Theorem sge0ltfirp 40617

Description: If the sum of nonnegative extended reals is real, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirp.x	|- ( ph -> X e. V )
sge0ltfirp.f	|- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
sge0ltfirp.y	|- ( ph -> Y e. RR+ )
sge0ltfirp.re	|- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirp	|- ( ph -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, X   x, Y   ph, x

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem sge0ltfirp

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirp.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,] +oo ) )
2		sge0ltfirp.x	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
3		sge0ltfirp.re	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) e. RR )
4	2, 1, 3	sge0rern 40605	. . . . 5 |- ( ph -> -. +oo e. ran F )
5	1, 4	fge0iccico 40587	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
6	5	sge0rnre 40581	. . 3 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) C_ RR )
7		sge0rnn0 40585	. . . 4 |- ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) =/= (/)
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) =/= (/) )
9	2, 1, 3	sge0rnbnd 40610	. . 3 |- ( ph -> E. z e. RR A. w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) w <_ z )
10		sge0ltfirp.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. RR+ )
11	6, 8, 9, 10	suprltrp 39544	. 2 |- ( ph -> E. w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w )
12		nfv 1843	. . 3 |- F/ w ph
13		nfv 1843	. . 3 |- F/ w E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y )
14		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w ) -> ph )
15		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- w e. _V
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) = ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
17	16	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) <-> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ y e. x ( F ` y ) )
19	18	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ y e. x ( F ` y ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ y e. x ( F ` y ) )
21		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
22	21	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) )
23		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x RR
24		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x <
25	22, 23, 24	nfsup 8357	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < )
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x -
27		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x Y
28	25, 26, 27	nfov 6676	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y )
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x w
30	28, 24, 29	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w
31		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w /\ w = sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w )
32		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w /\ w = sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> w = sum_ y e. x ( F ` y ) )
33	31, 32	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w /\ w = sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) )
34	33	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w -> ( w = sum_ y e. x ( F ` y ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
35	34	a1d 25	. . . . . . . . 9 |- ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w -> ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> ( w = sum_ y e. x ( F ` y ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) ) )
36	30, 35	reximdai 3012	. . . . . . . 8 |- ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w -> ( E. x e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ y e. x ( F ` y ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w ) -> ( E. x e. ( ~P X i^i Fin ) w = sum_ y e. x ( F ` y ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) )
38	20, 37	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) )
39	38	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) )
40		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) )
41	2, 1, 3	sge0supre 40606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (Σ^ ` F ) = sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) )
42	41	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( (Σ^ ` F ) - Y ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( (Σ^ ` F ) - Y ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) )
45	43, 44	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) )
47		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) )
48	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` F ) e. RR )
49	10	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y e. RR )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> Y e. RR )
51		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x e. Fin )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
53		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
54	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> F : X --> ( 0 [,) +oo ) )
56		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( ~P X i^i Fin ) -> x C_ X )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> x C_ X )
58	57	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> y e. X )
59	55, 58	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
60	53, 59	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ y e. x ) -> ( F ` y ) e. RR )
61	52, 60	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( F ` y ) e. RR )
62	48, 50, 61	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) <-> (Σ^ ` F ) < ( sum_ y e. x ( F ` y ) + Y ) ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) <-> (Σ^ ` F ) < ( sum_ y e. x ( F ` y ) + Y ) ) )
64	47, 63	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> (Σ^ ` F ) < ( sum_ y e. x ( F ` y ) + Y ) )
65	54, 57	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( F |` x ) : x --> ( 0 [,) +oo ) )
66	52, 65	sge0fsum 40604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( F |` x ) ) = sum_ y e. x ( ( F |` x ) ` y ) )
67		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. x -> ( ( F |` x ) ` y ) = ( F ` y ) )
68	67	sumeq2i 14429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sum_ y e. x ( ( F |` x ) ` y ) = sum_ y e. x ( F ` y )
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( ( F |` x ) ` y ) = sum_ y e. x ( F ` y ) )
70	66, 69	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> sum_ y e. x ( F ` y ) = (Σ^ ` ( F |` x ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( sum_ y e. x ( F ` y ) + Y ) = ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( sum_ y e. x ( F ` y ) + Y ) = ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )
73	64, 72	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( (Σ^ ` F ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )
74	40, 46, 73	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )
75	74	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P X i^i Fin ) ) -> ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) -> (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) ) )
76	75	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) ) )
77	76	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E. x e. ( ~P X i^i Fin ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )
78	14, 39, 77	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) /\ ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w ) -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )
79	78	3exp 1264	. . 3 |- ( ph -> ( w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) -> ( ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) ) ) )
80	12, 13, 79	rexlimd 3026	. 2 |- ( ph -> ( E. w e. ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) ( sup ( ran ( x e. ( ~P X i^i Fin ) |-> sum_ y e. x ( F ` y ) ) , RR , < ) - Y ) < w -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) ) )
81	11, 80	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. ( ~P X i^i Fin ) (Σ^ ` F ) < ( (Σ^ ` ( F |` x ) ) + Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0ltfirpmpt  40625  sge0ltfirpmpt2  40643