Theorem sge0prle 40618

Description: The sum of a pair of nonnegative extended reals is less than or equal their extended addition. When it is a distinct pair, than equality holds, see sge0pr 40611. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0prle.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0prle.b	|- ( ph -> B e. W )
sge0prle.d	|- ( ph -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0prle.e	|- ( ph -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0prle.cd	|- ( k = A -> C = D )
sge0prle.ce	|- ( k = B -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
sge0prle	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) <_ ( D +e E ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   D, k   k, E   k, V   k, W   ph, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sge0prle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq1 4268	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { A , B } = { B , B } )
2		dfsn2 4190	. . . . . . . . . 10 |- { B } = { B , B }
3	2	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- { B , B } = { B }
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( A = B -> { B , B } = { B } )
5	1, 4	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( A = B -> { A , B } = { B } )
6	5	mpteq1d 4738	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( k e. { A , B } |-> C ) = ( k e. { B } |-> C ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( A = B -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. { B } |-> C ) ) )
8	7	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) = (Σ^ ` ( k e. { B } |-> C ) ) )
9		sge0prle.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
10		sge0prle.e	. . . . . 6 |- ( ph -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
11		sge0prle.ce	. . . . . 6 |- ( k = B -> C = E )
12	9, 10, 11	sge0snmpt 40600	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. { B } |-> C ) ) = E )
13	12	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ A = B ) -> (Σ^ ` ( k e. { B } |-> C ) ) = E )
14	8, 13	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) = E )
15		iccssxr 12256	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
16	15, 10	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR* )
17	16	xaddid2d 39535	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 +e E ) = E )
18	17	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> E = ( 0 +e E ) )
19		0xr 10086	. . . . . . 7 |- 0 e. RR*
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 e. RR* )
21		sge0prle.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
22	15, 21	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. RR* )
23		pnfxr 10092	. . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> +oo e. RR* )
25		iccgelb 12230	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. ( 0 [,] +oo ) ) -> 0 <_ D )
26	20, 24, 21, 25	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ D )
27	20, 22, 16, 26	xleadd1d 39545	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 +e E ) <_ ( D +e E ) )
28	18, 27	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> E <_ ( D +e E ) )
29	28	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A = B ) -> E <_ ( D +e E ) )
30	14, 29	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ A = B ) -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) <_ ( D +e E ) )
31		sge0prle.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
32	31	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> A e. V )
33	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> B e. W )
34	21	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> D e. ( 0 [,] +oo ) )
35	10	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> E e. ( 0 [,] +oo ) )
36		sge0prle.cd	. . . 4 |- ( k = A -> C = D )
37		neqne 2802	. . . . 5 |- ( -. A = B -> A =/= B )
38	37	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> A =/= B )
39	32, 33, 34, 35, 36, 11, 38	sge0pr 40611	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) = ( D +e E ) )
40	22, 16	xaddcld 12131	. . . . 5 |- ( ph -> ( D +e E ) e. RR* )
41		xrleid 11983	. . . . 5 |- ( ( D +e E ) e. RR* -> ( D +e E ) <_ ( D +e E ) )
42	40, 41	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( D +e E ) <_ ( D +e E ) )
43	42	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> ( D +e E ) <_ ( D +e E ) )
44	39, 43	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ -. A = B ) -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) <_ ( D +e E ) )
45	30, 44	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. { A , B } |-> C ) ) <_ ( D +e E ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  omeunle  40730