Theorem fsumiunss 39807

Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set D. Similar to fsumiun 14553, but here A and B need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumiunss.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
fsumiunss.dj	|- ( ph -> Disj x e. A B )
fsumiunss.c	|- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
fsumiunss.fi	|- ( ph -> D e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fsumiunss	|- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i D ) C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i D ) C )

Distinct variable groups:   A, k, x   B, k   x, C   D, k, x   x, V   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( k)   V( k)

Proof of Theorem fsumiunss

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y ( B i^i D )
2		nfcsb1v 3549	. . . . . 6 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
3		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x D
4	2, 3	nfin 3820	. . . . 5 |- F/_ x ( [_ y / x ]_ B i^i D )
5		csbeq1a 3542	. . . . . 6 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
6	5	ineq1d 3813	. . . . 5 |- ( x = y -> ( B i^i D ) = ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
7	1, 4, 6	cbviun 4557	. . . 4 |- U_ x e. A ( B i^i D ) = U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D )
8	7	sumeq1i 14428	. . 3 |- sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i D ) C = sum_ k e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C
9	8	a1i 11	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i D ) C = sum_ k e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C )
10		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) <-> E. y e. A z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
11	10	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> E. y e. A z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
12		df-rex 2918	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. A z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) <-> E. y ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> E. y ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) )
14		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y z
15		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ y U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D )
16	14, 15	nfel 2777	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D )
17		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> y e. A )
18		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) =/= (/) )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) =/= (/) )
20	17, 19	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> ( y e. A /\ ( [_ y / x ]_ B i^i D ) =/= (/) ) )
21		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x y
22		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ x y e. A
23	22	nfci 2754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x A
24		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ x (/)
25	4, 24	nfne 2894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x ( [_ y / x ]_ B i^i D ) =/= (/)
26	6	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ( B i^i D ) =/= (/) <-> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) =/= (/) ) )
27	21, 23, 25, 26	elrabf 3360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } <-> ( y e. A /\ ( [_ y / x ]_ B i^i D ) =/= (/) ) )
28	20, 27	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } )
29		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
30	28, 29	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) )
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> ( ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) ) )
32	16, 31	eximd 2085	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> ( E. y ( y e. A /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> E. y ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) ) )
33	13, 32	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> E. y ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) )
34		df-rex 2918	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) <-> E. y ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) )
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> E. y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
36		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( z e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) <-> E. y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } z e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
37	35, 36	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> z e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
38	37	rgen 2922	. . . . . 6 |- A. z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) z e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D )
39		dfss3 3592	. . . . . 6 |- ( U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) <-> A. z e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) z e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
40	38, 39	mpbir 221	. . . . 5 |- U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D )
41		elrabi 3359	. . . . . . 7 |- ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } -> y e. A )
42	41	ssriv 3607	. . . . . 6 |- { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } C_ A
43		iunss1 4532	. . . . . 6 |- ( { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } C_ A -> U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . 5 |- U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D )
45	40, 44	eqssi 3619	. . . 4 |- U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) = U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D )
46	45	sumeq1i 14428	. . 3 |- sum_ k e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C = sum_ k e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C
47	46	a1i 11	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U_ y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C = sum_ k e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C )
48		fsumiunss.b	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
49		fsumiunss.dj	. . . . 5 |- ( ph -> Disj x e. A B )
50		fsumiunss.fi	. . . . 5 |- ( ph -> D e. Fin )
51	48, 49, 50	disjinfi 39380	. . . 4 |- ( ph -> { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } e. Fin )
52		inss2 3834	. . . . . . 7 |- ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ D
53	52	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ D )
54		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( D e. Fin /\ ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ D ) -> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) e. Fin )
55	50, 53, 54	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) e. Fin )
56	55	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ) -> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) e. Fin )
57	42	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } C_ A )
58		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ [_ y / x ]_ B
59	58	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ [_ y / x ]_ B
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ [_ y / x ]_ B )
61		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y B
62		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y <-> y = x )
63	62	imbi1i 339	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> B = [_ y / x ]_ B ) )
64		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( B = [_ y / x ]_ B <-> [_ y / x ]_ B = B )
65	64	imbi2i 326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y = x -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B ) )
66	63, 65	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B ) <-> ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B ) )
67	5, 66	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> [_ y / x ]_ B = B )
68	2, 61, 67	cbvdisj 4630	. . . . . . 7 |- (Disj y e. A [_ y / x ]_ B <-> Disj x e. A B )
69	49, 68	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> Disj y e. A [_ y / x ]_ B )
70		disjss2 4623	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C_ [_ y / x ]_ B -> (Disj y e. A [_ y / x ]_ B -> Disj y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) )
71	60, 69, 70	sylc 65	. . . . 5 |- ( ph -> Disj y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
72		disjss1 4626	. . . . 5 |- ( { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } C_ A -> (Disj y e. A ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> Disj y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) )
73	57, 71, 72	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> Disj y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) )
74		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) ) -> ph )
75	41	ad2antrl 764	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) ) -> y e. A )
76	58	sseli 3599	. . . . . . 7 |- ( k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) -> k e. [_ y / x ]_ B )
77	76	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) -> k e. [_ y / x ]_ B )
78	77	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) ) -> k e. [_ y / x ]_ B )
79		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ x ph
80		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x k
81	80, 2	nfel 2777	. . . . . . . 8 |- F/ x k e. [_ y / x ]_ B
82	79, 22, 81	nf3an 1831	. . . . . . 7 |- F/ x ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B )
83		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ x C e. CC
84	82, 83	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ x ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) -> C e. CC )
85		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
86	5	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( k e. B <-> k e. [_ y / x ]_ B ) )
87	85, 86	3anbi23d 1402	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) <-> ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) ) )
88	87	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC ) <-> ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) -> C e. CC ) ) )
89		fsumiunss.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A /\ k e. B ) -> C e. CC )
90	84, 88, 89	chvar 2262	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. A /\ k e. [_ y / x ]_ B ) -> C e. CC )
91	74, 75, 78, 90	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } /\ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) ) ) -> C e. CC )
92	51, 56, 73, 91	fsumiun 14553	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C = sum_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C )
93	67	ineq1d 3813	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( [_ y / x ]_ B i^i D ) = ( B i^i D ) )
94	93	sumeq1d 14431	. . . . 5 |- ( y = x -> sum_ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C = sum_ k e. ( B i^i D ) C )
95		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ x { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) }
96		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) }
97		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x C
98	4, 97	nfsum 14421	. . . . 5 |- F/_ x sum_ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C
99		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y sum_ k e. ( B i^i D ) C
100	94, 95, 96, 98, 99	cbvsum 14425	. . . 4 |- sum_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i D ) C
101	100	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> sum_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i D ) C )
102	92, 101	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. U_ y e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } ( [_ y / x ]_ B i^i D ) C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i D ) C )
103	9, 47, 102	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> sum_ k e. U_ x e. A ( B i^i D ) C = sum_ x e. { x e. A | ( B i^i D ) =/= (/) } sum_ k e. ( B i^i D ) C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   Fincfn 7955   CCcc 9934   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  40632