Theorem pcohtpylem 22819

Description: Lemma for pcohtpy 22820. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	|- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
pcohtpy.5	|- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
pcohtpy.6	|- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
pcohtpylem.7	|- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8	|- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
pcohtpylem.9	|- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )

Assertion

Ref	Expression
pcohtpylem	|- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G, y   x, H, y   x, J, y   x, K, y

Allowed substitution hints:   P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem

Dummy variables s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~=ph ` J ) H )
2		isphtpc 22793	. . . . 5 |- ( F ( ~=ph ` J ) H <-> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
3	1, 2	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( II Cn J ) /\ H e. ( II Cn J ) /\ ( F ( PHtpy ` J ) H ) =/= (/) ) )
4	3	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> F e. ( II Cn J ) )
5		pcohtpy.6	. . . . 5 |- ( ph -> G ( ~=ph ` J ) K )
6		isphtpc 22793	. . . . 5 |- ( G ( ~=ph ` J ) K <-> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( G e. ( II Cn J ) /\ K e. ( II Cn J ) /\ ( G ( PHtpy ` J ) K ) =/= (/) ) )
8	7	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
9		pcohtpy.4	. . 3 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
10	4, 8, 9	pcocn 22817	. 2 |- ( ph -> ( F ( *p ` J ) G ) e. ( II Cn J ) )
11	3	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> H e. ( II Cn J ) )
12	7	simp2d 1074	. . 3 |- ( ph -> K e. ( II Cn J ) )
13		pcohtpylem.8	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( F ( PHtpy ` J ) H ) )
14	4, 11, 13	phtpy01 22784	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) = ( H ` 0 ) /\ ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) ) )
15	14	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
16		pcohtpylem.9	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( G ( PHtpy ` J ) K ) )
17	8, 12, 16	phtpy01 22784	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) /\ ( G ` 1 ) = ( K ` 1 ) ) )
18	17	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` 0 ) = ( K ` 0 ) )
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = ( K ` 0 ) )
20	11, 12, 19	pcocn 22817	. 2 |- ( ph -> ( H ( *p ` J ) K ) e. ( II Cn J ) )
21		pcohtpylem.7	. . 3 |- P = ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) )
22		eqid 2622	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
23		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
24		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
25		dfii2 22685	. . . 4 |- II = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] 1 ) )
26		0red 10041	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
27		1red 10055	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. RR )
28		halfre 11246	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) e. RR
29		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
30		halfgt0 11248	. . . . . . 7 |- 0 < ( 1 / 2 )
31	29, 28, 30	ltleii 10160	. . . . . 6 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
32		1re 10039	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
33		halflt1 11250	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) < 1
34	28, 32, 33	ltleii 10160	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) <_ 1
35	29, 32	elicc2i 12239	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ 1 ) )
36	28, 31, 34, 35	mpbir3an 1244	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 )
37	36	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
38		iitopon 22682	. . . . 5 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
40	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( F ` 1 ) = ( G ` 0 ) )
41	4, 11, 13	phtpyi 22783	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M y ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) ) )
42	41	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
43	42	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( F ` 1 ) )
44	8, 12, 16	phtpyi 22783	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N y ) = ( G ` 1 ) ) )
45	44	simpld 475	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
46	45	adantrl 752	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 0 N y ) = ( G ` 0 ) )
47	40, 43, 46	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 1 M y ) = ( 0 N y ) )
48		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> x = ( 1 / 2 ) )
49	48	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) )
50		2cn 11091	. . . . . . . 8 |- 2 e. CC
51		2ne0 11113	. . . . . . . 8 |- 2 =/= 0
52	50, 51	recidi 10756	. . . . . . 7 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
53	49, 52	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( 2 x. x ) = 1 )
54	53	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 1 M y ) )
55	53	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
56		1m1e0 11089	. . . . . . 7 |- ( 1 - 1 ) = 0
57	55, 56	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 0 )
58	57	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 0 N y ) )
59	47, 54, 58	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x = ( 1 / 2 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
60		retopon 22567	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
61		iccssre 12255	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR )
62	29, 28, 61	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR
63		resttopon 20965	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
64	60, 62, 63	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) )
65	64	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) e. (TopOn ` ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) )
66	65, 39	cnmpt1st 21471	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) ) )
67	23	iihalf1cn 22731	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II )
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) |-> ( 2 x. z ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) Cn II ) )
69		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( 2 x. z ) = ( 2 x. x ) )
70	65, 39, 66, 65, 68, 69	cnmpt21 21474	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( 2 x. x ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
71	65, 39	cnmpt2nd 21472	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn II ) )
72	4, 11	phtpycn 22782	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
73	72, 13	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
74	65, 39, 70, 71, 73	cnmpt22f 21478	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) M y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) ) tX II ) Cn J ) )
75		iccssre 12255	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR )
76	28, 32, 75	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR
77		resttopon 20965	. . . . . . 7 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) /\ ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
78	60, 76, 77	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) e. (TopOn ` ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) )
80	79, 39	cnmpt1st 21471	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> x ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) ) )
81	24	iihalf2cn 22733	. . . . . . 7 |- ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II )
82	81	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( z e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. z ) - 1 ) ) e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) Cn II ) )
83	69	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( ( 2 x. z ) - 1 ) = ( ( 2 x. x ) - 1 ) )
84	79, 39, 80, 79, 82, 83	cnmpt21 21474	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( 2 x. x ) - 1 ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
85	79, 39	cnmpt2nd 21472	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> y ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn II ) )
86	8, 12	phtpycn 22782	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( ( II tX II ) Cn J ) )
87	86, 16	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
88	79, 39, 84, 85, 87	cnmpt22f 21478	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) e. ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) ) tX II ) Cn J ) )
89	22, 23, 24, 25, 26, 27, 37, 39, 59, 74, 88	cnmpt2pc 22727	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 [,] 1 ) , y e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) ) e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
90	21, 89	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ph -> P e. ( ( II tX II ) Cn J ) )
91		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
92		elii1 22734	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) <-> ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) )
93		iihalf1 22730	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ( 0 [,] ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
94	92, 93	sylbir 225	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
95	94	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) )
96	4, 11	phtpyhtpy 22781	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ( PHtpy ` J ) H ) C_ ( F ( II Htpy J ) H ) )
97	96, 13	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( F ( II Htpy J ) H ) )
98	39, 4, 11, 97	htpyi 22773	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 x. s ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
99	91, 95, 98	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) /\ ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) ) )
100	99	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 0 ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
101		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
102	101	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
103		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
104	103	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( F ` ( 2 x. s ) ) )
105	100, 102, 104	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
106		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ph )
107		elii2 22735	. . . . . . . . 9 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
108	107	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) )
109		iihalf2 22732	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( ( 1 / 2 ) [,] 1 ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
110	108, 109	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) )
111	8, 12	phtpyhtpy 22781	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ( PHtpy ` J ) K ) C_ ( G ( II Htpy J ) K ) )
112	111, 16	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ( G ( II Htpy J ) K ) )
113	39, 8, 12, 112	htpyi 22773	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( 2 x. s ) - 1 ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
114	106, 110, 113	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) /\ ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
115	114	simpld 475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
116		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
117	116	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
118		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
119	118	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
120	115, 117, 119	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
121	105, 120	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
122		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> s e. ( 0 [,] 1 ) )
123		0elunit 12290	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
124		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> x = s )
125	124	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
126	124	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
127		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> y = 0 )
128	126, 127	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 0 ) )
129	126	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
130	129, 127	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) )
131	125, 128, 130	ifbieq12d 4113	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 0 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
132		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 0 ) e. _V
133		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) e. _V
134	132, 133	ifex 4156	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) e. _V
135	131, 21, 134	ovmpt2a 6791	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 0 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
136	122, 123, 135	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 0 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 0 ) ) )
137	4, 8	pcovalg 22812	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( F ` ( 2 x. s ) ) , ( G ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
138	121, 136, 137	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 0 ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` s ) )
139	99	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 x. s ) M 1 ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
140		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
141	140	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
142		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
143	142	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( H ` ( 2 x. s ) ) )
144	139, 141, 143	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
145	114	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
146		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
147	146	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
148		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. s <_ ( 1 / 2 ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
149	148	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) = ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) )
150	145, 147, 149	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ -. s <_ ( 1 / 2 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
151	144, 150	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
152		1elunit 12291	. . . 4 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
153		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> x = s )
154	153	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> s <_ ( 1 / 2 ) ) )
155	153	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. s ) )
156		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> y = 1 )
157	155, 156	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( ( 2 x. s ) M 1 ) )
158	155	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( ( 2 x. s ) - 1 ) )
159	158, 156	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) )
160	154, 157, 159	ifbieq12d 4113	. . . . 5 |- ( ( x = s /\ y = 1 ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
161		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. s ) M 1 ) e. _V
162		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) e. _V
163	161, 162	ifex 4156	. . . . 5 |- if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) e. _V
164	160, 21, 163	ovmpt2a 6791	. . . 4 |- ( ( s e. ( 0 [,] 1 ) /\ 1 e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
165	122, 152, 164	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. s ) M 1 ) , ( ( ( 2 x. s ) - 1 ) N 1 ) ) )
166	11, 12	pcovalg 22812	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) = if ( s <_ ( 1 / 2 ) , ( H ` ( 2 x. s ) ) , ( K ` ( ( 2 x. s ) - 1 ) ) ) )
167	151, 165, 166	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( s P 1 ) = ( ( H ( *p ` J ) K ) ` s ) )
168	4, 11, 13	phtpyi 22783	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) /\ ( 1 M s ) = ( F ` 1 ) ) )
169	168	simpld 475	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 M s ) = ( F ` 0 ) )
170		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x = 0 )
171	170, 31	syl6eqbr 4692	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> x <_ ( 1 / 2 ) )
172	171	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( 2 x. x ) M y ) )
173	170	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 0 ) )
174		2t0e0 11183	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 0 ) = 0
175	173, 174	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 0 )
176		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> y = s )
177	175, 176	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) M y ) = ( 0 M s ) )
178	172, 177	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( x = 0 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 0 M s ) )
179		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 0 M s ) e. _V
180	178, 21, 179	ovmpt2a 6791	. . . 4 |- ( ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
181	123, 122, 180	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( 0 M s ) )
182	4, 8	pco0 22814	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
183	182	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
184	169, 181, 183	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 0 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 0 ) )
185	8, 12, 16	phtpyi 22783	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 0 N s ) = ( G ` 0 ) /\ ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) ) )
186	185	simprd 479	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 N s ) = ( G ` 1 ) )
187	28, 32	ltnlei 10158	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 / 2 ) < 1 <-> -. 1 <_ ( 1 / 2 ) )
188	33, 187	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- -. 1 <_ ( 1 / 2 )
189		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> x = 1 )
190	189	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( x <_ ( 1 / 2 ) <-> 1 <_ ( 1 / 2 ) ) )
191	188, 190	mtbiri 317	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> -. x <_ ( 1 / 2 ) )
192	191	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) )
193	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
194		2t1e2 11176	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. 1 ) = 2
195	193, 194	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( 2 x. x ) = 2 )
196	195	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = ( 2 - 1 ) )
197		2m1e1 11135	. . . . . . . 8 |- ( 2 - 1 ) = 1
198	196, 197	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( 2 x. x ) - 1 ) = 1 )
199		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> y = s )
200	198, 199	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) = ( 1 N s ) )
201	192, 200	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( x = 1 /\ y = s ) -> if ( x <_ ( 1 / 2 ) , ( ( 2 x. x ) M y ) , ( ( ( 2 x. x ) - 1 ) N y ) ) = ( 1 N s ) )
202		ovex 6678	. . . . 5 |- ( 1 N s ) e. _V
203	201, 21, 202	ovmpt2a 6791	. . . 4 |- ( ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
204	152, 122, 203	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( 1 N s ) )
205	4, 8	pco1 22815	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
206	205	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) = ( G ` 1 ) )
207	186, 204, 206	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ s e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( 1 P s ) = ( ( F ( *p ` J ) G ) ` 1 ) )
208	10, 20, 90, 138, 167, 184, 207	isphtpy2d 22786	1 |- ( ph -> P e. ( ( F ( *p ` J ) G ) ( PHtpy ` J ) ( H ( *p ` J ) K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   IIcii 22678   Htpy chtpy 22766   PHtpycphtpy 22767   ~=ph cphtpc 22768   *pcpco 22800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805

This theorem is referenced by:  pcohtpy  22820