Theorem eluzp1p1 11713

Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzp1p1	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )

Proof of Theorem eluzp1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2z 11418	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( M + 1 ) e. ZZ )
2	1	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
3		peano2z 11418	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
4	3	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
5		zre 11381	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
6		zre 11381	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
7		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
8		leadd1 10496	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
9	7, 8	mp3an3 1413	. . . . 5 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
10	5, 6, 9	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
11	10	biimp3a 1432	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) )
12	2, 4, 11	3jca 1242	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) -> ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
13		eluz2 11693	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
14		eluz2 11693	. 2 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ /\ ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4i 281	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uzp1  11721  fzp1elp1  12394  seqcl2  12819  seqfveq2  12823  seqf1olem2  12841  seqid2  12847  seqcoll  13248  serf0  14411  efcllem  14808  prmind2  15398  pockthlem  15609  pockthg  15610  prmunb  15618  prmreclem4  15623  dvradcnv  24175  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  dchrisumlem2  25179  dchrisum0flb  25199  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemf  25294  axlowdimlem17  25838  fibp1  30463  subfacp1lem5  31166  poimirlem1  33410  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem23  33432  fdc  33541  mettrifi  33553  expdiophlem1  37588  trclfvdecomr  38020