Theorem ipasslem8 27692

Description: Lemma for ipassi 27696. By ipasslem5 27690, F is 0 for all QQ; since it is continuous and QQ is dense in RR by qdensere2 22600, we conclude F is 0 for all RR. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ip1i.2	|- G = ( +v ` U )
ip1i.4	|- S = ( .sOLD ` U )
ip1i.7	|- P = ( .iOLD ` U )
ip1i.9	|- U e. CPreHil OLD
ipasslem7.a	|- A e. X
ipasslem7.b	|- B e. X
ipasslem7.f	|- F = ( w e. RR |-> ( ( ( w S A ) P B ) - ( w x. ( A P B ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ipasslem8	|- F : RR --> { 0 }

Distinct variable groups:   w, B   w, P   w, S   w, U   w, X   w, A

Allowed substitution hints:   F( w)   G( w)

Proof of Theorem ipasslem8

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10032	. 2 |- 0 e. CC
2		qre 11793	. . . . . 6 |- ( x e. QQ -> x e. RR )
3		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w S A ) = ( x S A ) )
4	3	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( w S A ) P B ) = ( ( x S A ) P B ) )
5		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( w x. ( A P B ) ) = ( x x. ( A P B ) ) )
6	4, 5	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( ( w S A ) P B ) - ( w x. ( A P B ) ) ) = ( ( ( x S A ) P B ) - ( x x. ( A P B ) ) ) )
7		ipasslem7.f	. . . . . . 7 |- F = ( w e. RR |-> ( ( ( w S A ) P B ) - ( w x. ( A P B ) ) ) )
8		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( ( x S A ) P B ) - ( x x. ( A P B ) ) ) e. _V
9	6, 7, 8	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( F ` x ) = ( ( ( x S A ) P B ) - ( x x. ( A P B ) ) ) )
10	2, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( x e. QQ -> ( F ` x ) = ( ( ( x S A ) P B ) - ( x x. ( A P B ) ) ) )
11		ipasslem7.a	. . . . . 6 |- A e. X
12		qcn 11802	. . . . . . . . 9 |- ( x e. QQ -> x e. CC )
13		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 |- U e. CPreHil OLD
14	13	phnvi 27671	. . . . . . . . . 10 |- U e. NrmCVec
15		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( BaseSet ` U )
16		ip1i.4	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( .sOLD ` U )
17	15, 16	nvscl 27481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ A e. X ) -> ( x S A ) e. X )
18	14, 17	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ A e. X ) -> ( x S A ) e. X )
19	12, 18	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. QQ /\ A e. X ) -> ( x S A ) e. X )
20		ipasslem7.b	. . . . . . . . 9 |- B e. X
21		ip1i.7	. . . . . . . . . 10 |- P = ( .iOLD ` U )
22	15, 21	dipcl 27567	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x S A ) e. X /\ B e. X ) -> ( ( x S A ) P B ) e. CC )
23	14, 20, 22	mp3an13 1415	. . . . . . . 8 |- ( ( x S A ) e. X -> ( ( x S A ) P B ) e. CC )
24	19, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. QQ /\ A e. X ) -> ( ( x S A ) P B ) e. CC )
25		ip1i.2	. . . . . . . 8 |- G = ( +v ` U )
26	15, 25, 16, 21, 13, 20	ipasslem5 27690	. . . . . . 7 |- ( ( x e. QQ /\ A e. X ) -> ( ( x S A ) P B ) = ( x x. ( A P B ) ) )
27	24, 26	subeq0bd 10456	. . . . . 6 |- ( ( x e. QQ /\ A e. X ) -> ( ( ( x S A ) P B ) - ( x x. ( A P B ) ) ) = 0 )
28	11, 27	mpan2 707	. . . . 5 |- ( x e. QQ -> ( ( ( x S A ) P B ) - ( x x. ( A P B ) ) ) = 0 )
29	10, 28	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( x e. QQ -> ( F ` x ) = 0 )
30	29	rgen 2922	. . 3 |- A. x e. QQ ( F ` x ) = 0
31	7	funmpt2 5927	. . . 4 |- Fun F
32		qssre 11798	. . . . 5 |- QQ C_ RR
33		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( w S A ) P B ) - ( w x. ( A P B ) ) ) e. _V
34	33, 7	dmmpti 6023	. . . . 5 |- dom F = RR
35	32, 34	sseqtr4i 3638	. . . 4 |- QQ C_ dom F
36		funconstss 6335	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ QQ C_ dom F ) -> ( A. x e. QQ ( F ` x ) = 0 <-> QQ C_ ( `' F " { 0 } ) ) )
37	31, 35, 36	mp2an 708	. . 3 |- ( A. x e. QQ ( F ` x ) = 0 <-> QQ C_ ( `' F " { 0 } ) )
38	30, 37	mpbi 220	. 2 |- QQ C_ ( `' F " { 0 } )
39		qdensere 22573	. 2 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR
40		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
41	40	cnfldhaus 22588	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Haus
42		haust1 21156	. . . 4 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Haus -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Fre )
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Fre
44		eqid 2622	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
45	15, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40	ipasslem7 27691	. . 3 |- F e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
46		uniretop 22566	. . . 4 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
47	40	cnfldtopon 22586	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
48	47	toponunii 20721	. . . 4 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
49	46, 48	dnsconst 21182	. . 3 |- ( ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Fre /\ F e. ( ( topGen ` ran (,) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) ) /\ ( 0 e. CC /\ QQ C_ ( `' F " { 0 } ) /\ ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR ) ) -> F : RR --> { 0 } )
50	43, 45, 49	mpanl12 718	. 2 |- ( ( 0 e. CC /\ QQ C_ ( `' F " { 0 } ) /\ ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR ) -> F : RR --> { 0 } )
51	1, 38, 39, 50	mp3an 1424	1 |- F : RR --> { 0 }

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   - cmin 10266   QQcq 11788   (,)cioo 12175   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   clsccl 20822   Cn ccn 21028   Frect1 21111   Hauscha 21112   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   .iOLDcdip 27555   CPreHil OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ph 27668

This theorem is referenced by:  ipasslem9  27693