Theorem dirkertrigeqlem1 40315

Description: Sum of an even number of alternating cos values. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem1	|- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Distinct variable group:   n, K

Proof of Theorem dirkertrigeqlem1

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. 1 ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) )
3	2	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( x = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
4	3	eqeq1d 2624	. 2 |- ( x = 1 -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
5		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = y -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. y ) )
6	5	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = y -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. y ) ) )
7	6	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( x = y -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
8	7	eqeq1d 2624	. 2 |- ( x = y -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
9		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
10	9	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) )
11	10	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( x = ( y + 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
12	11	eqeq1d 2624	. 2 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
13		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = K -> ( 2 x. x ) = ( 2 x. K ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( x = K -> ( 1 ... ( 2 x. x ) ) = ( 1 ... ( 2 x. K ) ) )
15	14	sumeq1d 14431	. . 3 |- ( x = K -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
16	15	eqeq1d 2624	. 2 |- ( x = K -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. x ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 <-> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
17		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
18	17	2timesi 11147	. . . . 5 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
19	18	oveq2i 6661	. . . 4 |- ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) = ( 1 ... ( 1 + 1 ) )
20	19	sumeq1i 14428	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) )
21		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
22		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
24	23	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. ZZ )
26	25	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) -> n e. CC )
27	26	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> n e. CC )
28		picn 24211	. . . . . . . . 9 |- pi e. CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> pi e. CC )
30	27, 29	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
31	30	coscld 14861	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
32		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = ( 1 + 1 ) )
33		1p1e2 11134	. . . . . . . . 9 |- ( 1 + 1 ) = 2
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> n = 2 )
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( 2 x. pi ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( n = ( 1 + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
37	24, 31, 36	fsump1 14487	. . . . 5 |- ( T. -> sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) )
38	37	trud 1493	. . . 4 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) )
39		coscl 14857	. . . . . . . 8 |- ( pi e. CC -> ( cos ` pi ) e. CC )
40	28, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( cos ` pi ) e. CC
41		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = ( 1 x. pi ) )
42	28	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. pi ) = pi
43	41, 42	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( n x. pi ) = pi )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
45	44	fsum1 14476	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( cos ` pi ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi ) )
46	21, 40, 45	mp2an 708	. . . . . 6 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` pi )
47		cospi 24224	. . . . . 6 |- ( cos ` pi ) = -u 1
48	46, 47	eqtri 2644	. . . . 5 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = -u 1
49		cos2pi 24228	. . . . 5 |- ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1
50	48, 49	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( 2 x. pi ) ) ) = ( -u 1 + 1 )
51		neg1cn 11124	. . . . 5 |- -u 1 e. CC
52		1pneg1e0 11129	. . . . 5 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
53	17, 51, 52	addcomli 10228	. . . 4 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
54	38, 50, 53	3eqtri 2648	. . 3 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 1 + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
55	20, 54	eqtri 2644	. 2 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0
56	18	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) )
57		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 2 e. CC )
58		nncn 11028	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> y e. CC )
59	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 e. CC )
60	57, 58, 59	adddid 10064	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
61	57, 58	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. CC )
62	61, 59, 59	addassd 10062	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) )
63	56, 60, 62	3eqtr4a 2682	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) )
64	63	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) = ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) )
65	64	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
66	65	adantr 481	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
67		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 e. RR )
68		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR )
70		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR )
71	69, 70	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR )
72	71, 67	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. RR )
73		2rp 11837	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR+
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. RR+ )
75		nnrp 11842	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. RR+ )
76	74, 75	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. RR+ )
77	67, 76	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> 1 < ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
78	67, 72, 77	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) )
79		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 2 e. ZZ )
81		nnz 11399	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
82	80, 81	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ZZ )
83	82	peano2zd 11485	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ )
84		eluz 11701	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
85	21, 83, 84	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) )
86	78, 85	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
87		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
88	87	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> n e. CC )
89	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
90	88, 89	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
91	90	coscld 14861	. . . . . . 7 |- ( n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
92	91	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
93		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) )
94	93	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( n = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) )
95	86, 92, 94	fsump1 14487	. . . . 5 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
96	95	adantr 481	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
97		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 < 2
98	97	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 1 < 2 )
99		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 1 ) = 2
100		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> 1 <_ y )
101	67, 70, 74	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 <_ y <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) ) )
102	100, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. y ) )
103	99, 102	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> 2 <_ ( 2 x. y ) )
104	67, 69, 71, 98, 103	ltletrd 10197	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> 1 < ( 2 x. y ) )
105	67, 71, 104	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> 1 <_ ( 2 x. y ) )
106		eluz 11701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 2 x. y ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
107	21, 82, 106	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) <-> 1 <_ ( 2 x. y ) ) )
108	105, 107	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
110	109	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> n e. CC )
111	28	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> pi e. CC )
112	110, 111	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( n x. pi ) e. CC )
113	112	coscld 14861	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
114	113	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) e. CC )
115		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( n x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) )
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = ( ( 2 x. y ) + 1 ) -> ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) )
117	108, 114, 116	fsump1 14487	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
118	33, 99	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 )
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( 1 + 1 ) = ( 2 x. 1 ) )
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) + ( 1 + 1 ) ) = ( ( 2 x. y ) + ( 2 x. 1 ) ) )
121	120, 62, 60	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) = ( 2 x. ( y + 1 ) ) )
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) = ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) )
123	122	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) )
124	58, 59	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
125	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> pi e. CC )
126	57, 124, 125	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) = ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) )
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
128	124, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( y + 1 ) x. pi ) e. CC )
129		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
130		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < pi
131	129, 130	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi =/= 0
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> pi =/= 0 )
133	74	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> 2 =/= 0 )
134	128, 125, 57, 132, 133	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( ( y + 1 ) x. pi ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) )
135	124, 125, 132	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( y + 1 ) x. pi ) / pi ) = ( y + 1 ) )
136	127, 134, 135	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) = ( y + 1 ) )
137	81	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. ZZ )
138	136, 137	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
139		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( y + 1 ) e. CC )
140	58, 139	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y + 1 ) e. CC )
141	57, 140	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( 2 x. ( y + 1 ) ) e. CC )
142	141, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC )
143		coseq1 24274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) e. CC -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 <-> ( ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
145	138, 144	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( 2 x. ( y + 1 ) ) x. pi ) ) = 1 )
146	123, 145	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) = 1 )
147	117, 146	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
148	147	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) )
149		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
150	61, 59, 125	adddird 10065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
151	61, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) e. CC )
152	42, 125	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) e. CC )
153	151, 152	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) )
154	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( 1 x. pi ) = pi )
155	57, 58	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. NN -> ( 2 x. y ) = ( y x. 2 ) )
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( ( y x. 2 ) x. pi ) )
157	58, 57, 125	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. NN -> ( ( y x. 2 ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
158	156, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( 2 x. y ) x. pi ) = ( y x. ( 2 x. pi ) ) )
159	154, 158	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( 1 x. pi ) + ( ( 2 x. y ) x. pi ) ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
160	150, 153, 159	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. NN -> ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) )
161	160	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
162		cosper 24234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi e. CC /\ y e. ZZ ) -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
163	28, 81, 162	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( pi + ( y x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
164	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
165	161, 163, 164	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( y e. NN -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
166	165	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) = -u 1 )
167	149, 166	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( 0 + -u 1 ) )
168	167	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) )
169	51	addid2i 10224	. . . . . . . 8 |- ( 0 + -u 1 ) = -u 1
170	169	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = ( -u 1 + 1 )
171	170, 53	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( 0 + -u 1 ) + 1 ) = 0
172	168, 171	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) x. pi ) ) ) + 1 ) = 0 )
173	148, 172	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. y ) + 1 ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) + ( cos ` ( ( ( ( 2 x. y ) + 1 ) + 1 ) x. pi ) ) ) = 0 )
174	66, 96, 173	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( y e. NN /\ sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
175	174	ex 450	. 2 |- ( y e. NN -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. y ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( y + 1 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 ) )
176	4, 8, 12, 16, 55, 175	nnind 11038	1 |- ( K e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. K ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   sum_csu 14416   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dirkertrigeqlem3  40317