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| Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > dveflem | Structured version Visualization version Unicode version | ||
Description: Derivative of the
exponential function at 0. The key step in the proof
is eftlub 14839, to show that
              .
(Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario
Carneiro, 28-Dec-2016.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dveflem |
    |
are mutually distinct and distinct from all other
variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | 0cn 10032 |
. . 3
 | |
| 2 | eqid 2622 |
. . . . 5
  ℂfld  ℂfld | |
| 3 | 2 | cnfldtop 22587 |
. . . 4
ℂfld  |
| 4 | 2 | cnfldtopon 22586 |
. . . . . 6
ℂfld TopOn |
| 5 | 4 | toponunii 20721 |
. . . . 5
 ℂfld |
| 6 | 5 | ntrtop 20874 |
. . . 4
ℂfld   ℂfld
|
| 7 | 3, 6 | ax-mp 5 |
. . 3
ℂfld |
| 8 | 1, 7 | eleqtrri 2700 |
. 2
ℂfld |
| 9 | ax-1cn 9994 |
. . 3
| |
| 10 | 1rp 11836 |
. . . . . 6
 | |
| 11 | ifcl 4130 |
. . . . . 6
![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
 | |
| 12 | 10, 11 | mpan2 707 |
. . . . 5
|
| 13 | eldifsn 4317 |
. . . . . . 7
![\](setminus.gif "\"){kind=small}     | |
| 14 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 15 | 14 | subid1d 10381 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 16 | 15 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 17 | 16 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . 10
|
| 18 | 14 | abscld 14175 |
. . . . . . . . . . 11
 |
| 19 | rpre 11839 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 20 | 19 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 21 | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 22 | ltmin 12025 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 23 | 18, 20, 21, 22 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . 10
|
| 24 | 17, 23 | bitrd 268 |
. . . . . . . . 9
|
| 25 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 26 | 25, 13 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 27 | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 28 | 27 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 29 | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 30 | 28, 29 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 31 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 | |
| 32 | ovex 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 | |
| 33 | 30, 31, 32 | fvmpt 6282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 34 | 26, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 35 | 34 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 36 | 35 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 37 | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 38 | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 39 | 37, 38 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 40 | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
| |
| 41 | 39, 40 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 42 | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
| |
| 43 | 41, 37, 42 | divcld 10801 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 44 | 43, 40 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 45 | 44 | abscld 14175 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 46 | 37 | abscld 14175 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 47 | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 48 | 47 | rpred 11872 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 49 | abscl 14018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 50 | 49 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 38 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 52 | subcl 10280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 53 | 51, 9, 52 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 54 | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 55 | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 56 | 53, 54, 55 | divcld 10801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 57 | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 58 | 56, 57 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 59 | 58 | abscld 14175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 60 | 50, 59 | remulcld 10070 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 61 | 50 | resqcld 13035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 62 | 3re 11094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 63 | 4nn 11187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 | |
| 64 | nndivre 11056 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 65 | 62, 63, 64 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 66 | remulcl 10021 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
| |
| 67 | 61, 65, 66 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 68 | 53, 54 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 69 | 68, 54, 55 | divcan2d 10803 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 70 | 53, 54, 54, 55 | divsubdird 10840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 71 | 54, 55 | dividd 10799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 72 | 71 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 73 | 70, 72 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 74 | 73 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 75 | 51, 57, 54 | subsub4d 10423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
 |
| 76 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
 | |
| 77 | df-2 11079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 78 | 1nn0 11308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 79 | 1e0p1 11552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 80 | 0nn0 11307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 81 | 0cnd 10033 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
| |
| 82 | 76 | efval2 14814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
 |
| 83 | 82 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 84 | nn0uz 11722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
 | |
| 85 | 84 | sumeq1i 14428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 86 | 83, 85 | syl6req 2673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 87 | 86 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 88 | 51 | addid2d 10237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 89 | 87, 88 | eqtr2d 2657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 90 | eft0val 14842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 91 | 90 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 92 | 91 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 93 | 92, 79 | syl6eqr 2674 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 94 | 76, 79, 80, 54, 81, 89, 93 | efsep 14840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 95 | exp1 12866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
| |
| 96 | 95 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 97 | 96 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 98 | fac1 13064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 99 | 98 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 100 | 97, 99 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 101 | div1 10716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
| |
| 102 | 101 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 103 | 100, 102 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 104 | 103 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 105 | 76, 77, 78, 54, 57, 94, 104 | efsep 14840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 106 | 105 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 107 | addcl 10018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 108 | 9, 54, 107 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 109 | 2nn0 11309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 110 | 76 | eftlcl 14837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 111 | 54, 109, 110 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 112 | 51, 108, 111 | subaddd 10410 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 113 | 106, 112 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 114 | 75, 113 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 115 | 69, 74, 114 | 3eqtr3d 2664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 116 | 115 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 117 | 54, 58 | absmuld 14193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 118 | 116, 117 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 119 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 120 | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 121 | 2nn 11185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 122 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 123 | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 124 | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 125 | 50, 123, 124 | ltled 10185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 126 | 76, 119, 120, 122, 54, 125 | eftlub 14839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 127 | 118, 126 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 128 | df-3 11080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 129 | fac2 13066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 130 | 129 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 131 | 2t2e4 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 132 | 130, 131 | eqtr2i 2645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 133 | 128, 132 | oveq12i 6662 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 134 | 133 | oveq2i 6661 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 135 | 127, 134 | syl6breqr 4695 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 136 | 65 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 137 | 50 | sqge0d 13036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 138 | 1re 10039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 139 | 3lt4 11197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 140 | 4cn 11098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 141 | 140 | mulid1i 10042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 139, 141 | breqtrri 4680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 4re 11097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 144 | 4pos 11116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
| |
| 145 | 143, 144 | pm3.2i 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 146 | ltdivmul 10898 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 147 | 62, 138, 145, 146 | mp3an 1424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 148 | 142, 147 | mpbir 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 149 | 65, 138, 148 | ltleii 10160 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 150 | 149 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 151 | 136, 123, 61, 137, 150 | lemul2ad 10964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 152 | 50 | recnd 10068 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 153 | 152 | sqcld 13006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 154 | 153 | mulid1d 10057 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 155 | 151, 154 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 156 | 60, 67, 61, 135, 155 | letrd 10194 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 157 | 152 | sqvald 13005 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 158 | 156, 157 | breqtrd 4679 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 159 | absgt0 14064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 160 | 159 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 161 | 55, 160 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 162 | 50, 161 | elrpd 11869 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 163 | 59, 50, 162 | lemul2d 11916 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 164 | 158, 163 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 165 | 164 | ad2ant2l 782 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 166 | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 167 | 45, 46, 48, 165, 166 | lelttrd 10195 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 168 | 36, 167 | eqbrtrd 4675 |
. . . . . . . . . 10
|
| 169 | 168 | ex 450 |
. . . . . . . . 9
|
| 170 | 24, 169 | sylbid 230 |
. . . . . . . 8
|
| 171 | 170 | adantld 483 |
. . . . . . 7
|
| 172 | 13, 171 | sylan2b 492 |
. . . . . 6
|
| 173 | 172 | ralrimiva 2966 |
. . . . 5
|
| 174 | breq2 4657 |
. . . . . . . . 9
| |
| 175 | 174 | anbi2d 740 |
. . . . . . . 8
|
| 176 | 175 | imbi1d 331 |
. . . . . . 7
|
| 177 | 176 | ralbidv 2986 |
. . . . . 6
|
| 178 | 177 | rspcev 3309 |
. . . . 5
 |
| 179 | 12, 173, 178 | syl2anc 693 |
. . . 4
|
| 180 | 179 | rgen 2922 |
. . 3
|
| 181 | eldifi 3732 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 182 | efcl 14813 |
. . . . . . . . . 10
| |
| 183 | 181, 182 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
| 184 | 1cnd 10056 |
. . . . . . . . 9
| |
| 185 | 183, 184 | subcld 10392 |
. . . . . . . 8
|
| 186 | eldifsni 4320 |
. . . . . . . 8
| |
| 187 | 185, 181, 186 | divcld 10801 |
. . . . . . 7
|
| 188 | 31, 187 | fmpti 6383 |
. . . . . 6
  |
| 189 | 188 | a1i 11 |
. . . . 5
 |
| 190 | difssd 3738 |
. . . . 5
 | |
| 191 | 0cnd 10033 |
. . . . 5
| |
| 192 | 189, 190, 191 | ellimc3 23643 |
. . . 4
lim
|
| 193 | 192 | trud 1493 |
. . 3
lim |
| 194 | 9, 180, 193 | mpbir2an 955 |
. 2
lim |
| 195 | 5 | restid 16094 |
. . . . . 6
ℂfld ℂfld
↾t ℂfld |
| 196 | 3, 195 | ax-mp 5 |
. . . . 5
ℂfld ↾t ℂfld |
| 197 | 196 | eqcomi 2631 |
. . . 4
ℂfld ℂfld ↾t |
| 198 | 181 | subid1d 10381 |
. . . . . . 7
|
| 199 | 198 | oveq2d 6666 |
. . . . . 6
|
| 200 | ef0 14821 |
. . . . . . . 8
| |
| 201 | 200 | oveq2i 6661 |
. . . . . . 7
|
| 202 | 201 | oveq1i 6660 |
. . . . . 6
|
| 203 | 199, 202 | syl6req 2673 |
. . . . 5
|
| 204 | 203 | mpteq2ia 4740 |
. . . 4
|
| 205 | ssid 3624 |
. . . . 5
| |
| 206 | 205 | a1i 11 |
. . . 4
|
| 207 | eff 14812 |
. . . . 5
| |
| 208 | 207 | a1i 11 |
. . . 4
|
| 209 | 197, 2, 204, 206, 208, 206 | eldv 23662 |
. . 3
ℂfld
lim |
| 210 | 209 | trud 1493 |
. 2
ℂfld lim |
| 211 | 8, 194, 210 | mpbir2an 955 |
1
|
| Colors of variables: wff setvar class |
| Syntax hints: wi 4
wb 196 wa 384 wceq 1483 wtru 1484 wcel 1990 wne 2794 wral 2912 wrex 2913 cdif 3571 wss 3574 cif 4086 csn 4177 class class class wbr 4653
cmpt 4729 wf 5884 cfv 5888 (class class class)co 6650
cc 9934
cr 9935
cc0 9936
c1 9937
caddc 9939 cmul 9941 clt 10074 cle 10075 cmin 10266 cdiv 10684 cn 11020 c2 11070 c3 11071 c4 11072 cn0 11292 cuz 11687 crp 11832 cexp 12860 cfa 13060 cabs 13974 csu 14416 ce 14792 ↾t crest 16081 ctopn 16082 ℂfldccnfld 19746 ctop 20698 cnt 20821 lim climc 23626 cdv 23627 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-rest 16083 df-topn 16084 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-ntr 20824 df-cnp 21032 df-xms 22125 df-ms 22126 df-limc 23630 df-dv 23631 |
| This theorem is referenced by: dvef 23743 |
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