Theorem smflimlem4 40982

Description: Lemma for the proof that the limit of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves one-side of the double inclusion for the proof that the preimages of right-closed, unbounded-below intervals are in the subspace sigma-algebra induced by D. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smflimlem4.1	|- ( ph -> M e. ZZ )
smflimlem4.2	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smflimlem4.3	|- ( ph -> S e. SAlg )
smflimlem4.4	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smflimlem4.5	|- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
smflimlem4.6	|- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
smflimlem4.7	|- ( ph -> A e. RR )
smflimlem4.8	|- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
smflimlem4.9	|- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
smflimlem4.10	|- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
smflimlem4.11	|- ( ( ph /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )

Assertion

Ref	Expression
smflimlem4	|- ( ph -> ( D i^i I ) C_ { x e. D | ( G ` x ) <_ A } )

Distinct variable groups:   x, k, A, m   A, s   k, m, s   x, A, m   C, k, m, s   C, r, k   D, k, m, n, x   D, r, x   k, F, m, n, x   F, s   m, G   k, H, m, n   k, I, m, x   I, r   m, M   P, k, m, s   P, r   S, k, m, s   k, Z, m, n, x   ph, k, m, n, x   ph, r

Allowed substitution hints:   ph( s)   A( n, r)   C( x, n)   D( s)   P( x, n)   S( x, n, r)   F( r)   G( x, k, n, s, r)   H( x, s, r)   I( n, s)   M( x, k, n, s, r)   Z( s, r)

Proof of Theorem smflimlem4

Dummy variables i j z y l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss1 3833	. . 3 |- ( D i^i I ) C_ D
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( D i^i I ) C_ D )
3	2	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) -> x e. D )
4		smflimlem4.6	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) )
6		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m ( ph /\ x e. D )
7		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ m F
8		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ z F
9		smflimlem4.2	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
10		smflimlem4.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. SAlg )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> S e. SAlg )
12		smflimlem4.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
13	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom ( F ` m ) = dom ( F ` m )
15	11, 13, 14	smff 40941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
16	15	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
17		smflimlem4.5	. . . . . . . . . . . 12 |- D = { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) )
20	19	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) e. dom ~~> ) )
21	20	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . 12 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { z e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) e. dom ~~> }
22	17, 21	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- D = { z e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` z ) ) e. dom ~~> }
23		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> x e. D )
24	6, 7, 8, 9, 16, 22, 23	fnlimfvre 39906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. RR )
25	24	elexd 3214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) e. _V )
26	5, 25	fvmpt2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( G ` x ) = ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) )
27	26, 24	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( G ` x ) e. RR )
28	3, 27	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
29	28	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( G ` x ) e. RR )
30		smflimlem4.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR )
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A e. RR )
32		rpre 11839	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR+ -> y e. RR )
33	32	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> y e. RR )
34	31, 33	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A + y ) e. RR )
35	34	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A + y ) e. RR )
36		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ m ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ )
37		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR+ )
38		rpgtrecnn 39597	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / 2 ) e. RR+ -> E. k e. NN ( 1 / k ) < ( y / 2 ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR+ -> E. k e. NN ( 1 / k ) < ( y / 2 ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. k e. NN ( 1 / k ) < ( y / 2 ) )
41	10	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) -> S e. SAlg )
42	13	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
43	42	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) e. (SMblFn ` S ) )
44	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) -> A e. RR )
45	44	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) -> A e. RR )
46		smflimlem4.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
47		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k Z
48		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j Z
49		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) }
50		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k { s e. S | { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) }
51	18	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = z -> ( ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) <-> ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / k ) ) ) )
52	51	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / k ) ) }
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / k ) ) } )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = j -> ( 1 / k ) = ( 1 / j ) )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = j -> ( A + ( 1 / k ) ) = ( A + ( 1 / j ) ) )
56	55	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / k ) ) <-> ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) ) )
57	56	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) } )
58	53, 57	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) } )
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) <-> { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) ) )
60	59	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } = { s e. S | { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
61	47, 48, 49, 50, 60	cbvmpt22 39277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. Z , k e. NN |-> { s e. S | { x e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( 1 / k ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } ) = ( m e. Z , j e. NN |-> { s e. S | { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
62	46, 61	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- P = ( m e. Z , j e. NN |-> { s e. S | { z e. dom ( F ` m ) | ( ( F ` m ) ` z ) < ( A + ( 1 / j ) ) } = ( s i^i dom ( F ` m ) ) } )
63		smflimlem4.9	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) )
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ j ( C ` ( m P k ) )
65		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( C ` ( m P j ) )
66		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( m P k ) = ( m P j ) )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> ( C ` ( m P k ) ) = ( C ` ( m P j ) ) )
68	47, 48, 64, 65, 67	cbvmpt22 39277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. Z , k e. NN |-> ( C ` ( m P k ) ) ) = ( m e. Z , j e. NN |-> ( C ` ( m P j ) ) )
69	63, 68	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( m e. Z , j e. NN |-> ( C ` ( m P j ) ) )
70		smflimlem4.10	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k )
71		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( k = j /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k = j )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k = j /\ n e. Z ) /\ m e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( m H k ) = ( m H j ) )
73	72	iineq2dv 4543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k = j /\ n e. Z ) -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H j ) )
74	73	iuneq2dv 4542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = j -> U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H j ) )
75	74	cbviinv 4560	. . . . . . . . . . . . 13 |- |^|_ k e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H k ) = |^|_ j e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H j )
76	70, 75	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- I = |^|_ j e. NN U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) ( m H j )
77		smflimlem4.11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )
78	77	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )
79	78	ad5ant15 1303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) /\ r e. ran P ) -> ( C ` r ) e. r )
80		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) -> x e. ( D i^i I ) )
81		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) -> k e. NN )
82	37	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
83		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) -> ( 1 / k ) < ( y / 2 ) )
84	9, 41, 43, 22, 45, 62, 69, 76, 79, 80, 81, 82, 83	smflimlem3 40981	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ k e. NN ) /\ ( 1 / k ) < ( y / 2 ) ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( x e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) )
85	84	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( k e. NN -> ( ( 1 / k ) < ( y / 2 ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( x e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) ) )
86	85	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. k e. NN ( 1 / k ) < ( y / 2 ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( x e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) )
87	40, 86	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( x e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) )
88		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ )
89		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i F
90		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x F
91		smflimlem4.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ZZ )
92	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> M e. ZZ )
93		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = i -> ( m e. Z <-> i e. Z ) )
94	93	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = i -> ( ( ph /\ m e. Z ) <-> ( ph /\ i e. Z ) ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = i -> ( F ` m ) = ( F ` i ) )
96	95	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = i -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` i ) )
97	95, 96	feq12d 6033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = i -> ( ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR <-> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR ) )
98	94, 97	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = i -> ( ( ( ph /\ m e. Z ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR ) <-> ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR ) ) )
99	98, 15	chvarv 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR )
100	99	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ i e. Z ) -> ( F ` i ) : dom ( F ` i ) --> RR )
101		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = l -> ( F ` m ) = ( F ` l ) )
102	101	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = l -> dom ( F ` m ) = dom ( F ` l ) )
103	102	cbviinv 4560	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l )
104	103	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. Z -> |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l ) )
105	104	iuneq2i 4539	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = U_ n e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l )
106		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ZZ>= ` n ) = ( ZZ>= ` m ) )
107	106	iineq1d 39267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l ) = |^|_ l e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` l ) )
108		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l = i -> ( F ` l ) = ( F ` i ) )
109	108	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( l = i -> dom ( F ` l ) = dom ( F ` i ) )
110	109	cbviinv 4560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- |^|_ l e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` l ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i )
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> |^|_ l e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` l ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) )
112	107, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l ) = |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) )
113	112	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. Z |^|_ l e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` l ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i )
114	105, 113	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) = U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i )
115	114	rabeqi 3193	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. U_ n e. Z |^|_ m e. ( ZZ>= ` n ) dom ( F ` m ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { x e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> }
116		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = m -> ( F ` i ) = ( F ` m ) )
117	116	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = m -> ( ( F ` i ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
118	117	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) = ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) )
119	118	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) = ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) )
120	119	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) e. dom ~~> )
121	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) -> ( ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> <-> ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) e. dom ~~> ) )
122	121	rabbiia 3185	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) | ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) e. dom ~~> } = { x e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) | ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) e. dom ~~> }
123	17, 115, 122	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 |- D = { x e. U_ m e. Z |^|_ i e. ( ZZ>= ` m ) dom ( F ` i ) | ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) e. dom ~~> }
124	119	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) = ( ~~> ` ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) )
125	124	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D |-> ( ~~> ` ( m e. Z |-> ( ( F ` m ) ` x ) ) ) ) = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) ) )
126	4, 125	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. D |-> ( ~~> ` ( i e. Z |-> ( ( F ` i ) ` x ) ) ) )
127	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> x e. D )
128	37	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( y / 2 ) e. RR+ )
129	88, 89, 90, 92, 9, 100, 123, 126, 127, 128	fnlimabslt 39911	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) )
130	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( G ` x ) e. RR )
131		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( ( F ` i ) ` x ) e. RR )
132	130, 131	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) e. RR )
133	132	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) e. RR )
134	132	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) e. CC )
135	134	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) ) e. RR )
136	135	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) ) e. RR )
137	32	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. RR+ -> ( y / 2 ) e. RR )
138	137	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
139	133	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) <_ ( abs ` ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) ) )
140	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( G ` x ) e. CC )
142		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR -> ( ( F ` i ) ` x ) e. CC )
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( ( F ` i ) ` x ) e. CC )
144	141, 143	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) e. RR ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
145	144	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) )
146		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) )
147	145, 146	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) ) < ( y / 2 ) )
148	147	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( abs ` ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) ) < ( y / 2 ) )
149	133, 136, 138, 139, 148	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) < ( y / 2 ) )
150	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
151		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( ( F ` i ) ` x ) e. RR )
152	150, 151, 138	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( ( ( G ` x ) - ( ( F ` i ) ` x ) ) < ( y / 2 ) <-> ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
153	149, 152	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) ) -> ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) )
154	153	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
155	154	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) -> ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
156	155	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
157	156	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( m e. Z -> ( A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) -> A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) ) )
158	36, 157	reximdai 3012	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( ( ( F ` i ) ` x ) e. RR /\ ( abs ` ( ( ( F ` i ) ` x ) - ( G ` x ) ) ) < ( y / 2 ) ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
159	129, 158	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. m e. Z A. i e. ( ZZ>= ` m ) ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) )
160	116	dmeqd 5326	. . . . . . . . . 10 |- ( i = m -> dom ( F ` i ) = dom ( F ` m ) )
161	160	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( i = m -> ( x e. dom ( F ` i ) <-> x e. dom ( F ` m ) ) )
162	117	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( i = m -> ( ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) <-> ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) )
163	161, 162	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> ( ( x e. dom ( F ` i ) /\ ( ( F ` i ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) <-> ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) )
164	117	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( i = m -> ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) = ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) )
165	164	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> ( ( G ` x ) < ( ( ( F ` i ) ` x ) + ( y / 2 ) ) <-> ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
166	36, 9, 87, 159, 163, 165	rexanuz3 39275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. m e. Z ( ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
167		df-3an 1039	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) <-> ( ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) )
168		3ancomb 1047	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) <-> ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) )
169	167, 168	bitr3i 266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) <-> ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) )
170	169	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. m e. Z ( ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) ) <-> E. m e. Z ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) )
171	166, 170	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. m e. Z ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) )
172	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( G ` x ) e. RR )
173	15	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> ( F ` m ) : dom ( F ` m ) --> RR )
174		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> x e. dom ( F ` m ) )
175	173, 174	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. Z /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR )
176	175	ad4ant134 1296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR )
177		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> y e. RR+ )
178	177, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
179	176, 178	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) e. RR )
180	179	adantlllr 39199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ x e. dom ( F ` m ) ) -> ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) e. RR )
181	180	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) e. RR )
182		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> ( y / 2 ) e. RR )
183	33, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 2 ) e. RR )
184	31, 183	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A e. RR /\ ( y / 2 ) e. RR ) )
185		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ ( y / 2 ) e. RR ) -> ( A + ( y / 2 ) ) e. RR )
186	184, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A + ( y / 2 ) ) e. RR )
187	186, 183	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) e. RR )
188	187	ad5ant13 1301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) e. RR )
189		simpr2 1068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) )
190	176	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. RR )
191	186	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( A + ( y / 2 ) ) e. RR )
192	178	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( y / 2 ) e. RR )
193		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) )
194	190, 191, 192, 193	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) < ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) )
195	194	adantlllr 39199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) < ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) )
196	195	3adantr2 1221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) < ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) )
197	172, 181, 188, 189, 196	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( G ` x ) < ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) )
198	31	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> A e. CC )
199	183	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( y / 2 ) e. CC )
200	198, 199, 199	addassd 10062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) = ( A + ( ( y / 2 ) + ( y / 2 ) ) ) )
201	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR+ -> y e. CC )
202		2halves 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. CC -> ( ( y / 2 ) + ( y / 2 ) ) = y )
203	201, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR+ -> ( ( y / 2 ) + ( y / 2 ) ) = y )
204	203	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR+ -> ( A + ( ( y / 2 ) + ( y / 2 ) ) ) = ( A + y ) )
205	204	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( A + ( ( y / 2 ) + ( y / 2 ) ) ) = ( A + y ) )
206	200, 205	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) = ( A + y ) )
207	206	ad5ant13 1301	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( ( A + ( y / 2 ) ) + ( y / 2 ) ) = ( A + y ) )
208	197, 207	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) /\ m e. Z ) /\ ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) ) -> ( G ` x ) < ( A + y ) )
209	208	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( m e. Z -> ( ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) -> ( G ` x ) < ( A + y ) ) ) )
210	209	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. m e. Z ( x e. dom ( F ` m ) /\ ( G ` x ) < ( ( ( F ` m ) ` x ) + ( y / 2 ) ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) < ( A + ( y / 2 ) ) ) -> ( G ` x ) < ( A + y ) ) )
211	171, 210	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( G ` x ) < ( A + y ) )
212	29, 35, 211	ltled 10185	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( G ` x ) <_ ( A + y ) )
213	212	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) -> A. y e. RR+ ( G ` x ) <_ ( A + y ) )
214		alrple 12037	. . . 4 |- ( ( ( G ` x ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( G ` x ) <_ A <-> A. y e. RR+ ( G ` x ) <_ ( A + y ) ) )
215	28, 44, 214	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) -> ( ( G ` x ) <_ A <-> A. y e. RR+ ( G ` x ) <_ ( A + y ) ) )
216	213, 215	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( D i^i I ) ) -> ( G ` x ) <_ A )
217	2, 216	ssrabdv 3681	1 |- ( ph -> ( D i^i I ) C_ { x e. D | ( G ` x ) <_ A } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U_ciun 4520   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   abscabs 13974   ~~> cli 14215  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smflimlem5  40983