Theorem rrhcn 30041

Description: If the topology of R is Hausdorff, and R is a complete uniform space, then the canonical homomorphism from the real numbers to R is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrhf.d	|- D = ( ( dist ` R ) |` ( B X. B ) )
rrhf.j	|- J = ( topGen ` ran (,) )
rrhf.b	|- B = ( Base ` R )
rrhf.k	|- K = ( TopOpen ` R )
rrhf.z	|- Z = ( ZMod ` R )
rrhf.1	|- ( ph -> R e. DivRing )
rrhf.2	|- ( ph -> R e. NrmRing )
rrhf.3	|- ( ph -> Z e. NrmMod )
rrhf.4	|- ( ph -> (chr ` R ) = 0 )
rrhf.5	|- ( ph -> R e. CUnifSp )
rrhf.6	|- ( ph -> (UnifSt ` R ) = (metUnif ` D ) )

Assertion

Ref	Expression
rrhcn	|- ( ph -> (RRHom ` R ) e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem rrhcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrhf.2	. . . . 5 |- ( ph -> R e. NrmRing )
2		nrgngp 22466	. . . . 5 |- ( R e. NrmRing -> R e. NrmGrp )
3		ngpxms 22405	. . . . 5 |- ( R e. NrmGrp -> R e. *MetSp )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> R e. *MetSp )
5		xmstps 22258	. . . 4 |- ( R e. *MetSp -> R e. TopSp )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> R e. TopSp )
7		rrhf.j	. . . 4 |- J = ( topGen ` ran (,) )
8		rrhf.k	. . . 4 |- K = ( TopOpen ` R )
9	7, 8	rrhval 30040	. . 3 |- ( R e. TopSp -> (RRHom ` R ) = ( ( JCnExt K ) ` (QQHom ` R ) ) )
10	6, 9	syl 17	. 2 |- ( ph -> (RRHom ` R ) = ( ( JCnExt K ) ` (QQHom ` R ) ) )
11		rebase 19952	. . 3 |- RR = ( Base ` RRfld )
12		rrhf.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
13		retopn 23167	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( TopOpen ` RRfld )
14	7, 13	eqtri 2644	. . 3 |- J = ( TopOpen ` RRfld )
15		eqid 2622	. . 3 |- (UnifSt ` RRfld ) = (UnifSt ` RRfld )
16		df-refld 19951	. . . . . 6 |- RRfld = (ℂfld ↾s RR )
17	16	oveq1i 6660	. . . . 5 |- (RRfld ↾s QQ ) = ( (ℂfld ↾s RR ) ↾s QQ )
18		reex 10027	. . . . . 6 |- RR e. _V
19		qssre 11798	. . . . . 6 |- QQ C_ RR
20		ressabs 15939	. . . . . 6 |- ( ( RR e. _V /\ QQ C_ RR ) -> ( (ℂfld ↾s RR ) ↾s QQ ) = (ℂfld ↾s QQ ) )
21	18, 19, 20	mp2an 708	. . . . 5 |- ( (ℂfld ↾s RR ) ↾s QQ ) = (ℂfld ↾s QQ )
22	17, 21	eqtr2i 2645	. . . 4 |- (ℂfld ↾s QQ ) = (RRfld ↾s QQ )
23	22	fveq2i 6194	. . 3 |- (UnifSt ` (ℂfld ↾s QQ ) ) = (UnifSt ` (RRfld ↾s QQ ) )
24		eqid 2622	. . 3 |- (UnifSt ` R ) = (UnifSt ` R )
25		recms 23168	. . . . 5 |- RRfld e. CMetSp
26		cmsms 23145	. . . . 5 |- (RRfld e. CMetSp -> RRfld e. MetSp )
27		mstps 22260	. . . . 5 |- (RRfld e. MetSp -> RRfld e. TopSp )
28	25, 26, 27	mp2b 10	. . . 4 |- RRfld e. TopSp
29	28	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RRfld e. TopSp )
30		recusp 23170	. . . 4 |- RRfld e. CUnifSp
31		cuspusp 22104	. . . 4 |- (RRfld e. CUnifSp -> RRfld e. UnifSp )
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> RRfld e. UnifSp )
33		rrhf.5	. . 3 |- ( ph -> R e. CUnifSp )
34		rrhf.d	. . . . . 6 |- D = ( ( dist ` R ) |` ( B X. B ) )
35	8, 12, 34	xmstopn 22256	. . . . 5 |- ( R e. *MetSp -> K = ( MetOpen ` D ) )
36	4, 35	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> K = ( MetOpen ` D ) )
37	12, 34	xmsxmet 22261	. . . . 5 |- ( R e. *MetSp -> D e. ( *Met ` B ) )
38		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
39	38	methaus 22325	. . . . 5 |- ( D e. ( *Met ` B ) -> ( MetOpen ` D ) e. Haus )
40	4, 37, 39	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. Haus )
41	36, 40	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> K e. Haus )
42	19	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> QQ C_ RR )
43		eqid 2622	. . . . 5 |- (ℂfld ↾s QQ ) = (ℂfld ↾s QQ )
44		eqid 2622	. . . . 5 |- (UnifSt ` (ℂfld ↾s QQ ) ) = (UnifSt ` (ℂfld ↾s QQ ) )
45	34	fveq2i 6194	. . . . 5 |- (metUnif ` D ) = (metUnif ` ( ( dist ` R ) |` ( B X. B ) ) )
46		rrhf.z	. . . . 5 |- Z = ( ZMod ` R )
47		rrhf.1	. . . . 5 |- ( ph -> R e. DivRing )
48		rrhf.3	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. NrmMod )
49		rrhf.4	. . . . 5 |- ( ph -> (chr ` R ) = 0 )
50	12, 43, 44, 45, 46, 1, 47, 48, 49	qqhucn 30036	. . . 4 |- ( ph -> (QQHom ` R ) e. ( (UnifSt ` (ℂfld ↾s QQ ) ) Cnu (metUnif ` D ) ) )
51		rrhf.6	. . . . . 6 |- ( ph -> (UnifSt ` R ) = (metUnif ` D ) )
52	51	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> (metUnif ` D ) = (UnifSt ` R ) )
53	52	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( (UnifSt ` (ℂfld ↾s QQ ) ) Cnu (metUnif ` D ) ) = ( (UnifSt ` (ℂfld ↾s QQ ) ) Cnu (UnifSt ` R ) ) )
54	50, 53	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> (QQHom ` R ) e. ( (UnifSt ` (ℂfld ↾s QQ ) ) Cnu (UnifSt ` R ) ) )
55	7	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( cls ` J ) = ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) )
56	55	fveq1i 6192	. . . . 5 |- ( ( cls ` J ) ` QQ ) = ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ )
57		qdensere 22573	. . . . 5 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR
58	56, 57	eqtri 2644	. . . 4 |- ( ( cls ` J ) ` QQ ) = RR
59	58	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( cls ` J ) ` QQ ) = RR )
60	11, 12, 14, 8, 15, 23, 24, 29, 32, 6, 33, 41, 42, 54, 59	ucnextcn 22108	. 2 |- ( ph -> ( ( JCnExt K ) ` (QQHom ` R ) ) e. ( J Cn K ) )
61	10, 60	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> (RRHom ` R ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   QQcq 11788   (,)cioo 12175   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   DivRingcdr 18747   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736  metUnifcmetu 19737  ℂ_fldccnfld 19746   ZModczlm 19849  chrcchr 19850  RRfldcrefld 19950   TopSpctps 20736   clsccl 20822   Cn ccn 21028   Hauscha 21112  CnExtccnext 21863  UnifStcuss 22057  UnifSpcusp 22058   Cn_ucucn 22079  CUnifSpccusp 22101   *MetSpcxme 22122   MetSpcmt 22123  NrmGrpcngp 22382  NrmRingcnrg 22384  NrmModcnlm 22385  CMetSpccms 23129  QQHomcqqh 30016  RRHomcrrh 30037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-gz 15634  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-nzr 19258  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-metu 19745  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zlm 19853  df-chr 19854  df-refld 19951  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-reg 21120  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-fcls 21745  df-cnext 21864  df-ust 22004  df-utop 22035  df-uss 22060  df-usp 22061  df-ucn 22080  df-cfilu 22091  df-cusp 22102  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-cncf 22681  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132  df-qqh 30017  df-rrh 30039

This theorem is referenced by:  rrhf  30042  rrhcne  30057