Theorem bpoly4 14790

Description: The Bernoulli polynomials at four. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly4	|- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Proof of Theorem bpoly4

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn0 11311	. . 3 |- 4 e. NN0
2		bpolyval 14780	. . 3 |- ( ( 4 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 706	. 2 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) )
4		4m1e3 11138	. . . . . . 7 |- ( 4 - 1 ) = 3
5		df-3 11080	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
6	4, 5	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( 4 - 1 ) = ( 2 + 1 )
7	6	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
8	7	sumeq1i 14428	. . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
9		2eluzge0 11733	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 0 )
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> 2 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. ZZ )
12		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
13	1, 11, 12	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. NN0 )
14	13	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 4 _C k ) e. CC )
16		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. NN0 )
17		bpolycl 14783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
18	16, 17	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) /\ X e. CC ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
19	18	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( k BernPoly X ) e. CC )
20		4re 11097	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. RR
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 4 e. RR )
22	11	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k e. RR )
23	21, 22	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( 4 - k ) e. RR )
24		peano2re 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - k ) e. RR -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. RR )
26	25	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
27	26	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) e. CC )
28		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 1 e. RR )
29	5	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
30	29	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) <-> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
31		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. ZZ )
32	31	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. RR )
33		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 e. RR )
35	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 4 e. RR )
36		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k <_ 3 )
37		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 < 4
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> 3 < 4 )
39	32, 34, 35, 36, 38	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k < 4 )
40	30, 39	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> k < 4 )
41	22, 21	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( k < 4 <-> 0 < ( 4 - k ) ) )
42	40, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( 4 - k ) )
43		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 1
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < 1 )
45	23, 28, 42, 44	addgt0d 10602	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> 0 < ( ( 4 - k ) + 1 ) )
46	45	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 - k ) + 1 ) =/= 0 )
48	19, 27, 47	divcld 10801	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) e. CC )
49	15, 48	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
50	5	eqeq2i 2634	. . . . . . 7 |- ( k = 3 <-> k = ( 2 + 1 ) )
51		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 3 ) )
52		4bc3eq4 13115	. . . . . . . . 9 |- ( 4 _C 3 ) = 4
53	51, 52	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( 4 _C k ) = 4 )
54		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( k BernPoly X ) = ( 3 BernPoly X ) )
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 3 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 3 ) )
56	55	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 3 ) + 1 ) )
57		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
58		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. CC
59		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
60		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 + 1 ) = 4
61	57, 58, 59, 60	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 - 3 ) = 1
62	61	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = ( 1 + 1 )
63		df-2 11079	. . . . . . . . . . 11 |- 2 = ( 1 + 1 )
64	62, 63	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 - 3 ) + 1 ) = 2
65	56, 64	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 2 )
66	54, 65	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) )
67	53, 66	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = 3 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
68	50, 67	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( k = ( 2 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) )
69	10, 49, 68	fsump1 14487	. . . . 5 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) )
70	63	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 2 ) = ( 0 ... ( 1 + 1 ) )
71	70	sumeq1i 14428	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
72		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
74		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
75	63	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 + 1 ) = ( ( 1 + 1 ) + 1 )
76	75	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... ( ( 1 + 1 ) + 1 ) )
77	74, 76	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
78	77	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
79	78, 49	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
80	63	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 <-> k = ( 1 + 1 ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 2 ) )
82		4bc2eq6 13116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 _C 2 ) = 6
83	81, 82	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( 4 _C k ) = 6 )
84		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( k BernPoly X ) = ( 2 BernPoly X ) )
85		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 2 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 2 ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 2 ) + 1 ) )
87		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
88		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 2 ) = 4
89	57, 87, 87, 88	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 - 2 ) = 2
90	89	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = ( 2 + 1 )
91	90, 5	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 4 - 2 ) + 1 ) = 3
92	86, 91	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 3 )
93	84, 92	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) )
94	83, 93	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
95	80, 94	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( 1 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) )
96	73, 79, 95	fsump1 14487	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) )
97		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
98	97	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
99	98	sumeq1i 14428	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) )
100		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. NN0
101		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
102	100, 101	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
104		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN
105		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
106	104, 105	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. ( ZZ>= ` 1 )
107		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 ) )
108	106, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... 1 ) C_ ( 0 ... 3 )
109		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 1 ) = 3
110	109	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) = ( 0 ... 3 )
111	108, 98, 110	3sstr4i 3644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( 2 + 1 ) )
112	111	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) )
113	112, 49	sylan2 491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
114	97	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( 0 + 1 ) <-> k = 1 )
115		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 1 ) )
116		bcn1 13100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 1 ) = 4 )
117	1, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 _C 1 ) = 4
118	115, 117	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( 4 _C k ) = 4 )
119		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( k BernPoly X ) = ( 1 BernPoly X ) )
120		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 1 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 1 ) )
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 1 ) + 1 ) )
122	4	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = ( 3 + 1 )
123		df-4 11081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 4 = ( 3 + 1 )
124	122, 123	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 4 - 1 ) + 1 ) = 4
125	121, 124	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 4 )
126	119, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) )
127	118, 126	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
128	114, 127	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 0 + 1 ) -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) )
129	103, 113, 128	fsump1 14487	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) )
130		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. ZZ
131	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> 1 e. CC )
132		bpolycl 14783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
133	100, 132	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) e. CC )
134		5cn 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 e. CC
135	134	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 e. CC )
136		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. RR
137		5pos 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 5
138	136, 137	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 5 =/= 0
139	138	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> 5 =/= 0 )
140	133, 135, 139	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) e. CC )
141	131, 140	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC )
142		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = ( 4 _C 0 ) )
143		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. NN0 -> ( 4 _C 0 ) = 1 )
144	1, 143	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 _C 0 ) = 1
145	142, 144	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( 4 _C k ) = 1 )
146		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
147		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( 4 - k ) = ( 4 - 0 ) )
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = ( ( 4 - 0 ) + 1 ) )
149	57	subid1i 10353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 4 - 0 ) = 4
150	149	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = ( 4 + 1 )
151		4p1e5 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 + 1 ) = 5
152	150, 151	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 4 - 0 ) + 1 ) = 5
153	148, 152	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = 0 -> ( ( 4 - k ) + 1 ) = 5 )
154	146, 153	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) )
155	145, 154	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 0 -> ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
156	155	fsum1 14476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
157	130, 141, 156	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) )
158		bpoly0 14781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
159	158	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) = ( 1 / 5 ) )
160	159	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) )
161	134, 138	reccli 10755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 5 ) e. CC
162	161	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 x. ( 1 / 5 ) ) = ( 1 / 5 )
163	160, 162	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 5 ) ) = ( 1 / 5 ) )
164	157, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 5 ) )
165		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
166		bpolycl 14783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
167	165, 166	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) e. CC )
168		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 4 e. NN0 -> 4 e. CC )
169	1, 168	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 e. CC )
170		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 4 =/= 0
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> 4 =/= 0 )
172	167, 169, 171	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( 1 BernPoly X ) )
173		bpoly1 14782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
174	172, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
175	164, 174	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 4 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
176	129, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
177	99, 176	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
178		6cn 11102	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. CC
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 6 e. CC )
180		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN0
181		bpolycl 14783	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
182	180, 181	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
183	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 e. CC )
184		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 =/= 0
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 3 =/= 0 )
186	179, 182, 183, 185	div12d 10837	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) )
187		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 x. 2 ) = 6
188	178, 58, 87, 184	divmuli 10779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 / 3 ) = 2 <-> ( 3 x. 2 ) = 6 )
189	187, 188	mpbir 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 / 3 ) = 2
190	189	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 )
191	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> 2 e. CC )
192	182, 191	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) )
193		bpoly2 14788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 2 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
195	192, 194	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
196	190, 195	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 6 / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
197	186, 196	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
198	177, 197	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 6 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
199	96, 198	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
200	71, 199	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) )
201		3nn0 11310	. . . . . . . . 9 |- 3 e. NN0
202		bpolycl 14783	. . . . . . . . 9 |- ( ( 3 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
203	201, 202	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) e. CC )
204		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 |- 2 =/= 0
205	204	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> 2 =/= 0 )
206	169, 203, 191, 205	div12d 10837	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) )
207		4d2e2 11184	. . . . . . . . 9 |- ( 4 / 2 ) = 2
208	207	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 )
209	203, 191	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) )
210		bpoly3 14789	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
211	210	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 3 BernPoly X ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
212	209, 211	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. 2 ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
213	208, 212	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 3 BernPoly X ) x. ( 4 / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
214	206, 213	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
215	200, 214	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 2 ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) + ( 4 x. ( ( 3 BernPoly X ) / 2 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
216	69, 215	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 2 + 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
217	8, 216	syl5eq 2668	. . 3 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) )
218	217	oveq2d 6666	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 4 - 1 ) ) ( ( 4 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 4 - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) )
219		expcl 12878	. . . . 5 |- ( ( X e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> ( X ^ 4 ) e. CC )
220	1, 219	mpan2 707	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( X ^ 4 ) e. CC )
221		expcl 12878	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( X ^ 3 ) e. CC )
222	201, 221	mpan2 707	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 3 ) e. CC )
223	191, 222	mulcld 10060	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) e. CC )
224		sqcl 12925	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( X ^ 2 ) e. CC )
225	201, 100	deccl 11512	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 e. NN0
226	225	nn0cni 11304	. . . . . . 7 |- ; 3 0 e. CC
227		dfdec10 11497	. . . . . . . . 9 |- ; 3 0 = ( (; 1 0 x. 3 ) + 0 )
228		10re 11517	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 1 0 e. RR
229	228	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ; 1 0 e. CC
230	229, 58	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10 |- (; 1 0 x. 3 ) e. CC
231	230	addid1i 10223	. . . . . . . . 9 |- ( (; 1 0 x. 3 ) + 0 ) = (; 1 0 x. 3 )
232	227, 231	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ; 3 0 = (; 1 0 x. 3 )
233		10pos 11515	. . . . . . . . . 10 |- 0 < ; 1 0
234	136, 233	gtneii 10149	. . . . . . . . 9 |- ; 1 0 =/= 0
235	229, 58, 234, 184	mulne0i 10670	. . . . . . . 8 |- (; 1 0 x. 3 ) =/= 0
236	232, 235	eqnetri 2864	. . . . . . 7 |- ; 3 0 =/= 0
237	226, 236	reccli 10755	. . . . . 6 |- ( 1 / ; 3 0 ) e. CC
238	237	a1i 11	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( 1 / ; 3 0 ) e. CC )
239	224, 238	subcld 10392	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) e. CC )
240	220, 223, 239	subsubd 10420	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
241	161	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 1 / 5 ) e. CC )
242		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> X e. CC )
243	87, 204	reccli 10755	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 2 ) e. CC
244	243	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
245	242, 244	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
246	241, 245	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
247	224, 242	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - X ) e. CC )
248		6pos 11119	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 6
249	136, 248	gtneii 10149	. . . . . . . . . . 11 |- 6 =/= 0
250	178, 249	reccli 10755	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 / 6 ) e. CC
251	250	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 / 6 ) e. CC )
252	247, 251	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) e. CC )
253	191, 252	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) e. CC )
254	246, 253	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) e. CC )
255	58, 87, 204	divcli 10767	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 / 2 ) e. CC
256	255	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 / 2 ) e. CC )
257	256, 224	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
258	222, 257	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
259	244, 242	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. X ) e. CC )
260	258, 259	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) e. CC )
261	191, 260	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) e. CC )
262	254, 261	addcomd 10238	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
263	191, 258, 259	adddid 10064	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
264	191, 222, 257	subdid 10486	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) )
265	87, 204	recidi 10756	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
266	265	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 1 x. X )
267	191, 244, 242	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) x. X ) = ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
268		mulid2 10038	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 1 x. X ) = X )
269	266, 267, 268	3eqtr3a 2680	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) = X )
270	264, 269	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
271	263, 270	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) )
272	271	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
273	191, 257	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) e. CC )
274	223, 273	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
275	274, 242, 254	addassd 10062	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
276	242, 254	addcld 10059	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) e. CC )
277	223, 273, 276	subsubd 10420	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
278	58, 87, 204	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) = 3
279	278	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) )
280	191, 256, 224	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( 3 / 2 ) ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) )
281	279, 280	syl5reqr 2671	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) )
282	281	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) )
283	242, 246, 253	add12d 10262	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
284	191, 247, 251	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) )
285	191, 224, 242	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) )
286	187	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 2 / 6 )
287	58, 184	reccli 10755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 3 ) e. CC
288	58, 87, 287	mul32i 10232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 )
289	58, 184	recidi 10756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) = 1
290	289	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = ( 1 x. 2 )
291	87	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 x. 2 ) = 2
292	290, 291	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 3 x. ( 1 / 3 ) ) x. 2 ) = 2
293	288, 292	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2
294	187, 178	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) e. CC
295	187, 249	eqnetri 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. 2 ) =/= 0
296	87, 294, 287, 295	divmuli 10779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 ) <-> ( ( 3 x. 2 ) x. ( 1 / 3 ) ) = 2 )
297	293, 296	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / ( 3 x. 2 ) ) = ( 1 / 3 )
298	87, 178, 249	divreci 10770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 / 6 ) = ( 2 x. ( 1 / 6 ) )
299	286, 297, 298	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 )
300	299	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / 3 ) )
301	285, 300	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( X ^ 2 ) - X ) ) + ( 2 x. ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
302	284, 301	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
303	302	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
304	191, 224	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
305	191, 242	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( 2 x. X ) e. CC )
306	304, 305	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) e. CC )
307	287	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 / 3 ) e. CC )
308	242, 306, 307	addassd 10062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( X + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
309	242, 304, 305	addsub12d 10415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
310	309	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
311	303, 308, 310	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
312	311	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( X + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
313	283, 312	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
314	313	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
315	242, 305	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X - ( 2 x. X ) ) e. CC )
316	304, 315	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
317	241, 245, 316, 307	add4d 10264	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
318	241, 304, 315	add12d 10262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) )
319	318	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
320	241, 315	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) e. CC )
321	245, 307	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) e. CC )
322	304, 320, 321	addassd 10062	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
323	317, 319, 322	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) )
324	323	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
325	183, 224	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
326	320, 321	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) e. CC )
327	325, 304, 326	subsub4d 10423	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) ) )
328	58, 87, 59, 109	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 - 2 ) = 1
329	328	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( X ^ 2 ) )
330	183, 191, 224	subdird 10487	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 - 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) = ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) )
331	224	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( X ^ 2 ) ) = ( X ^ 2 ) )
332	329, 330, 331	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) = ( X ^ 2 ) )
333	241, 305, 242	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) )
334		2txmxeqx 11149	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. X ) - X ) = X )
335	334	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - ( ( 2 x. X ) - X ) ) = ( ( 1 / 5 ) - X ) )
336	241, 305, 242	subadd23d 10414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - ( 2 x. X ) ) + X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
337	333, 335, 336	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 5 ) - X ) = ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) )
338	242, 244, 307	subsubd 10420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) )
339	337, 338	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) )
340	243, 287	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC
341	340	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) e. CC )
342	241, 242, 341	npncand 10416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) )
343		halfthird 11685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) = ( 1 / 6 )
344	343	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) )
345		5recm6rec 11686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 5 ) - ( 1 / 6 ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
346	344, 345	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 / 5 ) - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 )
347	342, 346	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) - X ) + ( X - ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
348	339, 347	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) = ( 1 / ; 3 0 ) )
349	332, 348	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( ( X - ( 1 / 2 ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
350	324, 327, 349	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 3 x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 2 x. ( X ^ 2 ) ) + ( X - ( 2 x. X ) ) ) + ( 1 / 3 ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
351	282, 314, 350	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
352	351	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) - ( X + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
353	275, 277, 352	3eqtr2d 2662	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( 2 x. ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) ) + X ) + ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
354	262, 272, 353	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
355	354	oveq2d 6666	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( X ^ 4 ) - ( ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) - ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) ) )
356	220, 223	subcld 10392	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) e. CC )
357	356, 224, 238	addsubassd 10412	. . 3 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) = ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( ( X ^ 2 ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) ) )
358	240, 355, 357	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 4 ) - ( ( ( ( 1 / 5 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) ) ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )
359	3, 218, 358	3eqtrd 2660	1 |- ( X e. CC -> ( 4 BernPoly X ) = ( ( ( ( X ^ 4 ) - ( 2 x. ( X ^ 3 ) ) ) + ( X ^ 2 ) ) - ( 1 / ; 3 0 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   _C cbc 13089   sum_csu 14416   BernPoly cbp 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-bpoly 14778

This theorem is referenced by:  fsumcube  14791