Theorem sge0fodjrnlem 40633

Description: Re-index a nonnegative extended sum using an onto function with disjoint range, when the empty set is assigned 0 in the sum (this is true, for example, both for measures and outer measures). (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0fodjrnlem.k	|- F/ k ph
sge0fodjrnlem.n	|- F/ n ph
sge0fodjrnlem.bd	|- ( k = G -> B = D )
sge0fodjrnlem.c	|- ( ph -> C e. V )
sge0fodjrnlem.f	|- ( ph -> F : C -onto-> A )
sge0fodjrnlem.dj	|- ( ph -> Disj n e. C ( F ` n ) )
sge0fodjrnlem.fng	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
sge0fodjrnlem.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0fodjrnlem.b0	|- ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 )
sge0fodjrnlem.z	|- Z = ( `' F " { (/) } )

Assertion

Ref	Expression
sge0fodjrnlem	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k, n   D, k   k, F, n   k, G   k, Z, n

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   B( k)   D( n)   G( n)   V( k, n)

Proof of Theorem sge0fodjrnlem

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0fodjrnlem.k	. . . 4 |- F/ k ph
2		sge0fodjrnlem.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. V )
3		sge0fodjrnlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : C -onto-> A )
4		fornex 7135	. . . . 5 |- ( C e. V -> ( F : C -onto-> A -> A e. _V ) )
5	2, 3, 4	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> A e. _V )
6		difssd 3738	. . . 4 |- ( ph -> ( A \ { (/) } ) C_ A )
7		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> ph )
8	6	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> k e. A )
9		sge0fodjrnlem.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ { (/) } ) ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
11		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> ph )
12		dfin4 3867	. . . . . . . . . 10 |- ( A i^i { (/) } ) = ( A \ ( A \ { (/) } ) )
13	12	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( A \ { (/) } ) ) = ( A i^i { (/) } )
14		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( A i^i { (/) } ) C_ { (/) }
15	13, 14	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- ( A \ ( A \ { (/) } ) ) C_ { (/) }
16		id 22	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) )
17	15, 16	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k e. { (/) } )
18		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( k e. { (/) } -> k = (/) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) -> k = (/) )
20	19	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> k = (/) )
21		sge0fodjrnlem.b0	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 )
22	11, 20, 21	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A \ ( A \ { (/) } ) ) ) -> B = 0 )
23	1, 5, 6, 10, 22	sge0ss 40629	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
24	23	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) )
25		sge0fodjrnlem.n	. . 3 |- F/ n ph
26		sge0fodjrnlem.bd	. . 3 |- ( k = G -> B = D )
27		difexg 4808	. . . 4 |- ( C e. V -> ( C \ Z ) e. _V )
28	2, 27	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( C \ Z ) e. _V )
29		eqid 2622	. . . . 5 |- ( n e. C |-> ( F ` n ) ) = ( n e. C |-> ( F ` n ) )
30		fof 6115	. . . . . . 7 |- ( F : C -onto-> A -> F : C --> A )
31	3, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : C --> A )
32	31	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
33		sge0fodjrnlem.dj	. . . . 5 |- ( ph -> Disj n e. C ( F ` n ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
35	34	neeq1d 2853	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) =/= (/) <-> ( F ` n ) =/= (/) ) )
36	35	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } = { n e. C | ( F ` n ) =/= (/) }
37	34	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ( n e. C |-> ( F ` n ) )
38	37	rneqi 5352	. . . . . 6 |- ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ran ( n e. C |-> ( F ` n ) )
39	38	difeq1i 3724	. . . . 5 |- ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) = ( ran ( n e. C |-> ( F ` n ) ) \ { (/) } )
40	25, 29, 32, 33, 36, 39	disjf1o 39378	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) : { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -1-1-onto-> ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) )
41	31	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ph -> F = ( n e. C |-> ( F ` n ) ) )
42		difssd 3738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C \ Z ) C_ C )
43	42	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> n e. C )
44		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( C \ Z ) -> n e. C )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. C )
46		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) = (/) )
47		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` n ) e. _V
48	47	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F ` n ) e. { (/) } <-> ( F ` n ) = (/) )
49	46, 48	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
51	45, 50	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( C \ Z ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
52	51	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
53	31	ffnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F Fn C )
54		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F Fn C -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
57	52, 56	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
58		sge0fodjrnlem.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( `' F " { (/) } )
59	57, 58	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> n e. Z )
60		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( C \ Z ) -> -. n e. Z )
61	60	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) /\ ( F ` n ) = (/) ) -> -. n e. Z )
62	59, 61	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
63	62	neqned 2801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( F ` n ) =/= (/) )
64	43, 63	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) =/= (/) ) )
65	35	elrab 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) =/= (/) ) )
66	64, 65	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } )
67	66	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) -> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
68	65	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. C )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> n e. C )
70	58	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. Z <-> n e. ( `' F " { (/) } ) )
71	70	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. Z -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. ( `' F " { (/) } ) )
73	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( n e. ( `' F " { (/) } ) <-> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) ) )
74	72, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( n e. C /\ ( F ` n ) e. { (/) } ) )
75	74	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. { (/) } )
76		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. { (/) } -> ( F ` n ) = (/) )
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = (/) )
78	77	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = (/) )
79	65	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> ( F ` n ) =/= (/) )
80	79	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) =/= (/) )
81	80	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) /\ n e. Z ) -> -. ( F ` n ) = (/) )
82	78, 81	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> -. n e. Z )
83	69, 82	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) -> n e. ( C \ Z ) )
84	83	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. ( C \ Z ) ) )
85	25, 84	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } n e. ( C \ Z ) )
86		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 |- ( { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } C_ ( C \ Z ) <-> A. n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } n e. ( C \ Z ) )
87	85, 86	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } C_ ( C \ Z ) )
88	87	sseld 3602	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -> n e. ( C \ Z ) ) )
89	67, 88	impbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
90	25, 89	alrimi 2082	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
91		dfcleq 2616	. . . . . . 7 |- ( ( C \ Z ) = { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } <-> A. n ( n e. ( C \ Z ) <-> n e. { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
92	90, 91	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C \ Z ) = { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } )
93	41, 92	reseq12d 5397	. . . . 5 |- ( ph -> ( F |` ( C \ Z ) ) = ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) )
94	41, 37	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( m e. C |-> ( F ` m ) ) )
95	94	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = F )
96	95	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) = ran F )
97		forn 6118	. . . . . . . 8 |- ( F : C -onto-> A -> ran F = A )
98	3, 97	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F = A )
99	96, 98	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ph -> A = ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) )
100	99	difeq1d 3727	. . . . 5 |- ( ph -> ( A \ { (/) } ) = ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) )
101	93, 92, 100	f1oeq123d 6133	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) : ( C \ Z ) -1-1-onto-> ( A \ { (/) } ) <-> ( ( n e. C |-> ( F ` n ) ) |` { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } ) : { m e. C | ( F ` m ) =/= (/) } -1-1-onto-> ( ran ( m e. C |-> ( F ` m ) ) \ { (/) } ) ) )
102	40, 101	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C \ Z ) ) : ( C \ Z ) -1-1-onto-> ( A \ { (/) } ) )
103		fvres 6207	. . . . 5 |- ( n e. ( C \ Z ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
104	103	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = ( F ` n ) )
105		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ph )
106		sge0fodjrnlem.fng	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
107	105, 43, 106	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( F ` n ) = G )
108	104, 107	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ( F |` ( C \ Z ) ) ` n ) = G )
109	1, 25, 26, 28, 102, 108, 10	sge0f1o 40599	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. ( A \ { (/) } ) |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. ( C \ Z ) |-> D ) ) )
110	106	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G = ( F ` n ) )
111	110, 32	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> G e. A )
112	105, 43, 111	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> G e. A )
113	112	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. ( C \ Z ) -> G e. A ) )
114	113	imdistani 726	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> ( ph /\ G e. A ) )
115		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ k G
116		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k G e. A
117	1, 116	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ G e. A )
118		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k D e. ( 0 [,] +oo )
119	117, 118	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
120		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( k = G -> ( k e. A <-> G e. A ) )
121	120	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ G e. A ) ) )
122	26	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
123	121, 122	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = G -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
124	115, 119, 123, 9	vtoclgf 3264	. . . 4 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ G e. A ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) ) )
125	112, 114, 124	sylc 65	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ Z ) ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
126		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> ph )
127		eldifi 3732	. . . . . 6 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. C )
128	127	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> n e. C )
129	126, 128, 111	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> G e. A )
130		dfin4 3867	. . . . . . . . 9 |- ( Z i^i C ) = ( Z \ ( Z \ C ) )
131		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( Z \ ( Z \ C ) ) C_ Z
132	130, 131	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- ( Z i^i C ) C_ Z
133		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( C i^i Z ) C_ Z
134		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( C \ ( C \ Z ) ) )
135		dfin4 3867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C i^i Z ) = ( C \ ( C \ Z ) )
136	135	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . 11 |- ( C \ ( C \ Z ) ) = ( C i^i Z )
137	134, 136	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( C i^i Z ) )
138	133, 137	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. Z )
139	138, 127	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. ( Z i^i C ) )
140	132, 139	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( n e. ( C \ ( C \ Z ) ) -> n e. Z )
141	140	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> n e. Z )
142	77	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> (/) = ( F ` n ) )
143		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ph )
144	74	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> n e. C )
145	143, 144, 106	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = G )
146	142, 145	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> G = (/) )
147	126, 141, 146	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> G = (/) )
148	126, 147	jca 554	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> ( ph /\ G = (/) ) )
149		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k G = (/)
150	1, 149	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ G = (/) )
151		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k D = 0
152	150, 151	nfim 1825	. . . . 5 |- F/ k ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 )
153		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( k = G -> ( k = (/) <-> G = (/) ) )
154	153	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( ( ph /\ k = (/) ) <-> ( ph /\ G = (/) ) ) )
155	26	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( k = G -> ( B = 0 <-> D = 0 ) )
156	154, 155	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( k = G -> ( ( ( ph /\ k = (/) ) -> B = 0 ) <-> ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 ) ) )
157	115, 152, 156, 21	vtoclgf 3264	. . . 4 |- ( G e. A -> ( ( ph /\ G = (/) ) -> D = 0 ) )
158	129, 148, 157	sylc 65	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. ( C \ ( C \ Z ) ) ) -> D = 0 )
159	25, 2, 42, 125, 158	sge0ss 40629	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. ( C \ Z ) |-> D ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
160	24, 109, 159	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177  Disj wdisj 4620   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0fodjrn  40634