Theorem pserdvlem2 24182

Description: Lemma for pserdv 24183. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pserf.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
pserf.f	|- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
pserf.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
pserf.r	|- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
psercn.s	|- S = ( `' abs " ( 0 [,) R ) )
psercn.m	|- M = if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) )
pserdv.b	|- B = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
pserdvlem2	|- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, a, k, n, r, x, y, A   j, M, k, y   B, j, k, x, y   j, G, k, r, y   S, a, j, k, y   F, a   ph, a, j, k, y

Allowed substitution hints:   ph( x, n, r)   B( n, r, a)   R( x, y, j, k, n, r, a)   S( x, n, r)   F( x, y, j, k, n, r)   G( x, n, a)   M( x, n, r, a)

Proof of Theorem pserdvlem2

Dummy variables m s w z i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. 2 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		cnelprrecn 10029	. . 3 |- CC e. { RR , CC }
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> CC e. { RR , CC } )
4		0zd 11389	. 2 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> 0 e. ZZ )
5		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) /\ y e. B ) -> ( 0 ... k ) e. Fin )
6		pserf.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
7		pserf.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
8	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) /\ y e. B ) -> A : NN0 --> CC )
9		pserdv.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) )
10		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
12		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> 0 e. CC )
13		pserf.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F = ( y e. S |-> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) )
14		pserf.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- R = sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
15		psercn.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( `' abs " ( 0 [,) R ) )
16		psercn.m	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M = if ( R e. RR , ( ( ( abs ` a ) + R ) / 2 ) , ( ( abs ` a ) + 1 ) )
17	6, 13, 7, 14, 15, 16	pserdvlem1 24181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR+ /\ ( abs ` a ) < ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) /\ ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) < R ) )
18	17	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR+ )
19	18	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR* )
20		blssm 22223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) C_ CC )
21	11, 12, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) C_ CC )
22	9, 21	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> B C_ CC )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) -> B C_ CC )
24	23	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) /\ y e. B ) -> y e. CC )
25	6, 8, 24	psergf 24166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) /\ y e. B ) -> ( G ` y ) : NN0 --> CC )
26		elfznn0 12433	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 0 ... k ) -> i e. NN0 )
27		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( ( G ` y ) : NN0 --> CC /\ i e. NN0 ) -> ( ( G ` y ) ` i ) e. CC )
28	25, 26, 27	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 0 ... k ) ) -> ( ( G ` y ) ` i ) e. CC )
29	5, 28	fsumcl 14464	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) /\ y e. B ) -> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) e. CC )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) )
31	29, 30	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) -> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) : B --> CC )
32		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
33		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) e. _V
34	9, 33	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
35	32, 34	elmap 7886	. . . 4 |- ( ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) e. ( CC ^m B ) <-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) : B --> CC )
36	31, 35	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ k e. NN0 ) -> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) e. ( CC ^m B ) )
37		eqid 2622	. . 3 |- ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) = ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) )
38	36, 37	fmptd 6385	. 2 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) : NN0 --> ( CC ^m B ) )
39	6, 13, 7, 14, 15, 16	psercn 24180	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( S -cn-> CC ) )
40		cncff 22696	. . . . 5 |- ( F e. ( S -cn-> CC ) -> F : S --> CC )
41	39, 40	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : S --> CC )
42	41	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> F : S --> CC )
43	6, 13, 7, 14, 15, 17	psercnlem2 24178	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( a e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) C_ ( `' abs " ( 0 [,] ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) ) /\ ( `' abs " ( 0 [,] ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) ) C_ S ) )
44	43	simp2d 1074	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) C_ ( `' abs " ( 0 [,] ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) ) )
45	9, 44	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> B C_ ( `' abs " ( 0 [,] ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) ) )
46	43	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( `' abs " ( 0 [,] ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) ) C_ S )
47	45, 46	sstrd 3613	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> B C_ S )
48	42, 47	fssresd 6071	. 2 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( F |` B ) : B --> CC )
49		0zd 11389	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> 0 e. ZZ )
50		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) ` j ) = ( ( G ` z ) ` j ) )
51	7	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> A : NN0 --> CC )
52	22	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> z e. CC )
53	6, 51, 52	psergf 24166	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( G ` z ) : NN0 --> CC )
54	53	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) ` j ) e. CC )
55	52	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( abs ` z ) e. RR )
56	55	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( abs ` z ) e. RR* )
57	19	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR* )
58		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
59	6, 7, 14	radcnvcl 24171	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. ( 0 [,] +oo ) )
60	58, 59	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. RR* )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> R e. RR* )
62		0cn 10032	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. CC
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
64	63	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( z ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( z - 0 ) ) )
65	52, 62, 64	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( z ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` ( z - 0 ) ) )
66	52	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( z - 0 ) = z )
67	66	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( abs ` ( z - 0 ) ) = ( abs ` z ) )
68	65, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( z ( abs o. - ) 0 ) = ( abs ` z ) )
69		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> z e. B )
70	69, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> z e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) )
71	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
72		0cnd 10033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> 0 e. CC )
73		elbl3 22197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR* ) /\ ( 0 e. CC /\ z e. CC ) ) -> ( z e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) <-> ( z ( abs o. - ) 0 ) < ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) )
74	71, 57, 72, 52, 73	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( z e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) <-> ( z ( abs o. - ) 0 ) < ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) )
75	70, 74	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( z ( abs o. - ) 0 ) < ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) )
76	68, 75	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( abs ` z ) < ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) )
77	17	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) < R )
78	77	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) < R )
79	56, 57, 61, 76, 78	xrlttrd 11990	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( abs ` z ) < R )
80	6, 51, 14, 52, 79	radcnvlt2 24173	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> seq 0 ( + , ( G ` z ) ) e. dom ~~> )
81	1, 49, 50, 54, 80	isumclim2 14489	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> seq 0 ( + , ( G ` z ) ) ~~> sum_ j e. NN0 ( ( G ` z ) ` j ) )
82	47	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> z e. S )
83		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( G ` y ) = ( G ` z ) )
84	83	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) ` j ) = ( ( G ` z ) ` j ) )
85	84	sumeq2sdv 14435	. . . . . 6 |- ( y = z -> sum_ j e. NN0 ( ( G ` y ) ` j ) = sum_ j e. NN0 ( ( G ` z ) ` j ) )
86		sumex 14418	. . . . . 6 |- sum_ j e. NN0 ( ( G ` z ) ` j ) e. _V
87	85, 13, 86	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( z e. S -> ( F ` z ) = sum_ j e. NN0 ( ( G ` z ) ` j ) )
88	82, 87	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( F ` z ) = sum_ j e. NN0 ( ( G ` z ) ` j ) )
89	81, 88	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> seq 0 ( + , ( G ` z ) ) ~~> ( F ` z ) )
90		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( 0 ... k ) = ( 0 ... m ) )
91	90	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) )
92	91	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) )
93	34	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) e. _V
94	92, 37, 93	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) )
95	94	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) )
96	95	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ` z ) = ( ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ` z ) )
97	83	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( G ` y ) ` i ) = ( ( G ` z ) ` i ) )
98	97	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` z ) ` i ) )
99		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) )
100		sumex 14418	. . . . . . . 8 |- sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` z ) ` i ) e. _V
101	98, 99, 100	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( z e. B -> ( ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ` z ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` z ) ` i ) )
102	101	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ` z ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` z ) ` i ) )
103		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( G ` z ) ` i ) = ( ( G ` z ) ` i ) )
104		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> m e. NN0 )
105	104, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
106	53	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( G ` z ) : NN0 --> CC )
107		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> i e. NN0 )
108		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G ` z ) : NN0 --> CC /\ i e. NN0 ) -> ( ( G ` z ) ` i ) e. CC )
109	106, 107, 108	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( G ` z ) ` i ) e. CC )
110	103, 105, 109	fsumser 14461	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` z ) ` i ) = ( seq 0 ( + , ( G ` z ) ) ` m ) )
111	96, 102, 110	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ` z ) = ( seq 0 ( + , ( G ` z ) ) ` m ) )
112	111	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( m e. NN0 |-> ( ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ` z ) ) = ( m e. NN0 |-> ( seq 0 ( + , ( G ` z ) ) ` m ) ) )
113		0z 11388	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
114		seqfn 12813	. . . . . . 7 |- ( 0 e. ZZ -> seq 0 ( + , ( G ` z ) ) Fn ( ZZ>= ` 0 ) )
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , ( G ` z ) ) Fn ( ZZ>= ` 0 )
116	1	fneq2i 5986	. . . . . 6 |- ( seq 0 ( + , ( G ` z ) ) Fn NN0 <-> seq 0 ( + , ( G ` z ) ) Fn ( ZZ>= ` 0 ) )
117	115, 116	mpbir 221	. . . . 5 |- seq 0 ( + , ( G ` z ) ) Fn NN0
118		dffn5 6241	. . . . 5 |- ( seq 0 ( + , ( G ` z ) ) Fn NN0 <-> seq 0 ( + , ( G ` z ) ) = ( m e. NN0 |-> ( seq 0 ( + , ( G ` z ) ) ` m ) ) )
119	117, 118	mpbi 220	. . . 4 |- seq 0 ( + , ( G ` z ) ) = ( m e. NN0 |-> ( seq 0 ( + , ( G ` z ) ) ` m ) )
120	112, 119	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( m e. NN0 |-> ( ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ` z ) ) = seq 0 ( + , ( G ` z ) ) )
121		fvres 6207	. . . 4 |- ( z e. B -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
122	121	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( ( F |` B ) ` z ) = ( F ` z ) )
123	89, 120, 122	3brtr4d 4685	. 2 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. B ) -> ( m e. NN0 |-> ( ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ` z ) ) ~~> ( ( F |` B ) ` z ) )
124	94	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) )
125	124	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( CC _D ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ) = ( CC _D ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) )
126		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
127	126	cnfldtop 22587	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
128	126	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
129	128	toponunii 20721	. . . . . . . . 9 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
130	129	restid 16094	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
131	127, 130	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
132	131	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
133	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> CC e. { RR , CC } )
134	126	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . 10 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
135	134	blopn 22305	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
136	11, 12, 19, 135	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) ) e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
137	9, 136	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> B e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
138	137	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> B e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
139		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
140	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> A : NN0 --> CC )
141	140	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) /\ y e. B ) -> A : NN0 --> CC )
142	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> B C_ CC )
143	142	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ y e. B ) -> y e. CC )
144	143	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) /\ y e. B ) -> y e. CC )
145	6, 141, 144	psergf 24166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) /\ y e. B ) -> ( G ` y ) : NN0 --> CC )
146	107	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) /\ y e. B ) -> i e. NN0 )
147	145, 146	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) /\ y e. B ) -> ( ( G ` y ) ` i ) e. CC )
148	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> CC e. { RR , CC } )
149		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ i e. NN0 ) -> ( A ` i ) e. CC )
150	140, 107, 149	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
151	150	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> ( A ` i ) e. CC )
152	143	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> y e. CC )
153		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. CC -> y e. CC )
154	107	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> i e. NN0 )
155		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. CC /\ i e. NN0 ) -> ( y ^ i ) e. CC )
156	153, 154, 155	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. CC ) -> ( y ^ i ) e. CC )
157	152, 156	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> ( y ^ i ) e. CC )
158	151, 157	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) e. CC )
159		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) e. _V )
160		c0ex 10034	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. _V
161		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) e. _V
162	160, 161	ifex 4156	. . . . . . . . . 10 |- if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) e. _V
163	162	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) e. _V )
164	162	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. CC ) -> if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) e. _V )
165		dvexp2 23717	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN0 -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y ^ i ) ) ) = ( y e. CC |-> if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) )
166	154, 165	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y ^ i ) ) ) = ( y e. CC |-> if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) )
167	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> B C_ CC )
168	137	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> B e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
169	148, 156, 164, 166, 167, 132, 126, 168	dvmptres 23726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( CC _D ( y e. B |-> ( y ^ i ) ) ) = ( y e. B |-> if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) )
170	148, 157, 163, 169, 150	dvmptcmul 23727	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( CC _D ( y e. B |-> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) ) ) = ( y e. B |-> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) )
171	148, 158, 159, 170	dvmptcl 23722	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
172	171	3impa 1259	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) /\ y e. B ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
173	107	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> i e. NN0 )
174	6	pserval2 24165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. CC /\ i e. NN0 ) -> ( ( G ` y ) ` i ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
175	152, 173, 174	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) /\ y e. B ) -> ( ( G ` y ) ` i ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
176	175	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( y e. B |-> ( ( G ` y ) ` i ) ) = ( y e. B |-> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) ) )
177	176	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( CC _D ( y e. B |-> ( ( G ` y ) ` i ) ) ) = ( CC _D ( y e. B |-> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) ) ) )
178	177, 170	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( CC _D ( y e. B |-> ( ( G ` y ) ` i ) ) ) = ( y e. B |-> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) )
179	132, 126, 133, 138, 139, 147, 172, 178	dvmptfsum 23738	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( CC _D ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) )
180	125, 179	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( CC _D ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) )
181	180	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( m e. NN0 |-> ( CC _D ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ) ) = ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) )
182		nnssnn0 11295	. . . . . 6 |- NN C_ NN0
183		resmpt 5449	. . . . . 6 |- ( NN C_ NN0 -> ( ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) |` NN ) = ( m e. NN |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) )
184	182, 183	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) |` NN ) = ( m e. NN |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) )
185		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = x -> ( a ^ i ) = ( x ^ i ) )
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = x -> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) = ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( x ^ i ) ) )
187	186	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( a = x -> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( x ^ i ) ) ) )
188		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( i + 1 ) = ( n + 1 ) )
189	188	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( A ` ( i + 1 ) ) = ( A ` ( n + 1 ) ) )
190	188, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = n -> ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
191		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = n -> ( x ^ i ) = ( x ^ n ) )
192	190, 191	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( x ^ i ) ) = ( ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) x. ( x ^ n ) ) )
193	192	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( x ^ i ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) x. ( x ^ n ) ) )
194		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
195	194	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( A ` ( m + 1 ) ) = ( A ` ( n + 1 ) ) )
196	194, 195	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) = ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
197		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) = ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) )
198		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. _V
199	196, 197, 198	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN0 -> ( ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) ` n ) = ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
200	199	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN0 -> ( ( ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) x. ( x ^ n ) ) )
201	200	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( n + 1 ) x. ( A ` ( n + 1 ) ) ) x. ( x ^ n ) ) )
202	193, 201	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( x ^ i ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) ` n ) x. ( x ^ n ) ) )
203	187, 202	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( a = x -> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
204	203	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
205		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) = ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) )
206	205	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) = ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ` k ) )
207	206	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> sum_ k e. NN0 ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN0 ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ` k ) )
208	207	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) ) = ( z e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ` k ) )
209		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN0 -> ( m + 1 ) e. NN0 )
210	209	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( m + 1 ) e. NN0 )
211	210	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( m + 1 ) e. CC )
212	140, 210	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( A ` ( m + 1 ) ) e. CC )
213	211, 212	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) e. CC )
214	213, 197	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( m e. NN0 |-> ( ( m + 1 ) x. ( A ` ( m + 1 ) ) ) ) : NN0 --> CC )
215		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = j -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) = ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` j ) )
216	215	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = j -> seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) = seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` j ) ) )
217	216	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( r = j -> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` j ) ) e. dom ~~> ) )
218	217	cbvrabv 3199	. . . . . . . . 9 |- { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } = { j e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` j ) ) e. dom ~~> }
219	218	supeq1i 8353	. . . . . . . 8 |- sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) = sup ( { j e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` j ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
220	205	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) = seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) )
221	220	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) = ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` j ) )
222	221	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) = ( z e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` j ) )
223		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = m -> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` j ) = ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` m ) )
224	223	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( j = m -> ( z e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` j ) ) = ( z e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` m ) ) )
225	222, 224	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( j = m -> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) = ( z e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` m ) ) )
226	225	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) = ( m e. NN0 |-> ( z e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` z ) ) ` m ) ) )
227	18	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) e. RR )
228	6, 13, 7, 14, 15, 16	psercnlem1 24179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( M e. RR+ /\ ( abs ` a ) < M /\ M < R ) )
229	228	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M e. RR+ )
230	229	rpxrd 11873	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M e. RR* )
231	204, 214, 219	radcnvcl 24171	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
232	58, 231	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) e. RR* )
233	228	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) < M )
234		cnvimass 5485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) C_ dom abs
235		absf 14077	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- abs : CC --> RR
236	235	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- dom abs = CC
237	234, 236	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' abs " ( 0 [,) R ) ) C_ CC
238	15, 237	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S C_ CC
239	238	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ CC )
240	239	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. CC )
241	240	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` a ) e. RR )
242	229	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M e. RR )
243		avglt2 11271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs ` a ) e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( abs ` a ) < M <-> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) < M ) )
244	241, 242, 243	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( abs ` a ) < M <-> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) < M ) )
245	233, 244	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) < M )
246	229	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> 0 <_ M )
247	242, 246	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` M ) = M )
248	229	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M e. CC )
249		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = M -> ( w ^ i ) = ( M ^ i ) )
250	249	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = M -> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( w ^ i ) ) = ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) )
251	250	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = M -> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( w ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) ) )
252		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = w -> ( a ^ i ) = ( w ^ i ) )
253	252	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = w -> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) = ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( w ^ i ) ) )
254	253	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = w -> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( w ^ i ) ) ) )
255	254	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) = ( w e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( w ^ i ) ) ) )
256		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN0 e. _V
257	256	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) ) e. _V
258	251, 255, 257	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. CC -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` M ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) ) )
259	248, 258	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` M ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) ) )
260	259	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` M ) ) = seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) ) ) )
261		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = i -> ( A ` n ) = ( A ` i ) )
262		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = i -> ( x ^ n ) = ( x ^ i ) )
263	261, 262	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = i -> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) = ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) ) )
264	263	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) ) )
265		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( x ^ i ) = ( y ^ i ) )
266	265	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) ) = ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) )
267	266	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( i e. NN0 |-> ( ( A ` i ) x. ( x ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) ) )
268	264, 267	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) ) )
269	268	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) ) = ( y e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) ) )
270	6, 269	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( y e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( A ` i ) x. ( y ^ i ) ) ) )
271		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( r = s -> ( G ` r ) = ( G ` s ) )
272	271	seqeq3d 12809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( r = s -> seq 0 ( + , ( G ` r ) ) = seq 0 ( + , ( G ` s ) ) )
273	272	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = s -> ( seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> <-> seq 0 ( + , ( G ` s ) ) e. dom ~~> ) )
274	273	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } = { s e. RR | seq 0 ( + , ( G ` s ) ) e. dom ~~> }
275	274	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( G ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) = sup ( { s e. RR | seq 0 ( + , ( G ` s ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
276	14, 275	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = sup ( { s e. RR | seq 0 ( + , ( G ` s ) ) e. dom ~~> } , RR* , < )
277		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) )
278	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> A : NN0 --> CC )
279	228	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M < R )
280	247, 279	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` M ) < R )
281	270, 276, 277, 278, 248, 280	dvradcnv 24175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( M ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
282	260, 281	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` M ) ) e. dom ~~> )
283	204, 214, 219, 248, 282	radcnvle 24174	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( abs ` M ) <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
284	247, 283	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> M <_ sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
285	19, 230, 232, 245, 284	xrltletrd 11992	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( abs ` a ) + M ) / 2 ) < sup ( { r e. RR | seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` r ) ) e. dom ~~> } , RR* , < ) )
286	204, 208, 214, 219, 226, 227, 285, 45	pserulm 24176	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) ) )
287	22	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> y e. CC )
288		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = y -> ( a ^ i ) = ( y ^ i ) )
289	288	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = y -> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) = ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) )
290	289	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = y -> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) )
291		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) = ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) )
292	256	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) e. _V
293	290, 291, 292	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) )
294	287, 293	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) )
295	294	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) )
296	295	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) = ( ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) ` k ) )
297		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( i + 1 ) = ( k + 1 ) )
298	297	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = k -> ( A ` ( i + 1 ) ) = ( A ` ( k + 1 ) ) )
299	297, 298	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) )
300		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( y ^ i ) = ( y ^ k ) )
301	299, 300	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) )
302		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) )
303		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) e. _V
304	301, 302, 303	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) ` k ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) )
305	304	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) ` k ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) )
306	296, 305	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) )
307	306	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> sum_ k e. NN0 ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) = sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) )
308	307	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) ) = ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
309	286, 308	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
310		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
311		1e0p1 11552	. . . . . . . . 9 |- 1 = ( 0 + 1 )
312	311	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
313	310, 312	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` ( 0 + 1 ) )
314		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> 1 e. ZZ )
315		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> 0 e. ZZ )
316		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN0 )
317	316	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. CC )
318	317	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ i e. NN0 ) -> ( i + 1 ) e. CC )
319	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> A : NN0 --> CC )
320		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ ( i + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ` ( i + 1 ) ) e. CC )
321	319, 316, 320	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ i e. NN0 ) -> ( A ` ( i + 1 ) ) e. CC )
322	318, 321	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) e. CC )
323	287, 155	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ i e. NN0 ) -> ( y ^ i ) e. CC )
324	322, 323	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) e. CC )
325	324, 302	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) : NN0 --> CC )
326	294	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) : NN0 --> CC <-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) : NN0 --> CC ) )
327	325, 326	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) : NN0 --> CC )
328	327	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` m ) e. CC )
329	1, 315, 328	serf 12829	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) -> seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) : NN0 --> CC )
330	329	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ y e. B ) /\ j e. NN0 ) -> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) e. CC )
331	330	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ j e. NN0 ) /\ y e. B ) -> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) e. CC )
332		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) = ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) )
333	331, 332	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ j e. NN0 ) -> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) : B --> CC )
334	32, 34	elmap 7886	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) e. ( CC ^m B ) <-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) : B --> CC )
335	333, 334	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ j e. NN0 ) -> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) e. ( CC ^m B ) )
336		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) = ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) )
337	335, 336	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) : NN0 --> ( CC ^m B ) )
338		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. NN )
339	338	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i =/= 0 )
340	339	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> -. i = 0 )
341	340	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) = ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) )
342	341	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` i ) x. ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) )
343	342	sumeq2i 14429	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ i e. ( 1 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = sum_ i e. ( 1 ... m ) ( ( A ` i ) x. ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) )
344		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> 1 e. ZZ )
345		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
346	345	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> m e. ZZ )
347	278	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> A : NN0 --> CC )
348	338	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> i e. NN0 )
349	347, 348, 149	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
350	338	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. NN )
351	350	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> i e. CC )
352	287	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> y e. CC )
353		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN -> ( i - 1 ) e. NN0 )
354	338, 353	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( 1 ... m ) -> ( i - 1 ) e. NN0 )
355		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. CC /\ ( i - 1 ) e. NN0 ) -> ( y ^ ( i - 1 ) ) e. CC )
356	352, 354, 355	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( y ^ ( i - 1 ) ) e. CC )
357	351, 356	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) e. CC )
358	349, 357	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( A ` i ) x. ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) e. CC )
359		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( A ` i ) = ( A ` ( k + 1 ) ) )
360		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( k + 1 ) -> i = ( k + 1 ) )
361		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( i - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
362	361	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( y ^ ( i - 1 ) ) = ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
363	360, 362	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
364	359, 363	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( A ` i ) x. ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
365	344, 344, 346, 358, 364	fsumshftm 14513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> sum_ i e. ( 1 ... m ) ( ( A ` i ) x. ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 1 - 1 ) ... ( m - 1 ) ) ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
366	343, 365	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> sum_ i e. ( 1 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 1 - 1 ) ... ( m - 1 ) ) ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
367	311	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... m ) = ( ( 0 + 1 ) ... m )
368		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. ZZ -> ( ( 0 + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
369	113, 368	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 + 1 ) ... m ) C_ ( 0 ... m )
370	367, 369	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... m ) C_ ( 0 ... m )
371	370	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> ( 1 ... m ) C_ ( 0 ... m ) )
372	342	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` i ) x. ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) )
373	372, 358	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 1 ... m ) ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
374		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. ( ( 0 ... m ) \ ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) <-> ( i e. ( 0 ... m ) /\ -. i e. ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) )
375		elfzuz2 12346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> m e. ( ZZ>= ` 0 ) )
376		elfzp12 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( i e. ( 0 ... m ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) ) )
377	375, 376	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> ( i e. ( 0 ... m ) <-> ( i = 0 \/ i e. ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) ) )
378	377	ibi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> ( i = 0 \/ i e. ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) )
379	378	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> ( -. i = 0 -> i e. ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) )
380	379	con1d 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. ( 0 ... m ) -> ( -. i e. ( ( 0 + 1 ) ... m ) -> i = 0 ) )
381	380	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. ( 0 ... m ) /\ -. i e. ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) -> i = 0 )
382	374, 381	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( ( 0 ... m ) \ ( ( 0 + 1 ) ... m ) ) -> i = 0 )
383	367	difeq2i 3725	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) = ( ( 0 ... m ) \ ( ( 0 + 1 ) ... m ) )
384	382, 383	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) -> i = 0 )
385	384	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) ) -> i = 0 )
386	385	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) ) -> if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) = 0 )
387	386	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = ( ( A ` i ) x. 0 ) )
388		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) -> i e. ( 0 ... m ) )
389	388, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) -> i e. NN0 )
390	347, 389, 149	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) ) -> ( A ` i ) e. CC )
391	390	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) ) -> ( ( A ` i ) x. 0 ) = 0 )
392	387, 391	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ i e. ( ( 0 ... m ) \ ( 1 ... m ) ) ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = 0 )
393		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
394	371, 373, 392, 393	fsumss 14456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> sum_ i e. ( 1 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) )
395		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 - 1 ) = 0
396	395	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( m - 1 ) ) = ( 0 ... ( m - 1 ) )
397	396	sumeq1i 14428	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. ( ( 1 - 1 ) ... ( m - 1 ) ) ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
398		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) -> k e. NN0 )
399	398	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
400	399, 304	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) ` k ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) )
401	352	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> y e. CC )
402	401, 293	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) = ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) )
403	402	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) = ( ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( y ^ i ) ) ) ` k ) )
404	347	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> A : NN0 --> CC )
405		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
406	399, 405	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
407	404, 406	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( A ` ( k + 1 ) ) e. CC )
408	406	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
409		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( y ^ k ) e. CC )
410	352, 398, 409	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( y ^ k ) e. CC )
411	407, 408, 410	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ k ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
412	399	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> k e. CC )
413		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
414		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
415	412, 413, 414	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
416	415	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( y ^ k ) )
417	416	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( y ^ k ) ) )
418	417	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ k ) ) ) )
419	408, 407, 410	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
420	411, 418, 419	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) )
421	400, 403, 420	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ` k ) = ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
422		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m e. NN -> ( m - 1 ) e. NN0 )
423	422	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) -> ( m - 1 ) e. NN0 )
424	423	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> ( m - 1 ) e. NN0 )
425	424, 1	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> ( m - 1 ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
426	416, 410	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) e. CC )
427	408, 426	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) e. CC )
428	407, 427	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) /\ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ) -> ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) e. CC )
429	421, 425, 428	fsumser 14461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( m - 1 ) ) ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) )
430	397, 429	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> sum_ k e. ( ( 1 - 1 ) ... ( m - 1 ) ) ( ( A ` ( k + 1 ) ) x. ( ( k + 1 ) x. ( y ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) )
431	366, 394, 430	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) /\ y e. B ) -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) = ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) )
432	431	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) -> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) = ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) ) )
433		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( m - 1 ) -> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) = ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) )
434	433	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( m - 1 ) -> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) = ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) ) )
435	34	mptex 6486	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) ) e. _V
436	434, 336, 435	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m - 1 ) e. NN0 -> ( ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) ` ( m - 1 ) ) = ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) ) )
437	423, 436	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) ` ( m - 1 ) ) = ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` ( m - 1 ) ) ) )
438	432, 437	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN ) -> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) = ( ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) ` ( m - 1 ) ) )
439	438	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( m e. NN |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) ` ( m - 1 ) ) ) )
440	1, 313, 4, 314, 337, 439	ulmshft 24144	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( y e. B |-> ( seq 0 ( + , ( ( a e. CC |-> ( i e. NN0 |-> ( ( ( i + 1 ) x. ( A ` ( i + 1 ) ) ) x. ( a ^ i ) ) ) ) ` y ) ) ` j ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) <-> ( m e. NN |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) )
441	309, 440	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( m e. NN |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
442	184, 441	syl5eqbr 4688	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) |` NN ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
443		1nn0 11308	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
444	443	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> 1 e. NN0 )
445		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ y e. B ) -> ( 0 ... m ) e. Fin )
446	171	an32s 846	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ y e. B ) /\ i e. ( 0 ... m ) ) -> ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
447	445, 446	fsumcl 14464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) /\ y e. B ) -> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
448		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) = ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) )
449	447, 448	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) : B --> CC )
450	32, 34	elmap 7886	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) e. ( CC ^m B ) <-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) : B --> CC )
451	449, 450	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ m e. NN0 ) -> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) e. ( CC ^m B ) )
452		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) = ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) )
453	451, 452	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) : NN0 --> ( CC ^m B ) )
454	1, 310, 444, 453	ulmres 24142	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) <-> ( ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) |` NN ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) ) )
455	442, 454	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( m e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... m ) ( ( A ` i ) x. if ( i = 0 , 0 , ( i x. ( y ^ ( i - 1 ) ) ) ) ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
456	181, 455	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( m e. NN0 |-> ( CC _D ( ( k e. NN0 |-> ( y e. B |-> sum_ i e. ( 0 ... k ) ( ( G ` y ) ` i ) ) ) ` m ) ) ) ( ~~> u ` B ) ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )
457	1, 3, 4, 38, 48, 123, 456	ulmdv 24157	1 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( CC _D ( F |` B ) ) = ( y e. B |-> sum_ k e. NN0 ( ( ( k + 1 ) x. ( A ` ( k + 1 ) ) ) x. ( y ^ k ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627   ~~> uculm 24130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131

This theorem is referenced by:  pserdv  24183