )
91	75, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( U ` ( y oF - z ) ) = .0. )
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) )
93	2, 18, 9	ringrz 18588	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
94	42, 49, 93	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. { g e. D | g oR <_ y } ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
95	65, 94	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
96	92, 95	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. D ) /\ z e. ( { g e. D | g oR <_ y } \ { y } ) ) -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = .0. )
97	96, 41	suppss2 7329	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) supp .0. ) C_ { y } )
98		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( { g e. D | g oR <_ y } e. _V -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) e. _V )
99	41, 98	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) e. _V )
100		funmpt 5926	. . . . . . 7 |- Fun ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) )
101	100	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> Fun ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) )
102	72	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> .0. e. _V )
103		snfi 8038	. . . . . . 7 |- { y } e. Fin
104	103	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> { y } e. Fin )
105		suppssfifsupp 8290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) /\ .0. e. _V ) /\ ( { y } e. Fin /\ ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) supp .0. ) C_ { y } ) ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) finSupp .0. )
106	99, 101, 102, 104, 97, 105	syl32anc 1334	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) finSupp .0. )
107	2, 9, 38, 41, 64, 97, 106	gsumres 18314	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) |` { y } ) ) = ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) )
108	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. Ring )
109		ringmnd 18556	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
110	108, 109	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> R e. Mnd )
111		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- y = y
112		ofsubeq0 11017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ y : I --> CC /\ y : I --> CC ) -> ( ( y oF - y ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = y ) )
113	23, 81, 81, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( y oF - y ) = ( I X. { 0 } ) <-> y = y ) )
114	111, 113	mpbiri 248	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( y oF - y ) = ( I X. { 0 } ) )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( y oF - y ) ) = ( U ` ( I X. { 0 } ) ) )
116		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I X. { 0 } ) = ( w e. I |-> 0 )
117	3	fczpsrbag 19367	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. V -> ( w e. I |-> 0 ) e. D )
118	8, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( w e. I |-> 0 ) e. D )
119	116, 118	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( I X. { 0 } ) e. D )
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( I X. { 0 } ) e. D )
121		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( I X. { 0 } ) -> if ( x = ( I X. { 0 } ) , .1. , .0. ) = .1. )
122	121, 11, 70	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I X. { 0 } ) e. D -> ( U ` ( I X. { 0 } ) ) = .1. )
123	120, 122	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( I X. { 0 } ) ) = .1. )
124	115, 123	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( U ` ( y oF - y ) ) = .1. )
125	124	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) .1. ) )
126	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( X ` y ) e. ( Base ` R ) )
127	2, 18, 10	ringridm 18572	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` y ) )
128	108, 126, 127	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) .1. ) = ( X ` y ) )
129	125, 128	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) = ( X ` y ) )
130	129, 126	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) e. ( Base ` R ) )
131		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( X ` z ) = ( X ` y ) )
132		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( y oF - z ) = ( y oF - y ) )
133	132	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( U ` ( y oF - z ) ) = ( U ` ( y oF - y ) ) )
134	131, 133	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( z = y -> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
135	2, 134	gsumsn 18354	. . . . 5 |- ( ( R e. Mnd /\ y e. D /\ ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( R gsumg ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
136	110, 21, 130, 135	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( z e. { y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
137	35, 107, 136	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( R gsumg ( z e. { g e. D | g oR <_ y } |-> ( ( X ` z ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - z ) ) ) ) ) = ( ( X ` y ) ( .r ` R ) ( U ` ( y oF - y ) ) ) )
138	22, 137, 129	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ y e. D ) -> ( ( X .x. U ) ` y ) = ( X ` y ) )
139	15, 17, 138	eqfnfvd 6314	1 |- ( ph -> ( X .x. U ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193   1rcur 18501   Ringcrg 18547   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrring  19411  psr1  19412