Theorem sge0f1o 40599

Description: Re-index a nonnegative extended sum using a bijection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0f1o.1	|- F/ k ph
sge0f1o.2	|- F/ n ph
sge0f1o.3	|- ( k = G -> B = D )
sge0f1o.4	|- ( ph -> C e. V )
sge0f1o.5	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
sge0f1o.6	|- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
sge0f1o.7	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0f1o	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k, n   D, k   k, F, n   k, G

Allowed substitution hints:   ph( k, n)   B( k)   D( n)   G( n)   V( k, n)

Proof of Theorem sge0f1o

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0f1o.4	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. V )
2		sge0f1o.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
3		f1ofo 6144	. . . . . . 7 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -onto-> A )
4	2, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : C -onto-> A )
5		fornex 7135	. . . . . 6 |- ( C e. V -> ( F : C -onto-> A -> A e. _V ) )
6	1, 4, 5	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
7	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> A e. _V )
8		sge0f1o.1	. . . . . 6 |- F/ k ph
9		sge0f1o.7	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
11	8, 9, 10	fmptdf 6387	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
13		pnfex 10093	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( n e. C |-> D ) = ( n e. C |-> D )
15	14	elrnmpt 5372	. . . . . . . 8 |- ( +oo e. _V -> ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) <-> E. n e. C +oo = D ) )
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) <-> E. n e. C +oo = D )
17	16	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( +oo e. ran ( n e. C |-> D ) -> E. n e. C +oo = D )
18	17	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> E. n e. C +oo = D )
19		sge0f1o.2	. . . . . . 7 |- F/ n ph
20		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ n +oo e. ran ( k e. A |-> B )
21		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo = D )
22		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
23	2, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : C --> A )
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) e. A )
25		sge0f1o.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( F ` n ) = G )
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( F ` n )
27		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( F ` n ) = G
28	26	nfcsb1 3548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k D
30	28, 29	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D
31	27, 30	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
32		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( k = G <-> ( F ` n ) = G ) )
33		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( F ` n ) -> B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
34	33	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B = D <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) )
35	32, 34	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( k = G -> B = D ) <-> ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) ) )
36		sge0f1o.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = G -> B = D )
37	26, 31, 35, 36	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( ( F ` n ) = G -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D ) )
38	24, 25, 37	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
39	38	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
40	39	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> D = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
41	21, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ph )
43	42, 24	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) )
44		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( F ` n ) e. A
45	8, 44	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k ( ph /\ ( F ` n ) e. A )
46	28	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ k [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo )
47	45, 46	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) )
48		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( F ` n ) -> ( k e. A <-> ( F ` n ) e. A ) )
49	48	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) ) )
50	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( F ` n ) -> ( B e. ( 0 [,] +oo ) <-> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
51	49, 50	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( F ` n ) -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) ) <-> ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) ) )
52	26, 47, 51, 9	vtoclgf 3264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) e. A -> ( ( ph /\ ( F ` n ) e. A ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) )
53	24, 43, 52	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) )
54	28, 10, 33	elrnmpt1sf 39376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` n ) e. A /\ [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ( 0 [,] +oo ) ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
55	24, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
56	55	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B e. ran ( k e. A |-> B ) )
57	41, 56	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. C /\ +oo = D ) -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) )
58	57	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. C -> ( +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) ) )
59	19, 20, 58	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. n e. C +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) )
60	59	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( E. n e. C +oo = D -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) ) )
61	18, 60	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> +oo e. ran ( k e. A |-> B ) )
62	7, 12, 61	sge0pnfval 40590	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
63	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> C e. V )
64	39, 53	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
65	19, 64, 14	fmptdf 6387	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. C |-> D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
66	65	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( n e. C |-> D ) : C --> ( 0 [,] +oo ) )
67		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
68	63, 66, 67	sge0pnfval 40590	. . 3 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) = +oo )
69	62, 68	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
70		sumex 14418	. . . . . . 7 |- sum_ k e. y B e. _V
71	70	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. _V )
72		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F " y ) C_ dom F
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F " y ) C_ dom F )
74		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C --> A -> dom F = C )
75	23, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F = C )
76	73, 75	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " y ) C_ C )
77		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : C --> A /\ C e. V ) -> F e. _V )
78	23, 1, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F e. _V )
79		cnvexg 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> `' F e. _V )
81		imaexg 7103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F e. _V -> ( `' F " y ) e. _V )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F " y ) e. _V )
83		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
85	76, 84	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' F " y ) e. ~P C )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ~P C )
87		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> `' F : A -1-1-onto-> C )
88	2, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : A -1-1-onto-> C )
89		f1ofun 6139	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' F : A -1-1-onto-> C -> Fun `' F )
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun `' F )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> Fun `' F )
92		elinel2 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
94		imafi 8259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun `' F /\ y e. Fin ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
95	91, 93, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
96	86, 95	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
97	96	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
98		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k -. +oo e. ran ( n e. C |-> D )
99	8, 98	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
100		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k y e. ( ~P A i^i Fin )
101	99, 100	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
102		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n +oo
103		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n ( n e. C |-> D )
104	103	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ran ( n e. C |-> D )
105	102, 104	nfel 2777	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n +oo e. ran ( n e. C |-> D )
106	105	nfn 1784	. . . . . . . . . 10 |- F/ n -. +oo e. ran ( n e. C |-> D )
107	19, 106	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
108		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ n y e. ( ~P A i^i Fin )
109	107, 108	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
110	95	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
111		f1of1 6136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -1-1-> A )
112	2, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : C -1-1-> A )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : C -1-1-> A )
114	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( `' F " y ) e. ~P C <-> ( `' F " y ) C_ C ) )
115	86, 114	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( `' F " y ) C_ C )
116		f1ores 6151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C -1-1-> A /\ ( `' F " y ) C_ C ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
117	113, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) )
118	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> F : C -onto-> A )
119		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y C_ A )
121		foimacnv 6154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : C -onto-> A /\ y C_ A ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
122	118, 120, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F " ( `' F " y ) ) = y )
123	122	f1oeq3d 6134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> ( F " ( `' F " y ) ) <-> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y ) )
124	117, 123	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y )
125	124	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( F |` ( `' F " y ) ) : ( `' F " y ) -1-1-onto-> y )
126	82	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( `' F " y ) e. _V )
127		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ph )
128	96	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
129		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> n e. ( `' F " y ) )
130	127, 128, 129	jca31 557	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) )
131		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( x e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) )
132	131	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) <-> ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) ) )
133		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( n e. x <-> n e. ( `' F " y ) ) )
134	132, 133	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) <-> ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) ) )
135		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F |` x ) = ( F |` ( `' F " y ) ) )
136	135	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) )
137	136	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( F |` x ) ` n ) = G <-> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) )
138	134, 137	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G ) <-> ( ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) ) )
139		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. x -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( F ` n ) )
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = ( F ` n ) )
141		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ph )
142		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) -> x C_ C )
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x C_ C )
144	143	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> n e. C )
145	141, 144, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( F ` n ) = G )
146	140, 145	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G )
147	138, 146	vtoclg 3266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( ( ph /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G ) )
148	126, 130, 147	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G )
149	148	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ n e. ( `' F " y ) ) -> ( ( F |` ( `' F " y ) ) ` n ) = G )
150	82	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. _V )
151		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) )
152	85	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. ~P C )
153	110	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. Fin )
154	152, 153	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
155		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
156	122	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y = ( F " ( `' F " y ) ) )
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> y = ( F " ( `' F " y ) ) )
158	155, 157	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. ( F " ( `' F " y ) ) )
159	158	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. ( F " ( `' F " y ) ) )
160	151, 154, 159	jca31 557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) )
161	131	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) <-> ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) ) )
162		imaeq2 5462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( F " x ) = ( F " ( `' F " y ) ) )
163	162	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( k e. ( F " x ) <-> k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) )
164	161, 163	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) <-> ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) ) )
165	164	imbi1d 331	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC ) <-> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) -> B e. CC ) ) )
166		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
167		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
168	166, 167	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
169		simplll 798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> ph )
170		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
171		fimass 6081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : C --> A -> ( F " x ) C_ A )
172	23, 171	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F " x ) C_ A )
173	172	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> ( F " x ) C_ A )
174		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. ( F " x ) )
175	173, 174	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. A )
176	175	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> k e. A )
177		foelrni 6244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : C -onto-> A /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
178	4, 177	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
179	178	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> E. n e. C ( F ` n ) = k )
180		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n k e. A
181	107, 180	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A )
182		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n B e. ( 0 [,) +oo )
183		csbid 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- [_ k / k ]_ B = B
184	183	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- B = [_ k / k ]_ B
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = [_ k / k ]_ B )
186		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` n ) = k -> ( F ` n ) = k )
187	186	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F ` n ) = k -> k = ( F ` n ) )
188	187	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` n ) = k -> [_ k / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
189	188	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> [_ k / k ]_ B = [_ ( F ` n ) / k ]_ B )
190	38	idi 2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
191	190	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> [_ ( F ` n ) / k ]_ B = D )
192	185, 189, 191	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = D )
193	192	3adant1r 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B = D )
194		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. RR*
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR* )
196		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- +oo e. RR*
197	196	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. RR* )
198	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
199		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> -. D e. ( 0 [,) +oo ) )
200	195, 197, 198, 199	eliccnelico 39756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D = +oo )
201	200	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo = D )
202		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> n e. C )
203	64	idi 2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
204	14	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( n e. C /\ D e. ( 0 [,] +oo ) ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
205	202, 203, 204	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ n e. C ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
206	205	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> D e. ran ( n e. C |-> D ) )
207	201, 206	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
208	207	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
209		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) /\ -. D e. ( 0 [,) +oo ) ) -> -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) )
210	208, 209	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C ) -> D e. ( 0 [,) +oo ) )
211	210	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> D e. ( 0 [,) +oo ) )
212	193, 211	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ n e. C /\ ( F ` n ) = k ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
213	212	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ( n e. C -> ( ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
214	213	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> ( n e. C -> ( ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
215	181, 182, 214	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> ( E. n e. C ( F ` n ) = k -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
216	179, 215	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
217	169, 170, 176, 216	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
218	168, 217	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC )
219	218	idi 2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " x ) ) -> B e. CC )
220	165, 219	vtoclg 3266	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' F " y ) e. _V -> ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( F " ( `' F " y ) ) ) -> B e. CC ) )
221	150, 160, 220	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
222	101, 109, 36, 110, 125, 149, 221	fsumf1of 39806	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D )
223		sumeq1 14419	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F " y ) -> sum_ n e. x D = sum_ n e. ( `' F " y ) D )
224	223	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( x = ( `' F " y ) -> ( sum_ k e. y B = sum_ n e. x D <-> sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D ) )
225	224	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' F " y ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ sum_ k e. y B = sum_ n e. ( `' F " y ) D ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) sum_ k e. y B = sum_ n e. x D )
226	97, 222, 225	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. x e. ( ~P C i^i Fin ) sum_ k e. y B = sum_ n e. x D )
227	71, 226	rnmptssrn 39368	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) )
228		sumex 14418	. . . . . . 7 |- sum_ n e. x D e. _V
229	228	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ n e. x D e. _V )
230	6, 172	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F " x ) e. _V )
231		elpwg 4166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F " x ) e. _V -> ( ( F " x ) e. ~P A <-> ( F " x ) C_ A ) )
232	230, 231	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( F " x ) e. ~P A <-> ( F " x ) C_ A ) )
233	172, 232	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F " x ) e. ~P A )
234	233	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ~P A )
235		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : C --> A -> Fun F )
236	23, 235	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun F )
237	236	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> Fun F )
238		elinel2 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P C i^i Fin ) -> x e. Fin )
239	238	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
240		imafi 8259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ x e. Fin ) -> ( F " x ) e. Fin )
241	237, 239, 240	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. Fin )
242	234, 241	elind 3798	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
243	242	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) )
244		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ k x e. ( ~P C i^i Fin )
245	99, 244	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) )
246		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ n x e. ( ~P C i^i Fin )
247	107, 246	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) )
248	238	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
249	112	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> F : C -1-1-> A )
250		f1ores 6151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : C -1-1-> A /\ x C_ C ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
251	249, 143, 250	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
252	251	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x -1-1-onto-> ( F " x ) )
253	146	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) /\ n e. x ) -> ( ( F |` x ) ` n ) = G )
254	245, 247, 36, 248, 252, 253, 218	fsumf1of 39806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ k e. ( F " x ) B = sum_ n e. x D )
255	254	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B )
256		sumeq1 14419	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F " x ) -> sum_ k e. y B = sum_ k e. ( F " x ) B )
257	256	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F " x ) -> ( sum_ n e. x D = sum_ k e. y B <-> sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B ) )
258	257	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( F " x ) e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ n e. x D = sum_ k e. ( F " x ) B ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ n e. x D = sum_ k e. y B )
259	243, 255, 258	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) /\ x e. ( ~P C i^i Fin ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ n e. x D = sum_ k e. y B )
260	229, 259	rnmptssrn 39368	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) C_ ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) )
261	227, 260	eqssd 3620	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) = ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) )
262	261	supeq1d 8352	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) , RR* , < ) )
263	6	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> A e. _V )
264	99, 263, 216	sge0revalmpt 40595	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
265	1	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> C e. V )
266	107, 265, 210	sge0revalmpt 40595	. . 3 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P C i^i Fin ) |-> sum_ n e. x D ) , RR* , < ) )
267	262, 264, 266	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ -. +oo e. ran ( n e. C |-> D ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )
268	69, 267	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( n e. C |-> D ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0resrnlem  40620  sge0fodjrnlem  40633  sge0xp  40646  meadjiunlem  40682  isomenndlem  40744  ovnsubaddlem1  40784