Theorem broucube 33443

Description: Brouwer - or as Kulpa calls it, "Bohl-Brouwer" - fixed point theorem for the unit cube. Theorem on [Kulpa] p. 548. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
poimir.0	|- ( ph -> N e. NN )
poimir.i	|- I = ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) )
poimir.r	|- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
broucube.1	|- ( ph -> F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )

Assertion

Ref	Expression
broucube	|- ( ph -> E. c e. I c = ( F ` c ) )

Distinct variable groups:   ph, c   F, c   I, c   N, c   R, c

Proof of Theorem broucube

Dummy variables n x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
2		poimir.i	. . 3 |- I = ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) )
3		poimir.r	. . 3 |- R = ( Xt_ ` ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) )
4		elmapfn 7880	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> x Fn ( 1 ... N ) )
5	4, 2	eleq2s 2719	. . . . . . 7 |- ( x e. I -> x Fn ( 1 ... N ) )
6	5	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> x Fn ( 1 ... N ) )
7		broucube.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
8		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... N ) e. _V
9		retopon 22567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR )
10	3	pttoponconst 21400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... N ) e. _V /\ ( topGen ` ran (,) ) e. (TopOn ` RR ) ) -> R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) )
11	8, 9, 10	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) )
12		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR e. _V
13		unitssre 12319	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
14		mapss 7900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( RR e. _V /\ ( 0 [,] 1 ) C_ RR ) -> ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) )
15	12, 13, 14	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) )
16	2, 15	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . 12 |- I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) )
17		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. (TopOn ` ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) /\ I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
18	11, 16, 17	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I )
19	18	toponunii 20721	. . . . . . . . . 10 |- I = U. ( R ↾t I )
20	19, 19	cnf 21050	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) -> F : I --> I )
21	7, 20	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : I --> I )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. I )
23		elmapfn 7880	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
24	23, 2	eleq2s 2719	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. I -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) Fn ( 1 ... N ) )
26		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
27		inidm 3822	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) i^i ( 1 ... N ) ) = ( 1 ... N )
28		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) = ( x ` n ) )
29		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) = ( ( F ` x ) ` n ) )
30	6, 25, 26, 26, 27, 28, 29	offval 6904	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) )
31	30	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) ) )
32	18	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
33		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. _V )
34		retop 22565	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
35	34	fconst6 6095	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top
36	35	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top )
37	18	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( R ↾t I ) e. (TopOn ` I ) )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
39	38	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
40		cnrest2r 21091	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) C_ ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) C_ ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
42		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) = ( x e. I |-> ( x ` n ) ) )
43	16, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) = ( x e. I |-> ( x ` n ) )
44	11	toponunii 20721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( RR ^m ( 1 ... N ) ) = U. R
45	44, 3	ptpjcn 21414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... N ) e. _V /\ ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) : ( 1 ... N ) --> Top /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
46	8, 35, 45	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
47	44	cnrest 21089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) e. ( R Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) /\ I C_ ( RR ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
48	46, 16, 47	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( x e. ( RR ^m ( 1 ... N ) ) |-> ( x ` n ) ) |` I ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
49	43, 48	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
50		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( topGen ` ran (,) ) e. _V
51	50	fvconst2 6469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) = ( topGen ` ran (,) ) )
52	38	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
53	51, 52	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) = ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
55	49, 54	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
56	41, 55	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
57	56	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( x ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
58	21	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( x e. I |-> ( F ` x ) ) )
59	58, 7	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( F ` x ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( F ` x ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( R ↾t I ) ) )
61		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( x ` n ) = ( z ` n ) )
62	61	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> ( x ` n ) ) = ( z e. I |-> ( z ` n ) )
63	62, 57	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z e. I |-> ( z ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
64		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` x ) -> ( z ` n ) = ( ( F ` x ) ` n ) )
65	37, 60, 37, 63, 64	cnmpt11 21466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( F ` x ) ` n ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
66	38	subcn 22669	. . . . . . . . 9 |- - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
67	66	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> - e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
68	37, 57, 65, 67	cnmpt12f 21469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
69		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> x : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
70	69, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. I -> x : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
71	70	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
72	13, 71	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. RR )
73	72	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x ` n ) e. RR )
74		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` x ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
75	74, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` x ) e. I -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
76	22, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( F ` x ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
77	76	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
78	13, 77	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` x ) ` n ) e. RR )
79	73, 78	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) e. RR )
80	79	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ x e. I ) -> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) e. RR )
81		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) = ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) )
82	80, 81	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) : I --> RR )
83		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) : I --> RR -> ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR )
84	38	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
85		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
86		cnrest2 21090	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) /\ ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
87	84, 85, 86	mp3an13 1415	. . . . . . . 8 |- ( ran ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) C_ RR -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
88	82, 83, 87	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) <-> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) ) )
89	68, 88	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
90	54	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) = ( ( R ↾t I ) Cn ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) ) )
91	89, 90	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( x e. I |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn ( ( ( 1 ... N ) X. { ( topGen ` ran (,) ) } ) ` n ) ) )
92	3, 32, 33, 36, 91	ptcn 21430	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( n e. ( 1 ... N ) |-> ( ( x ` n ) - ( ( F ` x ) ` n ) ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn R ) )
93	31, 92	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) e. ( ( R ↾t I ) Cn R ) )
94		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> z e. I )
95		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> x = z )
96		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
97	95, 96	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( z oF - ( F ` z ) ) )
98		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) )
99		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( z oF - ( F ` z ) ) e. _V
100	97, 98, 99	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( z e. I -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) = ( z oF - ( F ` z ) ) )
101	100	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( z e. I -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
102	94, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
103		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
104	103, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. I -> z Fn ( 1 ... N ) )
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
106	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) e. I )
107		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
108	107, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. I -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
109	106, 108	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
110	109	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
111		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
112		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ` n ) = 0 )
113		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) = ( ( F ` z ) ` n ) )
114	105, 110, 111, 111, 27, 112, 113	ofval 6906	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 0 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
115		df-neg 10269	. . . . . . . . 9 |- -u ( ( F ` z ) ` n ) = ( 0 - ( ( F ` z ) ` n ) )
116	114, 115	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 0 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
117	116	exp41 638	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z ` n ) = 0 -> ( z e. I -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) )
118	117	com24 95	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( z e. I -> ( ( z ` n ) = 0 -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) )
119	118	3imp2 1282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
120	102, 119	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = -u ( ( F ` z ) ` n ) )
121		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` z ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
122	121, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` z ) e. I -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
123	106, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. I ) -> ( F ` z ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
124	123	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
125		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
126		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
127	126	rexri 10097	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR*
128		iccgelb 12230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
129	125, 127, 128	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
130	124, 129	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) )
131	13, 124	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) e. RR )
132	131	le0neg2d 10600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` z ) ` n ) <-> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 ) )
133	130, 132	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
134	133	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ z e. I ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
135	134	anasss 679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
136	135	3adantr3 1222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> -u ( ( F ` z ) ` n ) <_ 0 )
137	120, 136	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 0 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) <_ 0 )
138		iccleub 12229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR* /\ ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
139	125, 127, 138	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` z ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
140	124, 139	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 )
141		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. RR )
142	141, 131	subge0d 10617	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) <-> ( ( F ` z ) ` n ) <_ 1 ) )
143	140, 142	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
144	143	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) /\ z e. I ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
145	144	anasss 679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
146	145	3adantr3 1222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> 0 <_ ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
147		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> z e. I )
148	147, 101	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) )
149	104	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> z Fn ( 1 ... N ) )
150	109	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> ( F ` z ) Fn ( 1 ... N ) )
151		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
152		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( z ` n ) = 1 )
153		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` z ) ` n ) = ( ( F ` z ) ` n ) )
154	149, 150, 151, 151, 27, 152, 153	ofval 6906	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( z ` n ) = 1 ) /\ z e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
155	154	exp41 638	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z ` n ) = 1 -> ( z e. I -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) ) )
156	155	com24 95	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. ( 1 ... N ) -> ( z e. I -> ( ( z ` n ) = 1 -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) ) ) ) )
157	156	3imp2 1282	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( z oF - ( F ` z ) ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
158	148, 157	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) = ( 1 - ( ( F ` z ) ` n ) ) )
159	146, 158	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ( 1 ... N ) /\ z e. I /\ ( z ` n ) = 1 ) ) -> 0 <_ ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` z ) ` n ) )
160	1, 2, 3, 93, 137, 159	poimir 33442	. 2 |- ( ph -> E. c e. I ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) )
161		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = c -> x = c )
162		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = c -> ( F ` x ) = ( F ` c ) )
163	161, 162	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( x = c -> ( x oF - ( F ` x ) ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
164		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( c oF - ( F ` c ) ) e. _V
165	163, 98, 164	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( c e. I -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
166	165	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( c oF - ( F ` c ) ) )
167	166	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ) )
168		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> c Fn ( 1 ... N ) )
169	168, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . 10 |- ( c e. I -> c Fn ( 1 ... N ) )
170	169	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> c Fn ( 1 ... N ) )
171	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) e. I )
172		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
173	172, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` c ) e. I -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
174	171, 173	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) )
175		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( 1 ... N ) e. _V )
176		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) = ( c ` n ) )
177		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) )
178	170, 174, 175, 175, 27, 176, 177	ofval 6906	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) )
179		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
180	179	fvconst2 6469	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
181	180	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) = 0 )
182	178, 181	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) = 0 ) )
183	13, 85	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
184		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> c : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
185	184, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( c e. I -> c : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
186	185	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
187	183, 186	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. I /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. CC )
188	187	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( c ` n ) e. CC )
189		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` c ) e. ( ( 0 [,] 1 ) ^m ( 1 ... N ) ) -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
190	189, 2	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` c ) e. I -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
191	171, 190	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( F ` c ) : ( 1 ... N ) --> ( 0 [,] 1 ) )
192	191	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) e. ( 0 [,] 1 ) )
193	183, 192	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( F ` c ) ` n ) e. CC )
194	188, 193	subeq0ad 10402	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c ` n ) - ( ( F ` c ) ` n ) ) = 0 <-> ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
195	182, 194	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ c e. I ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
196	195	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
197	170, 174, 175, 175, 27	offn 6908	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( c oF - ( F ` c ) ) Fn ( 1 ... N ) )
198		fnconstg 6093	. . . . . . 7 |- ( 0 e. _V -> ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N ) )
199	179, 198	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N )
200		eqfnfv 6311	. . . . . 6 |- ( ( ( c oF - ( F ` c ) ) Fn ( 1 ... N ) /\ ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) Fn ( 1 ... N ) ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) ) )
201	197, 199, 200	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( ( c oF - ( F ` c ) ) ` n ) = ( ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) ` n ) ) )
202		eqfnfv 6311	. . . . . 6 |- ( ( c Fn ( 1 ... N ) /\ ( F ` c ) Fn ( 1 ... N ) ) -> ( c = ( F ` c ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
203	170, 174, 202	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( c = ( F ` c ) <-> A. n e. ( 1 ... N ) ( c ` n ) = ( ( F ` c ) ` n ) ) )
204	196, 201, 203	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( c oF - ( F ` c ) ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> c = ( F ` c ) ) )
205	167, 204	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ph /\ c e. I ) -> ( ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> c = ( F ` c ) ) )
206	205	rexbidva 3049	. 2 |- ( ph -> ( E. c e. I ( ( x e. I |-> ( x oF - ( F ` x ) ) ) ` c ) = ( ( 1 ... N ) X. { 0 } ) <-> E. c e. I c = ( F ` c ) ) )
207	160, 206	mpbid 222	1 |- ( ph -> E. c e. I c = ( F ` c ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-lp 20940  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-hmph 21559  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680

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