Theorem mertenslem2 14617

Description: Lemma for mertens 14618. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mertens.1	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
mertens.2	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
mertens.3	|- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
mertens.4	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
mertens.5	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
mertens.6	|- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
mertens.7	|- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
mertens.8	|- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
mertens.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
mertens.10	|- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
mertens.11	|- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
mertenslem2	|- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Distinct variable groups:   j, m, n, s, y, z, B   j, k, G, m, n, s, y, z   ph, j, k, m, y, z   A, k, m, n, s, y   j, E, k, m, n, s, y, z   j, K, k, m, n, s, y, z   j, F, m, n, y   ps, j, k, m, n, y, z   T, j, k, m, n, y, z   k, H, m, y   ph, n, s

Allowed substitution hints:   ps( s)   A( z, j)   B( k)   T( s)   F( z, k, s)   H( z, j, n, s)

Proof of Theorem mertenslem2

Dummy variables t w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		mertens.9	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
4	3	rphalfcld 11884	. . . 4 |- ( ph -> ( E / 2 ) e. RR+ )
5		nn0uz 11722	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
6		0zd 11389	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
7		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( K ` j ) )
8		mertens.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
9		mertens.3	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
10	9	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
11	8, 10	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) e. RR )
12		mertens.7	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
13	5, 6, 7, 11, 12	isumrecl 14496	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( K ` j ) e. RR )
14	9	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
15	14, 8	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( K ` j ) )
16	5, 6, 7, 11, 12, 15	isumge0 14497	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ sum_ j e. NN0 ( K ` j ) )
17	13, 16	ge0p1rpd 11902	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) e. RR+ )
18	4, 17	rpdivcld 11889	. . 3 |- ( ph -> ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) e. RR+ )
19		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
20		mertens.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
21		mertens.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
22		mertens.8	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
23	5, 6, 20, 21, 22	isumclim2 14489	. . 3 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) ~~> sum_ k e. NN0 B )
24	1, 2, 18, 19, 23	climi2 14242	. 2 |- ( ph -> E. s e. NN A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
25		eluznn 11758	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) -> m e. NN )
26	20, 21	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
27	5, 6, 26	serf 12829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq 0 ( + , G ) : NN0 --> CC )
28		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. NN0 )
29		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq 0 ( + , G ) : NN0 --> CC /\ m e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) e. CC )
30	27, 28, 29	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) ` m ) e. CC )
31	5, 6, 20, 21, 22	isumcl 14492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B e. CC )
33	30, 32	abssubd 14192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( m + 1 ) )
35	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN0 )
36		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
38	37	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ZZ )
39		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ph )
40		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
41	37, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
42	39, 41, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = B )
43	39, 41, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ) -> B e. CC )
44	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
45	26	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
46	5, 37, 45	iserex 14387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( m + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
47	44, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> seq ( m + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
48	34, 38, 42, 43, 47	isumcl 14492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B e. CC )
49	30, 48	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B )
50	20	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
51	21	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
52	5, 34, 37, 50, 51, 44	isumsplit 14572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
53		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN -> m e. CC )
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. CC )
55		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
56		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
57	54, 55, 56	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + 1 ) - 1 ) = m )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... m ) )
59	58	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B = sum_ k e. ( 0 ... m ) B )
60		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ph )
61		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 0 ... m ) -> k e. NN0 )
62	60, 61, 20	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... m ) ) -> ( G ` k ) = B )
63	35, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
64	60, 61, 21	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( 0 ... m ) ) -> B e. CC )
65	62, 63, 64	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... m ) B = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
66	59, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B = ( seq 0 ( + , G ) ` m ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( m + 1 ) - 1 ) ) B + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) = ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
68	52, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. NN0 B = ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = ( ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B ) - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) )
70	42	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) B )
71	49, 69, 70	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) )
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( sum_ k e. NN0 B - ( seq 0 ( + , G ) ` m ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
73	33, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
74	73	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
75	25, 74	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( s e. NN /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
76	75	anassrs 680	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. NN ) /\ m e. ( ZZ>= ` s ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
77	76	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
78		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) )
80	79	sumeq1d 14431	. . . . . . . 8 |- ( m = n -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) )
81	80	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
82	81	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
83	82	cbvralv 3171	. . . . 5 |- ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( m + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) )
84	77, 83	syl6bb 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
85		mertens.11	. . . . . 6 |- ( ps <-> ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) )
86		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. ZZ )
87	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( E / 2 ) e. RR+ )
88	85	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ps -> s e. NN )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. NN )
90	89	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> s e. RR+ )
91	87, 90	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( E / 2 ) / s ) e. RR+ )
92		mertens.10	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) }
93		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( n + 1 ) )
94		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) -> n e. NN0 )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
96		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN0 )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. NN0 )
98	97	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
99		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
100		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ph )
101		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
102	97, 101	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
103	100, 102, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
104	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
105		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ph )
106	105, 26	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. CC )
107	5, 97, 106	iserex 14387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> ) )
108	104, 107	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> seq ( n + 1 ) ( + , G ) e. dom ~~> )
109	93, 98, 99, 103, 108	isumcl 14492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) e. CC )
110	109	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR )
111		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) e. RR -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) -> z e. RR ) )
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ) -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) -> z e. RR ) )
113	112	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) -> z e. RR ) )
114	113	abssdv 3676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) } C_ RR )
115	92, 114	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> T C_ RR )
116		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 0 ... ( s - 1 ) ) e. Fin )
117		abrexfi 8266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 ... ( s - 1 ) ) e. Fin -> { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) } e. Fin )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> { z | E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) } e. Fin )
119	92, 118	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> T e. Fin )
120		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s e. NN -> ( s - 1 ) e. NN0 )
121	89, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. NN0 )
122	121, 5	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( s - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
123		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) )
125		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
126	125, 20	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = B )
127	126	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> sum_ k e. NN ( G ` k ) = sum_ k e. NN B )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN ( G ` k ) = sum_ k e. NN B )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. NN B ) )
130	129	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) )
131		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n = 0 -> ( n + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
132		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 + 1 ) = 1
133	131, 132	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = 0 -> ( n + 1 ) = 1 )
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = 0 -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
135	134, 1	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = 0 -> ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) = NN )
136	135	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = 0 -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. NN ( G ` k ) )
137	136	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = 0 -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) )
138	137	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = 0 -> ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) ) )
139	138	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) /\ ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. NN ( G ` k ) ) ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
140	124, 130, 139	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
141		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. _V
142		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. NN B ) -> ( z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
143	142	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( abs ` sum_ k e. NN B ) -> ( E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) z = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) ) )
144	141, 143, 92	elab2 3354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T <-> E. n e. ( 0 ... ( s - 1 ) ) ( abs ` sum_ k e. NN B ) = ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) )
145	140, 144	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T )
146		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T -> T =/= (/) )
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> T =/= (/) )
148		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- < Or RR
149		fisupcl 8375	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( < Or RR /\ ( T e. Fin /\ T =/= (/) /\ T C_ RR ) ) -> sup ( T , RR , < ) e. T )
150	148, 149	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. Fin /\ T =/= (/) /\ T C_ RR ) -> sup ( T , RR , < ) e. T )
151	119, 147, 115, 150	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> sup ( T , RR , < ) e. T )
152	115, 151	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> sup ( T , RR , < ) e. RR )
153		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 e. RR )
154	125, 21	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> B e. CC )
155		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. NN0
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
157	5, 156, 26	iserex 14387	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> <-> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> ) )
158	22, 157	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) e. dom ~~> )
159	1, 2, 126, 154, 158	isumcl 14492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. NN B e. CC )
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> sum_ k e. NN B e. CC )
161	160	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. RR )
162	160	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ ( abs ` sum_ k e. NN B ) )
163		fimaxre2 10969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T C_ RR /\ T e. Fin ) -> E. z e. RR A. w e. T w <_ z )
164	115, 119, 163	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. z e. RR A. w e. T w <_ z )
165	115, 147, 164	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. T w <_ z ) )
166		suprub 10984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. T w <_ z ) /\ ( abs ` sum_ k e. NN B ) e. T ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) <_ sup ( T , RR , < ) )
167	165, 145, 166	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( abs ` sum_ k e. NN B ) <_ sup ( T , RR , < ) )
168	153, 161, 152, 162, 167	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ps ) -> 0 <_ sup ( T , RR , < ) )
169	152, 168	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) e. RR+ )
170	91, 169	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) e. RR+ )
171		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( K ` n ) = ( K ` m ) )
172		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) )
173		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( K ` m ) e. _V
174	171, 172, 173	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` m ) = ( K ` m ) )
175	174	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` m ) = ( K ` m ) )
176		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 e. _V
177	176	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) e. _V
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) e. _V )
179		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN0 <-> j e. ( ZZ>= ` 0 ) )
180		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> ( K ` n ) = ( K ` j ) )
181		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K ` j ) e. _V
182	180, 172, 181	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
183	182	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
184	179, 183	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` 0 ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( K ` j ) )
185	6, 184	seqfeq 12826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ) = seq 0 ( + , K ) )
186	185, 12	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ) e. dom ~~> )
187	183, 8	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) = ( abs ` A ) )
188	187, 10	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) e. RR )
189	188	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ` j ) e. CC )
190	5, 6, 178, 186, 189	serf0 14411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ~~> 0 )
191	190	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( n e. NN0 |-> ( K ` n ) ) ~~> 0 )
192	5, 86, 170, 175, 191	climi0 14243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) )
193		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ph )
194		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> m e. NN0 )
195	194	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> m e. NN0 )
196	11, 15	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) )
197	196	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. j e. NN0 ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) )
198		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = m -> ( K ` j ) = ( K ` m ) )
199	198	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = m -> ( abs ` ( K ` j ) ) = ( abs ` ( K ` m ) ) )
200	199, 198	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = m -> ( ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) <-> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) ) )
201	200	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. j e. NN0 ( abs ` ( K ` j ) ) = ( K ` j ) /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
202	197, 201	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
203	193, 195, 202	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ( abs ` ( K ` m ) ) = ( K ` m ) )
204	203	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) /\ m e. ( ZZ>= ` t ) ) -> ( ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) <-> ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) )
205	204	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) )
206	171	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) <-> ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) )
207	206	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) )
208	205, 207	syl6bbr 278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) <-> A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) )
209		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> ph )
210		mertens.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
211	209, 210	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( F ` j ) = A )
212	209, 8	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( K ` j ) = ( abs ` A ) )
213	209, 9	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) /\ j e. NN0 ) -> A e. CC )
214	209, 20	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = B )
215	209, 21	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
216		mertens.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
217	209, 216	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( H ` k ) = sum_ j e. ( 0 ... k ) ( A x. ( G ` ( k - j ) ) ) )
218	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> seq 0 ( + , K ) e. dom ~~> )
219	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> seq 0 ( + , G ) e. dom ~~> )
220	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> E e. RR+ )
221	207	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) <-> ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) )
222	221	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) )
223	222	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) )
224	223	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> ( ps /\ ( t e. NN0 /\ A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` m ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) )
225	168, 165	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( 0 <_ sup ( T , RR , < ) /\ ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. T w <_ z ) ) )
226	225	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> ( 0 <_ sup ( T , RR , < ) /\ ( T C_ RR /\ T =/= (/) /\ E. z e. RR A. w e. T w <_ z ) ) )
227	211, 212, 213, 214, 215, 217, 218, 219, 220, 92, 85, 224, 226	mertenslem1 14616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( t e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
228	227	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` t ) ( K ` n ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
229	208, 228	sylbid 230	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ t e. NN0 ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
230	229	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( E. t e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` t ) ( abs ` ( K ` m ) ) < ( ( ( E / 2 ) / s ) / ( sup ( T , RR , < ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
231	192, 230	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )
232	231	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ps -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
233	85, 232	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( s e. NN /\ A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
234	233	expdimp 453	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( n + 1 ) ) ( G ` k ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
235	84, 234	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ph /\ s e. NN ) -> ( A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
236	235	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. s e. NN A. m e. ( ZZ>= ` s ) ( abs ` ( ( seq 0 ( + , G ) ` m ) - sum_ k e. NN0 B ) ) < ( ( E / 2 ) / ( sum_ j e. NN0 ( K ` j ) + 1 ) ) -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E ) )
237	24, 236	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. NN0 A. m e. ( ZZ>= ` y ) ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... m ) ( A x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( ( m - j ) + 1 ) ) B ) ) < E )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  mertens  14618