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Theorem relexpaddg 13793

Description: Relation composition becomes addition under exponentiation except when the exponents total to one and the class isn't a relation. (Contributed by RP, 30-May-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
relexpaddg	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem relexpaddg**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11294	. . 3 $\/$
2		elnn0 11294	. . . . . . 7 $\/$
3		relexpaddnn 13791	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
4	3	a1d 25	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
5	4	3exp 1264	. . . . . . . . 9
6	5	com12 32	. . . . . . . 8
7		elnn1uz2 11765	. . . . . . . . . 10 $\/$
8		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . . 14
9		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
10		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
11	9, 10	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
12		1p0e1 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13	11, 12	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
14		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
15	13, 14	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
16	9	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
17		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
18		relexp1g 13766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
20	16, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	releqd 5203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
22	15, 21	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
23		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	9, 23	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
25		relexpnndm 13781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
26	24, 17, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
27		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . 16
28	26, 27	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
29		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
30	22, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
31	8, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
32	10	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
33		relexp0g 13762	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	17, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
35	32, 34	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
37	10	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
38		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	9, 38	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
43	31, 36, 42	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	exp43 640	. . . . . . . . . . 11
45		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
46		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
47		relexpuzrel 13792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
48	45, 46, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
49		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
50	45, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
51	50, 46, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
52	51, 27	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
53	48, 52, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
54	8, 53	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
55		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
57	46, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
58	56, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
59	58	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
60	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
61		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	45, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
63	62	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
64	60, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
66	54, 59, 65	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	66	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	67	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11
69	44, 68	jaoi 394	. . . . . . . . . 10 $\/$
70	7, 69	sylbi 207	. . . . . . . . 9
71	70	com12 32	. . . . . . . 8
72	6, 71	jaoi 394	. . . . . . 7 $\/$
73	2, 72	sylbi 207	. . . . . 6
74	73	com12 32	. . . . 5
75	74	3impd 1281	. . . 4 $/\$ $/\$
76		elnn1uz2 11765	. . . . . . . . 9 $\/$
77		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . . . 15
78		relcnv 5503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
79		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
80	78, 79	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
81		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
82	80, 81	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
83	77, 82	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
84		cnvco 5308	. . . . . . . . . . . . . . 15
85		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
86		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87	85, 86	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
89		relexpcnv 13775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
90	87, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
91	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
92		cnvexg 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
93	88, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
94		relexp1g 13766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
96	90, 91, 95	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
97		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
98		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	97, 98	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
100		relexpcnv 13775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
101	99, 88, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
102	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
103		relexp0g 13762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104	93, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
105	101, 102, 104	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
106	96, 105	coeq12d 5286	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
107	84, 106	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
108	99, 87	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
109		relexpcnv 13775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
110	108, 88, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
111	97, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
112		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113	111, 112	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
115	110, 114, 95	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
116	83, 107, 115	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
117		relco 5633	. . . . . . . . . . . . . 14
118		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
119	113, 118	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
120	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
121	88, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
122	120, 121	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	releqd 5203	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
124	119, 123	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
125		cnveqb 5590	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
126	117, 124, 125	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
127	116, 126	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
128	127	exp43 640	. . . . . . . . . . 11
129	128	com12 32	. . . . . . . . . 10
130		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
131		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
132		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
133	132, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
134		relexpuzrel 13792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	131, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
136		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
137	131, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
138		relexpnndm 13781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
139	137, 133, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
140	139, 79	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
141		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
142	135, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
143	130, 142	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
144		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
146	133, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
147	145, 146	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
148	147	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
149	144	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
150		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
151	131, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
152	151	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
153	149, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
154	153	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
155	143, 148, 154	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
156		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
157	131, 136, 156	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
158	157, 132, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
159	144, 98	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
160	159, 132, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
161	158, 160	coeq12d 5286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
162	84, 161	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
163	159, 157	nn0addcld 11355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
164	163, 132, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
165	155, 162, 164	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
166	159	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
167	151, 166	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
168		uzaddcl 11744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
169	131, 159, 168	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
170	167, 169	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
171		relexpuzrel 13792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
172	170, 132, 171	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
173	117, 172, 125	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
174	165, 173	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
175	174	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
176	175	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11
177	176	com12 32	. . . . . . . . . 10
178	129, 177	jaoi 394	. . . . . . . . 9 $\/$
179	76, 178	sylbi 207	. . . . . . . 8
180		coires1 5653	. . . . . . . . . . . . 13
181		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
182		relexp0rel 13777	. . . . . . . . . . . . . . 15
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
184	181, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
185	184	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
186		dmresi 5457	. . . . . . . . . . . . . . . 16
187	185, 186	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
188		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . 15
189	187, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
190		relssres 5437	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
191	183, 189, 190	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
192	180, 191	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
193		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
195		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
197	196, 184	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
198	194, 197	coeq12d 5286	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
199	193, 195	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
200		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . 14
201	199, 200	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
202	201	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
203	192, 198, 202	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
204	203	a1d 25	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
205	204	3exp 1264	. . . . . . . . 9
206	205	com12 32	. . . . . . . 8
207	179, 206	jaoi 394	. . . . . . 7 $\/$
208	2, 207	sylbi 207	. . . . . 6
209	208	com12 32	. . . . 5
210	209	3impd 1281	. . . 4 $/\$ $/\$
211	75, 210	jaoi 394	. . 3 $\/$ $/\$ $/\$
212	1, 211	sylbi 207	. 2 $/\$ $/\$
213	212	imp 445	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200

cun 3572

wss 3574

cid 5023

ccnv 5113

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

ccom 5118

wrel 5119

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cuz 11687

crelexp 13760

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-seq 12802 df-relexp 13761

This theorem is referenced by: relexpaddd 13794 relexpnul 37970

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