Theorem sge0iunmptlemre 40632

Description: Sum of nonnegative extended reals over a disjoint indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0iunmptlemre.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0iunmptlemre.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
sge0iunmptlemre.dj	|- ( ph -> Disj x e. A B )
sge0iunmptlemre.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemre.re	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
sge0iunmptlemre.sxr	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) e. RR* )
sge0iunmptlemre.ssxr	|- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) e. RR* )
sge0iunmptlemre.f	|- ( ph -> ( k e. U_ x e. A B |-> C ) : U_ x e. A B --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0iunmptlemre.iue	|- ( ph -> U_ x e. A B e. _V )

Assertion

Ref	Expression
sge0iunmptlemre	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k   x, C   x, W   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)   V( x, k)   W( k)

Proof of Theorem sge0iunmptlemre

Dummy variables b p y w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0iunmptlemre.sxr	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) e. RR* )
2		sge0iunmptlemre.ssxr	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) e. RR* )
3		elpwinss 39216	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) -> y C_ U_ x e. A B )
4	3	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) -> ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) = ( k e. y |-> C ) )
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) ) = (Σ^ ` ( k e. y |-> C ) ) )
6	5	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) ) = (Σ^ ` ( k e. y |-> C ) ) )
7		elinel2 3800	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) -> y e. Fin )
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
9	3	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. U_ x e. A B )
10		eliun 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. U_ x e. A B <-> E. x e. A k e. B )
11	9, 10	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) /\ k e. y ) -> E. x e. A k e. B )
12	11	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> E. x e. A k e. B )
13		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ph
14		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x y
15		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x U_ x e. A B
16	15	nfpw 4172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ~P U_ x e. A B
17		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x Fin
18	16, 17	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ~P U_ x e. A B i^i Fin )
19	14, 18	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin )
20	13, 19	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) )
21		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x k e. y
22	20, 21	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) /\ k e. y )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ x C e. ( 0 [,) +oo )
24		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> k e. B )
25		sge0iunmptlemre.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
27	26	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. B /\ C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` k ) = C )
28	24, 25, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` k ) = C )
29	28	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C = ( ( k e. B |-> C ) ` k ) )
30	25	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
31	30, 26	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
33		sge0iunmptlemre.b	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W )
34	33	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> B e. W )
35		sge0iunmptlemre.re	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
36	35	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
37	34, 32, 36	sge0rern 40605	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> -. +oo e. ran ( k e. B |-> C ) )
38	32, 37	fge0iccico 40587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,) +oo ) )
39	38, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
40	29, 39	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
41	40	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. A -> ( k e. B -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( x e. A -> ( k e. B -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
43	22, 23, 42	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( E. x e. A k e. B -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) )
44	12, 43	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
45	8, 44	sge0fsummpt 40607	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. y |-> C ) ) = sum_ k e. y C )
46		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ U_ x e. A B <-> ( U_ x e. A B i^i y ) = y )
47	46	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ U_ x e. A B -> ( U_ x e. A B i^i y ) = y )
48	47	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ U_ x e. A B -> y = ( U_ x e. A B i^i y ) )
49		iunin1 4585	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ x e. A ( B i^i y ) = ( U_ x e. A B i^i y )
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ U_ x e. A B -> U_ x e. A ( B i^i y ) = ( U_ x e. A B i^i y ) )
51	48, 50	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ U_ x e. A B -> y = U_ x e. A ( B i^i y ) )
52	3, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) -> y = U_ x e. A ( B i^i y ) )
53	52	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) -> sum_ k e. y C = sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i y ) C )
54	53	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y C = sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i y ) C )
55		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> ph )
56	33	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ x e. A ) -> B e. W )
57		sge0iunmptlemre.dj	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Disj x e. A B )
58	57	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> Disj x e. A B )
59		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
60		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
61	59, 60	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
62	61, 40	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
63	62	3adant1r 1319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
64		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> y e. Fin )
65	56, 58, 63, 64	fsumiunss 39807	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i y ) C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C )
66	55, 8, 65	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i y ) C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C )
67	54, 66	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C )
68	6, 45, 67	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) ) = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C )
69	56, 58, 64	disjinfi 39380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } e. Fin )
70		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Fin -> y e. Fin )
71		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C_ y
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. Fin -> ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C_ y )
73		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C_ y ) -> ( [_ w / x ]_ B i^i y ) e. Fin )
74	70, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Fin -> ( [_ w / x ]_ B i^i y ) e. Fin )
75	74	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) -> ( [_ w / x ]_ B i^i y ) e. Fin )
76		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> ph )
77		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } -> w e. A )
78	77	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> w e. A )
79		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) -> k e. [_ w / x ]_ B )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> k e. [_ w / x ]_ B )
81		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x w e. A
82		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x k
83		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ x [_ w / x ]_ B
84	82, 83	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x k e. [_ w / x ]_ B
85	13, 81, 84	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( ph /\ w e. A /\ k e. [_ w / x ]_ B )
86	85, 23	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ( ph /\ w e. A /\ k e. [_ w / x ]_ B ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
87		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( x e. A <-> w e. A ) )
88		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = w -> B = [_ w / x ]_ B )
89	88	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( k e. B <-> k e. [_ w / x ]_ B ) )
90	87, 89	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ w e. A /\ k e. [_ w / x ]_ B ) ) )
91	90	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ w e. A /\ k e. [_ w / x ]_ B ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
92	86, 91, 40	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. A /\ k e. [_ w / x ]_ B ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
93	76, 78, 80, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
94	93	adantllr 755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
95	75, 94	fsumge0cl 39805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) -> sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C e. ( 0 [,) +oo ) )
96	69, 95	sge0fsummpt 40607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> (Σ^ ` ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C ) ) = sum_ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C )
97		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B i^i y ) C_ y
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. Fin -> ( B i^i y ) C_ y )
99		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Fin /\ ( B i^i y ) C_ y ) -> ( B i^i y ) e. Fin )
100	70, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. Fin -> ( B i^i y ) e. Fin )
101	100	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) -> ( B i^i y ) e. Fin )
102		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( B i^i y ) ) -> ph )
103		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } <-> ( x e. A /\ ( B i^i y ) =/= (/) ) )
104	103	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } -> ( x e. A /\ ( B i^i y ) =/= (/) ) )
105	104	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } -> x e. A )
106	105	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( B i^i y ) ) -> x e. A )
107		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( B i^i y ) -> k e. B )
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( B i^i y ) ) -> k e. B )
109	102, 106, 108, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( B i^i y ) ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
110	109	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) /\ k e. ( B i^i y ) ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
111	101, 110	sge0fsummpt 40607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) -> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) = sum_ k e. ( B i^i y ) C )
112	111	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) = ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( B i^i y ) C ) )
113		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) }
114		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) }
115		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w sum_ k e. ( B i^i y ) C
116	83, 14	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( [_ w / x ]_ B i^i y )
117		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x C
118	116, 117	nfsum 14421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C
119	88	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( B i^i y ) = ( [_ w / x ]_ B i^i y ) )
120	119	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> sum_ k e. ( B i^i y ) C = sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C )
121	113, 114, 115, 118, 120	cbvmptf 4748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( B i^i y ) C ) = ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( B i^i y ) C ) = ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C ) )
123	112, 122	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C ) = ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) )
124	123	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> (Σ^ ` ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C ) ) = (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
125	124	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C ) ) )
126	120, 114, 113, 115, 118	cbvsum 14425	. . . . . . . . . 10 |- sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C = sum_ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C
127	126	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C = sum_ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) C )
128	96, 125, 127	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. Fin ) -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C )
129	55, 8, 128	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C )
130	129	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> sum_ x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i y ) C = (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
131	68, 130	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) ) = (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
132		sge0iunmptlemre.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. V )
133	77	ssriv 3607	. . . . . . . . . 10 |- { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } C_ A
134	133	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } C_ A )
135	132, 134	ssexd 4805	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } e. _V )
136		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
137	136	inex2 4800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ w / x ]_ B i^i y ) e. _V
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( [_ w / x ]_ B i^i y ) e. _V )
139		icossicc 12260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
140		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> ph )
141		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> w e. A )
142	79	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> k e. [_ w / x ]_ B )
143	140, 141, 142, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
144	139, 143	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. A ) /\ k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
145		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) = ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C )
146	144, 145	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) : ( [_ w / x ]_ B i^i y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
147	138, 146	sge0cl 40598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148	77, 147	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } ) -> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
149		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ w (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) )
150		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ xΣ^
151	116, 117	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C )
152	150, 151	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) )
153	119	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) = ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) )
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) )
155	113, 114, 149, 152, 154	cbvmptf 4748	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) = ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) )
156	148, 155	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) : { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } --> ( 0 [,] +oo ) )
157	135, 156	sge0xrcl 40602	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) e. RR* )
158	157	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) e. RR* )
159		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) = ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) )
160	147, 159	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
161	132, 160	sge0xrcl 40602	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) e. RR* )
162	161	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) e. RR* )
163	55, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) e. RR* )
164	155	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) )
165	164	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
166	132, 147, 134	sge0lessmpt 40616	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( w e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
167	165, 166	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
168	167	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
169	149, 152, 154	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) = ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) )
170	169	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) = ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) )
171	170	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9 |- (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) )
172	171	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) )
173	136	inex2 4800	. . . . . . . . . . 11 |- ( B i^i y ) e. _V
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B i^i y ) e. _V )
175	107, 30	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. ( B i^i y ) ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
176		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) = ( k e. ( B i^i y ) |-> C )
177	175, 176	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) : ( B i^i y ) --> ( 0 [,] +oo ) )
178	174, 177	sge0cl 40598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
179	33, 31	sge0cl 40598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
180		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( B i^i y ) C_ B
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B i^i y ) C_ B )
182	33, 30, 181	sge0lessmpt 40616	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
183	13, 132, 178, 179, 182	sge0lempt 40627	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
184	172, 183	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
185	184	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( w e. A |-> (Σ^ ` ( k e. ( [_ w / x ]_ B i^i y ) |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
186	158, 162, 163, 168, 185	xrletrd 11993	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. { x e. A | ( B i^i y ) =/= (/) } |-> (Σ^ ` ( k e. ( B i^i y ) |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
187	131, 186	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
188	187	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
189		sge0iunmptlemre.iue	. . . 4 |- ( ph -> U_ x e. A B e. _V )
190		sge0iunmptlemre.f	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. U_ x e. A B |-> C ) : U_ x e. A B --> ( 0 [,] +oo ) )
191	189, 190, 2	sge0lefi 40615	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) <-> A. y e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( k e. U_ x e. A B |-> C ) |` y ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) ) )
192	188, 191	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
193		elpwinss 39216	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
194	193	resmptd 5452	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) |` y ) = ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) )
195	194	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) |` y ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
196	195	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) |` y ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
197		elinel2 3800	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
198	197	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
199		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
200	199	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> 0 e. RR* )
201		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 |- +oo e. RR*
202	201	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> +oo e. RR* )
203		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> ph )
204	193	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ x e. y ) -> x e. A )
205	204	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> x e. A )
206	203, 205, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> B e. W )
207	203, 205, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> ( 0 [,] +oo ) )
208	206, 207	sge0xrcl 40602	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR* )
209	206, 207	sge0ge0 40601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> 0 <_ (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
210	203, 205, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
211		ltpnf 11954	. . . . . . . . 9 |- ( (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) < +oo )
212	210, 211	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) < +oo )
213	200, 202, 208, 209, 212	elicod 12224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. ( 0 [,) +oo ) )
214	198, 213	sge0fsummpt 40607	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) = sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
215	196, 214	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) |` y ) ) = sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
216		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
217	189	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> U_ x e. A B e. _V )
218	190	mptex2 6384	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
219	218	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. U_ x e. A B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
220	198, 210	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR )
221	220	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR* )
222		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ )
223		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ A -> U_ x e. y B C_ U_ x e. A B )
224	193, 223	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> U_ x e. y B C_ U_ x e. A B )
225	224	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> U_ x e. y B C_ U_ x e. A B )
226	217, 225	ssexd 4805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> U_ x e. y B e. _V )
227	226	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> U_ x e. y B e. _V )
228		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. U_ x e. y B ) -> ph )
229	225	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. U_ x e. y B ) -> k e. U_ x e. A B )
230	228, 229, 218	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. U_ x e. y B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
231	230	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ k e. U_ x e. y B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
232		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> p e. RR+ )
233	193	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
234	57	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Disj x e. A B )
235		disjss1 4626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ A -> (Disj x e. A B -> Disj x e. y B ) )
236	233, 234, 235	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Disj x e. y B )
237	203	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y /\ k e. B ) -> ph )
238	205	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y /\ k e. B ) -> x e. A )
239		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y /\ k e. B ) -> k e. B )
240	237, 238, 239, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y /\ k e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
241	198, 206, 236, 240, 210	sge0iunmptlemfi 40630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )
242	214, 220	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) e. RR )
243	241, 242	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) e. RR )
244	243	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) e. RR )
245	222, 227, 231, 232, 244	sge0ltfirpmpt 40625	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> E. b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) )
246		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ b ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ )
247		nfre1 3005	. . . . . . . 8 |- F/ b E. b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p )
248		sspwb 4917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U_ x e. y B C_ U_ x e. A B <-> ~P U_ x e. y B C_ ~P U_ x e. A B )
249	248	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U_ x e. y B C_ U_ x e. A B -> ~P U_ x e. y B C_ ~P U_ x e. A B )
250	223, 249	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y C_ A -> ~P U_ x e. y B C_ ~P U_ x e. A B )
251	193, 250	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> ~P U_ x e. y B C_ ~P U_ x e. A B )
252	251	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> ~P U_ x e. y B C_ ~P U_ x e. A B )
253		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) -> b e. ~P U_ x e. y B )
254	253	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> b e. ~P U_ x e. y B )
255	252, 254	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> b e. ~P U_ x e. A B )
256		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) -> b e. Fin )
257	256	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> b e. Fin )
258	255, 257	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) )
259	258	ad4ant24 1298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) )
260	259	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) )
261	221	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR* )
262	261	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) e. RR* )
263		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) )
264	226	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> U_ x e. y B e. _V )
265	230	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) /\ k e. U_ x e. y B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
266	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) e. RR )
267	253	elpwid 4170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) -> b C_ U_ x e. y B )
268	267	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> b C_ U_ x e. y B )
269	263, 264, 265, 266, 268	sge0ssrempt 40622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) e. RR )
270	269	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) e. RR* )
271	270	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) e. RR* )
272		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. RR+ -> p e. RR* )
273	272	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> p e. RR* )
274	271, 273	xaddcld 12131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) e. RR* )
275	274	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) e. RR* )
276		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) )
277	241, 214	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) )
278	277	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) )
279	278	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) )
280	269	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) e. RR )
281		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p e. RR+ -> p e. RR )
282	281	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> p e. RR )
283		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) e. RR /\ p e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) = ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) )
284	280, 282, 283	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) = ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) )
285	284	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) = ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) )
286	279, 285	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> ( sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) <-> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) )
287	276, 286	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) )
288	262, 275, 287	xrltled 39486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) )
289		rspe 3003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) /\ sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) ) -> E. b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) )
290	260, 288, 289	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) /\ b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) ) -> E. b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) )
291	290	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> ( b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) -> ( (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) -> E. b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) ) ) )
292	246, 247, 291	rexlimd 3026	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> ( E. b e. ( ~P U_ x e. y B i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. U_ x e. y B |-> C ) ) < ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) + p ) -> E. b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) ) )
293	245, 292	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ p e. RR+ ) -> E. b e. ( ~P U_ x e. A B i^i Fin ) sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ ( (Σ^ ` ( k e. b |-> C ) ) +e p ) )
294	216, 217, 219, 221, 293	sge0gerpmpt 40619	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ x e. y (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
295	215, 294	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) |` y ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
296	295	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) |` y ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
297		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) = ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) )
298	179, 297	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
299	132, 298, 1	sge0lefi 40615	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) <-> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) |` y ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) ) )
300	296, 299	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) )
301	1, 2, 192, 300	xrletrid 11986	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. U_ x e. A B |-> C ) ) = (Σ^ ` ( x e. A |-> (Σ^ ` ( k e. B |-> C ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   RR+crp 11832   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0iunmpt  40635