Theorem advlogexp 24401

Description: The antiderivative of a power of the logarithm. (Set A = 1 and multiply by ( -u 1 ) ^ N x. N ! to get the antiderivative of log ( x ) ^ N itself.) (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
advlogexp	|- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, N, x

Proof of Theorem advlogexp

Dummy variables j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0 ... N ) e. Fin )
2		rpcn 11841	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
3	2	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
4		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR+ /\ x e. RR+ ) -> ( A / x ) e. RR+ )
5	4	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( A / x ) e. RR+ )
6	5	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` ( A / x ) ) e. RR )
7		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
8		reexpcl 12877	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( log ` ( A / x ) ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) e. RR )
9	6, 7, 8	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) e. RR )
10	7	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
11		faccl 13070	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
13	9, 12	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
14	13	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
15	1, 3, 14	fsummulc2 14516	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( x x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
16		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> N e. NN0 )
17		nn0uz 11722	. . . . . . 7 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
18	16, 17	syl6eleq 2711	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
19	3	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> x e. CC )
20	19, 14	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
21		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) = ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ! ` k ) = ( ! ` 0 ) )
23		fac0 13063	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 0 ) = 1
24	22, 23	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( k = 0 -> ( ! ` k ) = 1 )
25	21, 24	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = 0 -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( k = 0 -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) ) )
27	18, 20, 26	fsum1p 14482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) )
28	6	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` ( A / x ) ) e. CC )
29	28	exp0d 13002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) = 1 )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) = ( 1 / 1 ) )
31		1div1e1 10717	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 1 ) = 1
32	30, 31	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) = 1 )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) ) = ( x x. 1 ) )
34	3	mulid1d 10057	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( x x. 1 ) = x )
35	33, 34	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) ) = x )
36		1zzd 11408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> 1 e. ZZ )
37		nn0z 11400	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> N e. ZZ )
39		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 + 1 ) = 1
40	39	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N )
41		0z 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
42		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N ) )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 + 1 ) ... N ) C_ ( 0 ... N )
44	40, 43	eqsstr3i 3636	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... N ) C_ ( 0 ... N )
45	44	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. ( 0 ... N ) )
46	45, 20	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) e. CC )
47		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) = ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) )
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ! ` k ) = ( ! ` ( j + 1 ) ) )
49	47, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) )
50	49	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) )
51	36, 36, 38, 46, 50	fsumshftm 14513	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) )
52	40	sumeq1i 14428	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
54		1m1e0 11089	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
55	54	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 - 1 )..^ N ) = ( 0..^ N )
56		fzoval 12471	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( ( 1 - 1 )..^ N ) = ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
57	38, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 - 1 )..^ N ) = ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
58	55, 57	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0..^ N ) = ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) )
59	58	sumeq1d 14431	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( ( 1 - 1 ) ... ( N - 1 ) ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) )
60	51, 53, 59	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) )
61	35, 60	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( x + sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
62	15, 27, 61	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( x x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( x + sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
63	62	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( x + sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) )
64	63	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x + sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) ) )
65		reelprrecn 10028	. . . 4 |- RR e. { RR , CC }
66	65	a1i 11	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> RR e. { RR , CC } )
67		1cnd 10056	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
68		recn 10026	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. CC )
69	68	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR ) -> x e. CC )
70		1cnd 10056	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR ) -> 1 e. CC )
71	66	dvmptid 23720	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> x ) ) = ( x e. RR |-> 1 ) )
72		rpssre 11843	. . . . 5 |- RR+ C_ RR
73	72	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> RR+ C_ RR )
74		eqid 2622	. . . . 5 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
75	74	tgioo2 22606	. . . 4 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
76		ioorp 12251	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
77		iooretop 22569	. . . . . 6 |- ( 0 (,) +oo ) e. ( topGen ` ran (,) )
78	76, 77	eqeltrri 2698	. . . . 5 |- RR+ e. ( topGen ` ran (,) )
79	78	a1i 11	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) )
80	66, 69, 70, 71, 73, 75, 74, 79	dvmptres 23726	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> x ) ) = ( x e. RR+ |-> 1 ) )
81		fzofi 12773	. . . . 5 |- ( 0..^ N ) e. Fin
82	81	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
83	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> x e. CC )
84		elfzonn0 12512	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> j e. NN0 )
85		peano2nn0 11333	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN0 )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0..^ N ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
87		reexpcl 12877	. . . . . . . 8 |- ( ( ( log ` ( A / x ) ) e. RR /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) e. RR )
88	6, 86, 87	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) e. RR )
89	86	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
90		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( ( j + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
91	89, 90	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
92	88, 91	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
93	92	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) e. CC )
94	83, 93	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
95	82, 94	fsumcl 14464	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
96	6, 16	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) e. RR )
97		faccl 13070	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
98	97	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ! ` N ) e. NN )
99	96, 98	nndivred 11069	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. RR )
100	99	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. CC )
101		ax-1cn 9994	. . . 4 |- 1 e. CC
102		subcl 10280	. . . 4 |- ( ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) e. CC )
103	100, 101, 102	sylancl 694	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) e. CC )
104	81	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( 0..^ N ) e. Fin )
105	94	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
106	105	3impa 1259	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) /\ x e. RR+ ) -> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) e. CC )
107		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( log ` ( A / x ) ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) e. RR )
108	6, 84, 107	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) e. RR )
109	84	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. NN0 )
110		faccl 13070	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN0 -> ( ! ` j ) e. NN )
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ! ` j ) e. NN )
112	108, 111	nndivred 11069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. RR )
113	112	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
114	93, 113	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) e. CC )
115	114	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) e. CC )
116	115	3impa 1259	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) e. CC )
117	65	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> RR e. { RR , CC } )
118	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
119		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
120	80	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> x ) ) = ( x e. RR+ |-> 1 ) )
121	93	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) e. CC )
122		negex 10279	. . . . . . . 8 |- -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) e. _V
123	122	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) e. _V )
124		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . 10 |- CC e. { RR , CC }
125	124	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> CC e. { RR , CC } )
126	28	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` ( A / x ) ) e. CC )
127		negex 10279	. . . . . . . . . 10 |- -u ( 1 / x ) e. _V
128	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> -u ( 1 / x ) e. _V )
129		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CC -> y e. CC )
130	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. NN0 )
131	130, 85	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. NN0 )
132		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ ( j + 1 ) e. NN0 ) -> ( y ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
133	129, 131, 132	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( y ^ ( j + 1 ) ) e. CC )
134	131, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. NN )
135	134	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) e. CC )
137	134	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) =/= 0 )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) =/= 0 )
139	133, 136, 138	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( y ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) e. CC )
140		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ j e. NN0 ) -> ( y ^ j ) e. CC )
141	129, 130, 140	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( y ^ j ) e. CC )
142	130, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ! ` j ) e. NN )
143	142	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ! ` j ) e. CC )
144	143	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ! ` j ) e. CC )
145	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> j e. NN0 )
146	145, 110	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ! ` j ) e. NN )
147	146	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ! ` j ) =/= 0 )
148	141, 144, 147	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( y ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
149		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR+ )
150		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
151	149, 150	relogdivd 24372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` ( A / x ) ) = ( ( log ` A ) - ( log ` x ) ) )
152	151	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( log ` ( A / x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` A ) - ( log ` x ) ) ) )
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` ( A / x ) ) ) ) = ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` A ) - ( log ` x ) ) ) ) )
154		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR+ -> ( log ` A ) e. RR )
155	154	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( log ` A ) e. RR )
156	155	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( log ` A ) e. CC )
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` A ) e. CC )
158		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> 0 e. CC )
159	156	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> ( log ` A ) e. CC )
160		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> 0 e. CC )
161	117, 156	dvmptc 23721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( log ` A ) ) ) = ( x e. RR |-> 0 ) )
162	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> RR+ C_ RR )
163	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> RR+ e. ( topGen ` ran (,) ) )
164	117, 159, 160, 161, 162, 75, 74, 163	dvmptres 23726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` A ) ) ) = ( x e. RR+ |-> 0 ) )
165	150	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
166	165	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. CC )
167	150	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
168		dvrelog 24383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D ( log |` RR+ ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / x ) )
169		relogf1o 24313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( log |` RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
170		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( log |` RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR -> ( log |` RR+ ) : RR+ --> RR )
171	169, 170	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( log |` RR+ ) : RR+ --> RR )
172	171	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( log |` RR+ ) = ( x e. RR+ |-> ( ( log |` RR+ ) ` x ) ) )
173		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. RR+ -> ( ( log |` RR+ ) ` x ) = ( log ` x ) )
174	173	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR+ |-> ( ( log |` RR+ ) ` x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) )
175	172, 174	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( log |` RR+ ) = ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) )
176	175	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( log |` RR+ ) ) = ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) ) )
177	168, 176	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / x ) ) )
178	117, 157, 158, 164, 166, 167, 177	dvmptsub 23730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` A ) - ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 0 - ( 1 / x ) ) ) )
179	153, 178	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` ( A / x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 0 - ( 1 / x ) ) ) )
180		df-neg 10269	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 / x ) = ( 0 - ( 1 / x ) )
181	180	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ |-> -u ( 1 / x ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 0 - ( 1 / x ) ) )
182	179, 181	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` ( A / x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> -u ( 1 / x ) ) )
183		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) e. _V )
184		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> ( j + 1 ) e. NN )
185	130, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j + 1 ) e. NN )
186		dvexp 23716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y ^ ( j + 1 ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
188	125, 133, 183, 187, 135, 137	dvmptdivc 23728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( y ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) )
189	130	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. CC )
190	189	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> j e. CC )
191		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
192	190, 101, 191	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( j + 1 ) - 1 ) = j )
193	192	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) = ( y ^ j ) )
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( y ^ j ) ) )
195		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN0 -> ( ! ` ( j + 1 ) ) = ( ( ! ` j ) x. ( j + 1 ) ) )
196	145, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) = ( ( ! ` j ) x. ( j + 1 ) ) )
197		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. CC -> ( j + 1 ) e. CC )
198	190, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( j + 1 ) e. CC )
199	144, 198	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( ! ` j ) x. ( j + 1 ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( ! ` j ) ) )
200	196, 199	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ! ` ( j + 1 ) ) = ( ( j + 1 ) x. ( ! ` j ) ) )
201	194, 200	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( j + 1 ) x. ( y ^ j ) ) / ( ( j + 1 ) x. ( ! ` j ) ) ) )
202	185	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
203	202	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
204	141, 144, 198, 147, 203	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( j + 1 ) x. ( y ^ j ) ) / ( ( j + 1 ) x. ( ! ` j ) ) ) = ( ( y ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
205	201, 204	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ y e. CC ) -> ( ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( y ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
206	205	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( y e. CC |-> ( ( ( j + 1 ) x. ( y ^ ( ( j + 1 ) - 1 ) ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( y ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
207	188, 206	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( ( y ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( ( y ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
208		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( log ` ( A / x ) ) -> ( y ^ ( j + 1 ) ) = ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) )
209	208	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( log ` ( A / x ) ) -> ( ( y ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) )
210		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( log ` ( A / x ) ) -> ( y ^ j ) = ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) )
211	210	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( log ` ( A / x ) ) -> ( ( y ^ j ) / ( ! ` j ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
212	117, 125, 126, 128, 139, 148, 182, 207, 209, 211	dvmptco 23735	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. -u ( 1 / x ) ) ) )
213	113	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) e. CC )
214	167	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. CC )
215	213, 214	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. -u ( 1 / x ) ) = -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( 1 / x ) ) )
216		rpne0 11848	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
217	216	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
218	213, 118, 217	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( 1 / x ) ) )
219	218	negeqd 10275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) = -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. ( 1 / x ) ) )
220	215, 219	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. -u ( 1 / x ) ) = -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) )
221	220	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) x. -u ( 1 / x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) ) )
222	212, 221	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) ) )
223	117, 118, 119, 120, 121, 123, 222	dvmptmul 23724	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 1 x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) + ( -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) ) ) )
224	93	mulid2d 10058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( 1 x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) )
225		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> x e. RR+ )
226	112, 225	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) e. RR )
227	226	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) e. CC )
228	227, 83	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) = -u ( ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) )
229	217	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> x =/= 0 )
230	113, 83, 229	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
231	230	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> -u ( ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) = -u ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
232	228, 231	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) = -u ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
233	224, 232	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( 1 x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) + ( -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) + -u ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
234	93, 113	negsubd 10398	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) + -u ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
235	233, 234	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( 1 x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) + ( -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
236	235	an32s 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) + ( -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) )
237	236	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( 1 x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) + ( -u ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) / x ) x. x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) ) )
238	223, 237	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) ) )
239	75, 74, 66, 79, 104, 106, 116, 238	dvmptfsum 23738	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) ) )
240		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) = ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) )
241		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = j -> ( ! ` k ) = ( ! ` j ) )
242	240, 241	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = j -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) )
243		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) = ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) )
244		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( ! ` k ) = ( ! ` N ) )
245	243, 244	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) )
246	242, 49, 25, 245, 18, 14	telfsumo2 14535	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) ) )
247	32	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ 0 ) / 1 ) ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) )
248	246, 247	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) = ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) )
249	248	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( x e. RR+ |-> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) - ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ j ) / ( ! ` j ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) ) )
250	239, 249	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) ) )
251	66, 3, 67, 80, 95, 103, 250	dvmptadd 23723	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x + sum_ j e. ( 0..^ N ) ( x x. ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ ( j + 1 ) ) / ( ! ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 + ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) ) ) )
252		pncan3 10289	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) )
253	101, 100, 252	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) /\ x e. RR+ ) -> ( 1 + ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) ) = ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) )
254	253	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( x e. RR+ |-> ( 1 + ( ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) - 1 ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) )
255	64, 251, 254	3eqtrd 2660	1 |- ( ( A e. RR+ /\ N e. NN0 ) -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x x. sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( log ` ( A / x ) ) ^ N ) / ( ! ` N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   !cfa 13060   sum_csu 14416   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   _D cdv 23627   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  logexprlim  24950