Theorem ftalem5 24803

Description: Lemma for fta 24806: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 24801 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let K be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let T be a K-th root of -u F ( 0 ) / A ( K ). Then an evaluation of F ( T X ) where X is a sufficiently small positive number yields F ( 0 ) for the first term and -u F ( 0 ) x. X ^ K for the K-th term, and all higher terms are bounded because X is small. Thus, abs ( F ( T X ) ) <_ abs ( F ( 0 ) ) ( 1 - X ^ K ) < abs ( F ( 0 ) ), in contradiction to our choice of F ( 0 ) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	|- A = (coeff ` F )
ftalem.2	|- N = (deg ` F )
ftalem.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
ftalem.4	|- ( ph -> N e. NN )
ftalem4.5	|- ( ph -> ( F ` 0 ) =/= 0 )
ftalem4.6	|- K = inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < )
ftalem4.7	|- T = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) )
ftalem4.8	|- U = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
ftalem4.9	|- X = if ( 1 <_ U , 1 , U )

Assertion

Ref	Expression
ftalem5	|- ( ph -> E. x e. CC ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, A   k, K, n   k, N, n, x   k, F, n, x   ph, k, x   S, k   T, k, x   x, U   k, X, n, x

Allowed substitution hints:   ph( n)   S( x, n)   T( n)   U( k, n)   K( x)

Proof of Theorem ftalem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem.1	. . . . . 6 |- A = (coeff ` F )
2		ftalem.2	. . . . . 6 |- N = (deg ` F )
3		ftalem.3	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
4		ftalem.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
5		ftalem4.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) =/= 0 )
6		ftalem4.6	. . . . . 6 |- K = inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < )
7		ftalem4.7	. . . . . 6 |- T = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) )
8		ftalem4.8	. . . . . 6 |- U = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
9		ftalem4.9	. . . . . 6 |- X = if ( 1 <_ U , 1 , U )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ftalem4 24802	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) /\ ( T e. CC /\ U e. RR+ /\ X e. RR+ ) ) )
11	10	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> ( T e. CC /\ U e. RR+ /\ X e. RR+ ) )
12	11	simp1d 1073	. . 3 |- ( ph -> T e. CC )
13	11	simp3d 1075	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR+ )
14	13	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> X e. RR )
15	14	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> X e. CC )
16	12, 15	mulcld 10060	. 2 |- ( ph -> ( T x. X ) e. CC )
17		plyf 23954	. . . . . 6 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
18	3, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F : CC --> CC )
19	18, 16	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( T x. X ) ) e. CC )
20	19	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) e. RR )
21		0cn 10032	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
22		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( F : CC --> CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) e. CC )
23	18, 21, 22	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. CC )
24	23	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. RR )
25	10	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) )
26	25	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. NN )
27	26	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN0 )
28	14, 27	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ^ K ) e. RR )
29	24, 28	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) e. RR )
30	24, 29	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) e. RR )
31		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) ... N ) e. Fin )
32		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
33	27, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
34		elfzuz 12338	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
35		eluznn0 11757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
36	33, 34, 35	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN0 )
37	1	coef3 23988	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC )
38	3, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
39		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
40	38, 39	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
41	36, 40	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
42	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( T x. X ) e. CC )
43	42, 36	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
44	41, 43	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
45	31, 44	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
46	45	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) e. RR )
47	30, 46	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) e. RR )
48		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... K ) e. Fin )
49		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... K ) -> k e. NN0 )
50	38, 49, 39	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
51		expcl 12878	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T x. X ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
52	16, 49, 51	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
53	50, 52	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
54	48, 53	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
55	54, 45	abstrid 14195	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
56	1, 2	coeid2 23995	. . . . . . 7 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( T x. X ) e. CC ) -> ( F ` ( T x. X ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) )
57	3, 16, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( T x. X ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) )
58	26	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. RR )
59	58	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K < ( K + 1 ) )
60		fzdisj 12368	. . . . . . . 8 |- ( K < ( K + 1 ) -> ( ( 0 ... K ) i^i ( ( K + 1 ) ... N ) ) = (/) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... K ) i^i ( ( K + 1 ) ... N ) ) = (/) )
62		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ NN
63		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
64	62, 63	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . 11 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 )
65	4	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
66	2, 1	dgreq0 24021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( F = 0p <-> ( A ` N ) = 0 ) )
67	3, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F = 0p <-> ( A ` N ) = 0 ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
69		dgr0 24018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (deg ` 0p ) = 0
70	68, 69	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = 0 )
71	2, 70	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F = 0p -> N = 0 )
72	67, 71	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A ` N ) = 0 -> N = 0 ) )
73	72	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N =/= 0 -> ( A ` N ) =/= 0 ) )
74	65, 73	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` N ) =/= 0 )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
76	75	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = N -> ( ( A ` n ) =/= 0 <-> ( A ` N ) =/= 0 ) )
77	76	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( N e. NN /\ ( A ` N ) =/= 0 ) )
78	4, 74, 77	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
79		infssuzle 11771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) -> inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < ) <_ N )
80	64, 78, 79	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < ) <_ N )
81	6, 80	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
82		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
83	27, 82	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
84	4	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
85		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
86	83, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
87	81, 86	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( 0 ... N ) )
88		fzsplit 12367	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
90		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
91		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
92	38, 91, 39	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
93	16, 91, 51	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
94	92, 93	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
95	61, 89, 90, 94	fsumsplit 14471	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
96	57, 95	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( T x. X ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
97	96	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
98	1	coefv0 24004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( F ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
99	3, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
100	99	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
101	16	exp0d 13002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( T x. X ) ^ 0 ) = 1 )
102	100, 101	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) x. 1 ) )
103	23	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. 1 ) = ( F ` 0 ) )
104	102, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) = ( F ` 0 ) )
105		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
106	105	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... K ) = ( ( 0 + 1 ) ... K )
107	106	sumeq1i 14428	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 1 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) )
108	26, 63	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... K ) -> k e. NN )
110	109	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... K ) -> k e. NN0 )
111	38, 110, 39	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... K ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
112	16, 110, 51	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... K ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
113	111, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... K ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
114		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( A ` k ) = ( A ` K ) )
115		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( ( T x. X ) ^ k ) = ( ( T x. X ) ^ K ) )
116	114, 115	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = K -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) )
117	108, 113, 116	fsumm1 14480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) ) )
118	107, 117	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) ) )
119		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN )
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. NN )
121	120	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. RR )
122	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. RR )
123		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. RR -> ( K - 1 ) e. RR )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. RR )
125		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
127	122	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) < K )
128	121, 124, 122, 126, 127	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < K )
129	121, 122	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k < K <-> -. K <_ k ) )
130	128, 129	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> -. K <_ k )
131		infssuzle 11771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) -> inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < ) <_ k )
132	6, 131	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) -> K <_ k )
133	64, 132	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } -> K <_ k )
134	130, 133	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> -. k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
135		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
136	135	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( ( A ` n ) =/= 0 <-> ( A ` k ) =/= 0 ) )
137	136	elrab3 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( A ` k ) =/= 0 ) )
138	120, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( A ` k ) =/= 0 ) )
139	138	necon2bbid 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) = 0 <-> -. k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) )
140	134, 139	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
141	140	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( 0 x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) )
142	119	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN0 )
143	16, 142, 51	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
144	143	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = 0 )
145	141, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = 0 )
146	145	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) 0 )
147		fzfi 12771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( K - 1 ) ) e. Fin
148	147	olci 406	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... ( K - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( K - 1 ) ) e. Fin )
149		sumz 14453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... ( K - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( K - 1 ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) 0 = 0 )
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) 0 = 0
151	146, 150	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = 0 )
152	12, 15, 27	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T x. X ) ^ K ) = ( ( T ^ K ) x. ( X ^ K ) ) )
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) = ( ( A ` K ) x. ( ( T ^ K ) x. ( X ^ K ) ) ) )
154	38, 27	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ` K ) e. CC )
155	12, 27	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T ^ K ) e. CC )
156	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X ^ K ) e. CC )
157	154, 155, 156	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) x. ( X ^ K ) ) = ( ( A ` K ) x. ( ( T ^ K ) x. ( X ^ K ) ) ) )
158	153, 157	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) = ( ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) x. ( X ^ K ) ) )
159	7	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T ^ K ) = ( ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) ) ^ K )
160	58	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K e. CC )
161	26	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K =/= 0 )
162	160, 161	recid2d 10797	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 / K ) x. K ) = 1 )
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( ( 1 / K ) x. K ) ) = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c 1 ) )
164	25	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A ` K ) =/= 0 )
165	23, 154, 164	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) e. CC )
166	165	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) e. CC )
167	26	nnrecred 11066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 / K ) e. RR )
168	167	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 / K ) e. CC )
169	166, 168, 27	cxpmul2d 24455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( ( 1 / K ) x. K ) ) = ( ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) ) ^ K ) )
170	166	cxp1d 24452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c 1 ) = -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) )
171	163, 169, 170	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) ) ^ K ) = -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) )
172	159, 171	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T ^ K ) = -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) )
173	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) = ( ( A ` K ) x. -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) )
174	154, 165	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) = -u ( ( A ` K ) x. ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) )
175	23, 154, 164	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) = ( F ` 0 ) )
176	175	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( A ` K ) x. ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) = -u ( F ` 0 ) )
177	173, 174, 176	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) = -u ( F ` 0 ) )
178	177	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) x. ( X ^ K ) ) = ( -u ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
179	23, 156	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -u ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
180	158, 178, 179	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
181	151, 180	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) ) = ( 0 + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
182	23, 156	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) e. CC )
183	182	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) e. CC )
184	183	addid2d 10237	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
185	118, 181, 184	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
186	104, 185	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( ( F ` 0 ) + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
187		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( A ` k ) = ( A ` 0 ) )
188		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( T x. X ) ^ k ) = ( ( T x. X ) ^ 0 ) )
189	187, 188	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) )
190	83, 53, 189	fsum1p 14482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
191	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` 0 ) x. 1 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( ( F ` 0 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
192		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
193	23, 192, 156	subdid 10486	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( ( ( F ` 0 ) x. 1 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
194	23, 182	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( ( F ` 0 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
195	191, 193, 194	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( ( F ` 0 ) + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
196	186, 190, 195	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) )
197	196	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) )
198		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
199		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( X ^ K ) e. RR ) -> ( 1 - ( X ^ K ) ) e. RR )
200	198, 28, 199	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 - ( X ^ K ) ) e. RR )
201	200	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( X ^ K ) ) e. CC )
202	23, 201	absmuld 14193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) )
203	13	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ X )
204	11	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. RR+ )
205	204	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. RR )
206		min1 12020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR /\ U e. RR ) -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ 1 )
207	198, 205, 206	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ 1 )
208	9, 207	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X <_ 1 )
209		exple1 12920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. RR /\ 0 <_ X /\ X <_ 1 ) /\ K e. NN0 ) -> ( X ^ K ) <_ 1 )
210	14, 203, 208, 27, 209	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ K ) <_ 1 )
211		subge0 10541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( X ^ K ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( X ^ K ) ) <-> ( X ^ K ) <_ 1 ) )
212	198, 28, 211	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 <_ ( 1 - ( X ^ K ) ) <-> ( X ^ K ) <_ 1 ) )
213	210, 212	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 - ( X ^ K ) ) )
214	200, 213	absidd 14161	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( 1 - ( X ^ K ) ) )
215	214	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) )
216	24	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. CC )
217	216, 192, 156	subdid 10486	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. 1 ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) )
218	216	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
219	218	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. 1 ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) )
220	215, 217, 219	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) )
221	197, 202, 220	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
222	221	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
223	55, 97, 222	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) <_ ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
224	44	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) e. RR )
225	31, 224	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) e. RR )
226	31, 44	fsumabs 14533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
227		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ k ) e. CC )
228	12, 227	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ k ) e. CC )
229	36, 228	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( T ^ k ) e. CC )
230	41, 229	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) e. CC )
231	230	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR )
232	31, 231	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR )
233	14, 33	reexpcld 13025	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) e. RR )
234	232, 233	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) e. RR )
235	233	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ ( K + 1 ) ) e. RR )
236	231, 235	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) e. RR )
237	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> T e. CC )
238	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> X e. CC )
239	237, 238, 36	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) = ( ( T ^ k ) x. ( X ^ k ) ) )
240	239	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( A ` k ) x. ( ( T ^ k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
241	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> X e. RR )
242	241, 36	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) e. RR )
243	242	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) e. CC )
244	41, 229, 243	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( A ` k ) x. ( ( T ^ k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
245	240, 244	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) )
246	245	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) ) )
247	230, 243	absmuld 14193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ k ) ) ) )
248		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> k e. ZZ )
249		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( X ^ k ) e. RR+ )
250	13, 248, 249	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) e. RR+ )
251	250	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( X ^ k ) )
252	242, 251	absidd 14161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( X ^ k ) ) = ( X ^ k ) )
253	252	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ k ) ) )
254	246, 247, 253	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ k ) ) )
255	230	absge0d 14183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) )
256	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( K + 1 ) e. NN0 )
257	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
258	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ X )
259	208	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> X <_ 1 )
260	241, 256, 257, 258, 259	leexp2rd 13042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) <_ ( X ^ ( K + 1 ) ) )
261	242, 235, 231, 255, 260	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ k ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
262	254, 261	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
263	31, 224, 236, 262	fsumle 14531	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
264	233	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) e. CC )
265	231	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. CC )
266	31, 264, 265	fsummulc1 14517	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
267	263, 266	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
268	15, 27	expp1d 13009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) = ( ( X ^ K ) x. X ) )
269	156, 15	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X ^ K ) x. X ) = ( X x. ( X ^ K ) ) )
270	268, 269	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) = ( X x. ( X ^ K ) ) )
271	270	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X x. ( X ^ K ) ) ) )
272	232	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. CC )
273	272, 15, 156	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) x. ( X ^ K ) ) = ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X x. ( X ^ K ) ) ) )
274	271, 273	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) x. ( X ^ K ) ) )
275	232, 14	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) e. RR )
276		nnssz 11397	. . . . . . . . . . . 12 |- NN C_ ZZ
277	62, 276	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ZZ
278		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } -> { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) )
279	78, 278	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) )
280		infssuzcl 11772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) ) -> inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < ) e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
281	64, 279, 280	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < ) e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
282	6, 281	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
283	277, 282	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ZZ )
284	13, 283	rpexpcld 13032	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X ^ K ) e. RR+ )
285		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) e. RR )
286	232, 285	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) e. RR )
287	286, 14	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) e. RR )
288	232	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) < ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
289	232, 286, 13, 288	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) < ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) )
290		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ U e. RR ) -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ U )
291	198, 205, 290	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ U )
292	9, 291	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X <_ U )
293	292, 8	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X <_ ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) )
294		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
295	31, 231, 255	fsumge0 14527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) )
296	294, 232, 286, 295, 288	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
297		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. RR /\ ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. RR /\ ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> X <_ ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) ) )
298	14, 24, 286, 296, 297	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> X <_ ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) ) )
299	293, 298	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
300	275, 287, 24, 289, 299	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
301	275, 24, 284, 300	ltmul1dd 11927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) x. ( X ^ K ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
302	274, 301	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
303	225, 234, 29, 267, 302	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
304	46, 225, 29, 226, 303	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
305	46, 29, 24, 304	ltsub2dd 10640	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
306	30, 46, 24	ltaddsubd 10627	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) ) )
307	305, 306	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
308	20, 47, 24, 223, 307	lelttrd 10195	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
309		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = ( T x. X ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( T x. X ) ) )
310	309	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( x = ( T x. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) )
311	310	breq1d 4663	. . 3 |- ( x = ( T x. X ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) ) )
312	311	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( T x. X ) e. CC /\ ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) ) -> E. x e. CC ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
313	16, 308, 312	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. x e. CC ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   abscabs 13974   sum_csu 14416   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  ftalem6  24804