Theorem radcnvlem1 24167

Description: Lemma for radcnvlt1 24172, radcnvle 24174. If X is a point closer to zero than Y and the power series converges at Y, then it converges absolutely at X, even if the terms in the sequence are multiplied by n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
radcnv.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
psergf.x	|- ( ph -> X e. CC )
radcnvlem2.y	|- ( ph -> Y e. CC )
radcnvlem2.a	|- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
radcnvlem2.c	|- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
radcnvlem1.h	|- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem1	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   m, n, x, A   m, H   ph, m   m, X   m, G   m, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   G( x, n)   H( x, n)   X( x, n)   Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1

Dummy variables i k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 11389	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		1rp 11836	. . . 4 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
5		radcnvlem2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. CC )
6		pser.g	. . . . 5 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
7	6	pserval2 24165	. . . 4 |- ( ( Y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
8	5, 7	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
9		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` Y ) e. _V )
10		radcnvlem2.c	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
11		radcnv.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
12	6, 11, 5	psergf 24166	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Y ) : NN0 --> CC )
13	12	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) e. CC )
14	1, 2, 9, 10, 13	serf0 14411	. . 3 |- ( ph -> ( G ` Y ) ~~> 0 )
15	1, 2, 4, 8, 14	climi0 14243	. 2 |- ( ph -> E. j e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
16		simprl 794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> j e. NN0 )
17		nn0re 11301	. . . . . . 7 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
18	17	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> i e. RR )
19		psergf.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> X e. CC )
21	20	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
22	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> Y e. CC )
23	22	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
24		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
25	19	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
26	5	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. RR )
27	19	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` X ) )
28		radcnvlem2.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
29	24, 25, 26, 27, 28	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( abs ` Y ) )
30	29	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
32	21, 23, 31	redivcld 10853	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
33		reexpcl 12877	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
34	32, 33	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
35	18, 34	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) e. RR )
36		eqid 2622	. . . . 5 |- ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) )
37	35, 36	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
38	37	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) e. RR )
39		nn0re 11301	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
40	39	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
41	6, 11, 19	psergf 24166	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
42	41	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
43	42	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
44	40, 43	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
45		radcnvlem1.h	. . . . . . 7 |- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
46	44, 45	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN0 --> RR )
47	46	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> H : NN0 --> RR )
48	47	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. RR )
49	48	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. CC )
50	25, 26, 30	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
51	50	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC )
52		divge0 10892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) ) /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
53	25, 27, 26, 29, 52	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
54	50, 53	absidd 14161	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) = ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
55	26	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. CC )
56	55	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) x. 1 ) = ( abs ` Y ) )
57	28, 56	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) )
58		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
59		ltdivmul 10898	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
60	25, 58, 26, 29, 59	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
61	57, 60	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 )
62	54, 61	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 )
63	36	geomulcvg 14607	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
64	51, 62, 63	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
65	64	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
66		1red 10055	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> 1 e. RR )
67	41	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
68		eluznn0 11757	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
69	16, 68	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
70	67, 69	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
71	70	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
72	32	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
73	72, 69	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) e. RR )
74	69	nn0red 11352	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. RR )
75	69	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ m )
76	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A : NN0 --> CC )
77	76, 69	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
78	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> Y e. CC )
79	78, 69	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( Y ^ m ) e. CC )
80	77, 79	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) e. CC )
81	80	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR )
82		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
83	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> X e. CC )
84	83	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
85	84, 69	reexpcld 13025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR )
86	83	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
87	84, 69, 86	expge0d 13026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
88		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( A ` k ) = ( A ` m ) )
90		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( Y ^ k ) = ( Y ^ m ) )
91	89, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) = ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
93	92	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 ) )
94	93	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
95	88, 94	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
96		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
97		ltle 10126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
98	81, 96, 97	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
99	95, 98	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 )
100	81, 82, 85, 87, 99	lemul1ad 10963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
101	83, 69	expcld 13008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( X ^ m ) e. CC )
102	77, 101	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
103	102, 79	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) )
104	80, 101	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) )
105	77, 79, 101	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) )
106	105	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
107	83, 69	absexpd 14191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( X ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
109	104, 106, 108	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
110	78, 69	absexpd 14191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( Y ^ m ) ) = ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
112	103, 109, 111	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
113	85	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. CC )
114	113	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
115	100, 112, 114	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
116	102	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR )
117	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
118	117, 69	reexpcld 13025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR )
119		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. ZZ )
121	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( abs ` Y ) )
122		expgt0 12893	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` Y ) e. RR /\ m e. ZZ /\ 0 < ( abs ` Y ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
123	117, 120, 121, 122	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
124		lemuldiv 10903	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR /\ ( ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
125	116, 85, 118, 123, 124	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
126	115, 125	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
127	6	pserval2 24165	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
128	83, 69, 127	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) )
130	21	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
131	130	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
132	23	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
133	132	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
134	30	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
135	131, 133, 134, 69	expdivd 13022	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) = ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
136	126, 129, 135	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
137	71, 73, 74, 75, 136	lemul2ad 10964	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) <_ ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
138	74, 71	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
139	70	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) )
140	74, 71, 75, 139	mulge0d 10604	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
141	138, 140	absidd 14161	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
142	74, 73	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. RR )
143	142	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. CC )
144	143	mulid2d 10058	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
145	137, 141, 144	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
146		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V
147	45	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
148	69, 146, 147	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
149	148	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) = ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) )
150		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> i = m )
151		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) = ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
152	150, 151	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( i = m -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
153		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. _V
154	152, 36, 153	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
155	69, 154	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) = ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
157	145, 149, 156	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) <_ ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) )
158	1, 16, 38, 49, 65, 66, 157	cvgcmpce 14550	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
159	15, 158	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  radcnvlem2  24168  radcnvlt1  24172