Theorem evth2 22759

Description: The Extreme Value Theorem, minimum version. A continuous function from a nonempty compact topological space to the reals attains its minimum at some point in the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bndth.1	|- X = U. J
bndth.2	|- K = ( topGen ` ran (,) )
bndth.3	|- ( ph -> J e. Comp )
bndth.4	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
evth.5	|- ( ph -> X =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
evth2	|- ( ph -> E. x e. X A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   y, K   ph, x, y   x, X, y   x, J, y

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem evth2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bndth.1	. . 3 |- X = U. J
2		bndth.2	. . 3 |- K = ( topGen ` ran (,) )
3		bndth.3	. . 3 |- ( ph -> J e. Comp )
4		cmptop 21198	. . . . . 6 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Top )
6	1	toptopon 20722	. . . . 5 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
8		bndth.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )
9		uniretop 22566	. . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
10	2	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( topGen ` ran (,) )
11	9, 10	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- RR = U. K
12	1, 11	cnf 21050	. . . . . . 7 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : X --> RR )
13	8, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : X --> RR )
14	13	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( z e. X |-> ( F ` z ) ) )
15	14, 8	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. X |-> ( F ` z ) ) e. ( J Cn K ) )
16		retopon 22567	. . . . . 6 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
17	2, 16	eqeltri 2697	. . . . 5 |- K e. (TopOn ` RR )
18	17	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> K e. (TopOn ` RR ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
20	19	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) )
22		0cnd 10033	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. CC )
23	18, 21, 22	cnmptc 21465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. RR |-> 0 ) e. ( K Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
24	19	tgioo2 22606	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
25	2, 24	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- K = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
26		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ CC )
28	21	cnmptid 21464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. CC |-> y ) e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
29	25, 21, 27, 28	cnmpt1res 21479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. RR |-> y ) e. ( K Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
30	19	subcn 22669	. . . . . . . 8 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
32	18, 23, 29, 31	cnmpt12f 21469	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) e. ( K Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
33		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11 |- -u y = ( 0 - y )
34		renegcl 10344	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
35	33, 34	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( 0 - y ) e. RR )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( 0 - y ) e. RR )
37		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) = ( y e. RR |-> ( 0 - y ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) : RR --> RR )
39		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) : RR --> RR -> ran ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) C_ RR )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) C_ RR )
41		cnrest2 21090	. . . . . . 7 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ran ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) e. ( K Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) e. ( K Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
42	21, 40, 27, 41	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) e. ( K Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) e. ( K Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
43	32, 42	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) e. ( K Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
44	25	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( K Cn K ) = ( K Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
45	43, 44	syl6eleqr 2712	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( 0 - y ) ) e. ( K Cn K ) )
46		negeq 10273	. . . . 5 |- ( y = ( F ` z ) -> -u y = -u ( F ` z ) )
47	33, 46	syl5eqr 2670	. . . 4 |- ( y = ( F ` z ) -> ( 0 - y ) = -u ( F ` z ) )
48	7, 15, 18, 45, 47	cnmpt11 21466	. . 3 |- ( ph -> ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) e. ( J Cn K ) )
49		evth.5	. . 3 |- ( ph -> X =/= (/) )
50	1, 2, 3, 48, 49	evth 22758	. 2 |- ( ph -> E. x e. X A. y e. X ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` y ) <_ ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` x ) )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
52	51	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> -u ( F ` z ) = -u ( F ` y ) )
53		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) = ( z e. X |-> -u ( F ` z ) )
54		negex 10279	. . . . . . . 8 |- -u ( F ` y ) e. _V
55	52, 53, 54	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( y e. X -> ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` y ) = -u ( F ` y ) )
56	55	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` y ) = -u ( F ` y ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
58	57	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> -u ( F ` z ) = -u ( F ` x ) )
59		negex 10279	. . . . . . . 8 |- -u ( F ` x ) e. _V
60	58, 53, 59	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( x e. X -> ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` x ) = -u ( F ` x ) )
61	60	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` x ) = -u ( F ` x ) )
62	56, 61	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` y ) <_ ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` x ) <-> -u ( F ` y ) <_ -u ( F ` x ) ) )
63	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( F ` x ) e. RR )
64	63	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( F ` x ) e. RR )
65	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( F ` y ) e. RR )
66	65	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( F ` y ) e. RR )
67	64, 66	lenegd 10606	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( F ` x ) <_ ( F ` y ) <-> -u ( F ` y ) <_ -u ( F ` x ) ) )
68	62, 67	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` y ) <_ ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` x ) <-> ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
69	68	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( A. y e. X ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` y ) <_ ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` x ) <-> A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
70	69	rexbidva 3049	. 2 |- ( ph -> ( E. x e. X A. y e. X ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` y ) <_ ( ( z e. X |-> -u ( F ` z ) ) ` x ) <-> E. x e. X A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) ) )
71	50, 70	mpbid 222	1 |- ( ph -> E. x e. X A. y e. X ( F ` x ) <_ ( F ` y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  22762  evthicc  23228  ftalem3  24801  evth2f  39174  stoweidlem28  40245