Theorem bpoly3 14789

Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
bpoly3	|- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )

Proof of Theorem bpoly3

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11310	. . 3 |- 3 e. NN0
2		bpolyval 14780	. . 3 |- ( ( 3 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( X ^ 3 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) ) )
3	1, 2	mpan 706	. 2 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( X ^ 3 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) ) )
4		3m1e2 11137	. . . . . . 7 |- ( 3 - 1 ) = 2
5		df-2 11079	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
6	4, 5	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = ( 1 + 1 )
7	6	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) = ( 0 ... ( 1 + 1 ) )
8	7	sumeq1i 14428	. . . 4 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) )
9		1eluzge0 11732	. . . . . . 7 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
11		0z 11388	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
12		fzpr 12396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
14		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) = 1
15	14	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = ( 0 ... 1 )
16	14	preq2i 4272	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , ( 0 + 1 ) } = { 0 , 1 }
17	13, 15, 16	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . . 11 |- { 0 , 1 } = ( 0 ... 1 )
18	5	sneqi 4188	. . . . . . . . . . 11 |- { 2 } = { ( 1 + 1 ) }
19	17, 18	uneq12i 3765	. . . . . . . . . 10 |- ( { 0 , 1 } u. { 2 } ) = ( ( 0 ... 1 ) u. { ( 1 + 1 ) } )
20		df-tp 4182	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 1 , 2 } = ( { 0 , 1 } u. { 2 } )
21		fzsuc 12388	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) = ( ( 0 ... 1 ) u. { ( 1 + 1 ) } ) )
22	9, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) = ( ( 0 ... 1 ) u. { ( 1 + 1 ) } )
23	19, 20, 22	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) = { 0 , 1 , 2 }
24	23	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) <-> k e. { 0 , 1 , 2 } )
25		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- k e. _V
26	25	eltp 4230	. . . . . . . 8 |- ( k e. { 0 , 1 , 2 } <-> ( k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 ) )
27	24, 26	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) <-> ( k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( 3 _C k ) = ( 3 _C 0 ) )
29		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. NN0 -> ( 3 _C 0 ) = 1 )
30	1, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 _C 0 ) = 1
31	28, 30	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( 3 _C k ) = 1 )
32		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( k BernPoly X ) = ( 0 BernPoly X ) )
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 0 -> ( 3 - k ) = ( 3 - 0 ) )
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 0 -> ( ( 3 - k ) + 1 ) = ( ( 3 - 0 ) + 1 ) )
35		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 3 e. CC
36	35	subid1i 10353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 - 0 ) = 3
37	36	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 - 0 ) + 1 ) = ( 3 + 1 )
38		df-4 11081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 = ( 3 + 1 )
39	37, 38	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 - 0 ) + 1 ) = 4
40	34, 39	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 0 -> ( ( 3 - k ) + 1 ) = 4 )
41	32, 40	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 0 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) = ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) )
42	31, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) ) )
43		bpoly0 14781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 0 BernPoly X ) = 1 )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) = ( 1 / 4 ) )
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( 1 x. ( 1 / 4 ) ) )
46		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 e. CC
47		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . . 13 |- 4 =/= 0
48	46, 47	reccli 10755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 4 ) e. CC
49	48	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 x. ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 4 )
50	45, 49	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) ) = ( 1 / 4 ) )
51	42, 50	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k = 0 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 4 ) )
52	51, 48	syl6eqel 2709	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k = 0 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( 3 _C k ) = ( 3 _C 1 ) )
54		bcn1 13100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. NN0 -> ( 3 _C 1 ) = 3 )
55	1, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 _C 1 ) = 3
56	53, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( 3 _C k ) = 3 )
57		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( k BernPoly X ) = ( 1 BernPoly X ) )
58		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( 3 - k ) = ( 3 - 1 ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( ( 3 - k ) + 1 ) = ( ( 3 - 1 ) + 1 ) )
60		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
61		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( 3 - 1 ) + 1 ) = 3 )
62	35, 60, 61	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 - 1 ) + 1 ) = 3
63	59, 62	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( ( 3 - k ) + 1 ) = 3 )
64	57, 63	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) = ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) )
65	56, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 1 -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 3 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) ) )
66		bpoly1 14782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 BernPoly X ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) = ( ( X - ( 1 / 2 ) ) / 3 ) )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( 3 x. ( ( X - ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) )
69		halfcn 11247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. CC
70		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
71	69, 70	mpan2 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
72		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 =/= 0
73		divcan2 10693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) -> ( 3 x. ( ( X - ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
74	35, 72, 73	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC -> ( 3 x. ( ( X - ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
75	71, 74	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( ( X - ( 1 / 2 ) ) / 3 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
76	68, 75	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
77	65, 76	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k = 1 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( X - ( 1 / 2 ) ) )
78	71	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k = 1 ) -> ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
79	77, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k = 1 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( 3 _C k ) = ( 3 _C 2 ) )
81		bcn2 13106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. NN0 -> ( 3 _C 2 ) = ( ( 3 x. ( 3 - 1 ) ) / 2 ) )
82	1, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 _C 2 ) = ( ( 3 x. ( 3 - 1 ) ) / 2 )
83	4	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 x. ( 3 - 1 ) ) = ( 3 x. 2 )
84	83	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 x. ( 3 - 1 ) ) / 2 ) = ( ( 3 x. 2 ) / 2 )
85		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
86		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 =/= 0
87	35, 85, 86	divcan4i 10772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 x. 2 ) / 2 ) = 3
88	84, 87	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 x. ( 3 - 1 ) ) / 2 ) = 3
89	82, 88	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 _C 2 ) = 3
90	80, 89	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( 3 _C k ) = 3 )
91		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( k BernPoly X ) = ( 2 BernPoly X ) )
92		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 2 -> ( 3 - k ) = ( 3 - 2 ) )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 2 -> ( ( 3 - k ) + 1 ) = ( ( 3 - 2 ) + 1 ) )
94		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 + 1 ) = 3
95	35, 85, 60, 94	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 - 2 ) = 1
96	95	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 3 - 2 ) + 1 ) = ( 1 + 1 )
97	96, 5	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 - 2 ) + 1 ) = 2
98	93, 97	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( ( 3 - k ) + 1 ) = 2 )
99	91, 98	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) )
100	90, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) )
101		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
102		bpolycl 14783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. NN0 /\ X e. CC ) -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
103	101, 102	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) e. CC )
104		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
105		div12 10707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 e. CC /\ ( 2 BernPoly X ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 3 / 2 ) ) )
106	35, 104, 105	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 BernPoly X ) e. CC -> ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 3 / 2 ) ) )
107	103, 106	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 3 / 2 ) ) )
108	35, 85, 86	divcli 10767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 3 / 2 ) e. CC
109		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 BernPoly X ) e. CC /\ ( 3 / 2 ) e. CC ) -> ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 3 / 2 ) ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 BernPoly X ) ) )
110	103, 108, 109	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 2 BernPoly X ) x. ( 3 / 2 ) ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 BernPoly X ) ) )
111		bpoly2 14788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 2 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
112	111	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 BernPoly X ) ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
113		sqcl 12925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( X ^ 2 ) e. CC )
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> X e. CC )
115		6cn 11102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 6 e. CC
116		6re 11101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 6 e. RR
117		6pos 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 < 6
118	116, 117	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 6 =/= 0
119	115, 118	reccli 10755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 6 ) e. CC
120		subsub 10311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X ^ 2 ) e. CC /\ X e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( X ^ 2 ) - ( X - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
121	119, 120	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X ^ 2 ) e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( X ^ 2 ) - ( X - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
122	113, 114, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 2 ) - ( X - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) )
123	122	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( ( X ^ 2 ) - ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( ( ( X ^ 2 ) - X ) + ( 1 / 6 ) ) ) )
124		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( X - ( 1 / 6 ) ) e. CC )
125	119, 124	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( X - ( 1 / 6 ) ) e. CC )
126		subdi 10463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. CC /\ ( X ^ 2 ) e. CC /\ ( X - ( 1 / 6 ) ) e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. ( ( X ^ 2 ) - ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) )
127	108, 126	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X ^ 2 ) e. CC /\ ( X - ( 1 / 6 ) ) e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. ( ( X ^ 2 ) - ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) )
128	113, 125, 127	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( ( X ^ 2 ) - ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) )
129	112, 123, 128	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( 2 BernPoly X ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) )
130	107, 110, 129	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) )
131	100, 130	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k = 2 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) )
132		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. CC /\ ( X ^ 2 ) e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
133	108, 113, 132	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) e. CC )
134		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. CC /\ ( X - ( 1 / 6 ) ) e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) e. CC )
135	108, 125, 134	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) e. CC )
136	133, 135	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) e. CC )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ k = 2 ) -> ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) e. CC )
138	131, 137	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. CC /\ k = 2 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
139	52, 79, 138	3jaodan 1394	. . . . . . 7 |- ( ( X e. CC /\ ( k = 0 \/ k = 1 \/ k = 2 ) ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
140	27, 139	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
141	5	eqeq2i 2634	. . . . . . 7 |- ( k = 2 <-> k = ( 1 + 1 ) )
142	141, 100	sylbir 225	. . . . . 6 |- ( k = ( 1 + 1 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) )
143	10, 140, 142	fsump1 14487	. . . . 5 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) ) )
144	130	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( 3 x. ( ( 2 BernPoly X ) / 2 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
145	15	sumeq1i 14428	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) )
146		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
147		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
148	146, 147	eleqtri 2699	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( ZZ>= ` 0 )
149	148	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> 0 e. ( ZZ>= ` 0 ) )
150	13, 16	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , 1 }
151	150	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) <-> k e. { 0 , 1 } )
152	25	elpr 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { 0 , 1 } <-> ( k = 0 \/ k = 1 ) )
153	151, 152	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) <-> ( k = 0 \/ k = 1 ) )
154	52, 79	jaodan 826	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. CC /\ ( k = 0 \/ k = 1 ) ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
155	153, 154	sylan2b 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. CC /\ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) e. CC )
156	14	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( 0 + 1 ) <-> k = 1 )
157	156, 65	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( 0 + 1 ) -> ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 3 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) ) )
158	149, 155, 157	fsump1 14487	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( 3 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) ) ) )
159	50, 48	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) ) e. CC )
160	42	fsum1 14476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) ) )
161	11, 159, 160	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 x. ( ( 0 BernPoly X ) / 4 ) ) )
162	161, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( 1 / 4 ) )
163	162, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 0 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( 3 x. ( ( 1 BernPoly X ) / 3 ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
164	158, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
165	145, 164	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) )
166	165	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
167		addcl 10018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. CC /\ ( X - ( 1 / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
168	48, 71, 167	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) e. CC )
169	168, 133, 135	addsub12d 10415	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
170	166, 169	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) )
171	135, 168	negsubdi2d 10408	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> -u ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) - ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) )
172		subdi 10463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. CC /\ X e. CC /\ ( 1 / 6 ) e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
173	108, 119, 172	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
174		addsub12 10294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 4 ) e. CC /\ X e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) = ( X + ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
175	48, 69, 174	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) = ( X + ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) ) )
176	173, 175	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) - ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) - ( X + ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) )
177		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 3 / 2 ) x. X ) e. CC )
178	108, 177	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 3 / 2 ) x. X ) e. CC )
179	108, 119	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) e. CC
180		negsub 10329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) e. CC /\ ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) e. CC ) -> ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) + -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
181	178, 179, 180	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) + -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
182	181	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) + -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) - ( X + ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) - ( X + ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) )
183	69, 48	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 4 ) ) = ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) )
184	85, 35, 85	mul12i 10231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. ( 3 x. 2 ) ) = ( 3 x. ( 2 x. 2 ) )
185		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 3 x. 2 ) = 6
186	185	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. ( 3 x. 2 ) ) = ( 2 x. 6 )
187		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 x. 2 ) = 4
188	187	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 x. ( 2 x. 2 ) ) = ( 3 x. 4 )
189	184, 186, 188	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. 6 ) = ( 3 x. 4 )
190	189	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 2 x. 6 ) ) = ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 4 ) )
191	46, 47	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 )
192	35, 72	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 )
193		divcan5 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) /\ ( 3 e. CC /\ 3 =/= 0 ) ) -> ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 4 ) ) = ( 1 / 4 ) )
194	60, 191, 192, 193	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 3 x. 4 ) ) = ( 1 / 4 )
195	190, 194	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 x. 1 ) / ( 2 x. 6 ) ) = ( 1 / 4 )
196	35, 85, 60, 115, 86, 118	divmuldivi 10785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) = ( ( 3 x. 1 ) / ( 2 x. 6 ) )
197		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 x. 1 ) = 2
198	197, 5	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
199	198, 187	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( 1 + 1 ) / 4 )
200		divcan5 10727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
201	60, 104, 104, 200	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 x. 1 ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( 1 / 2 )
202	60, 60, 46, 47	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 + 1 ) / 4 ) = ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) )
203	199, 201, 202	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 / 4 ) + ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 2 )
204	69, 48, 48, 203	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 4 ) ) = ( 1 / 4 )
205	195, 196, 204	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 4 ) ) = ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) )
206	205	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( ( 1 / 2 ) - ( 1 / 4 ) ) = -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) )
207	183, 206	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) = -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) )
208	48, 69	subcli 10357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) e. CC
209	179	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) e. CC
210	208, 209	subeq0i 10361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) - -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) = 0 <-> ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) = -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
211	207, 210	mpbir 221	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) - -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) = 0
212	211	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - X ) - ( ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) - -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - X ) - 0 )
213	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) e. CC )
214	209	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) e. CC )
215	178, 114, 213, 214	subadd4d 10440	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - X ) - ( ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) - -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) ) = ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) + -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) - ( X + ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) )
216		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( ( 3 / 2 ) - 1 ) x. X ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( 1 x. X ) ) )
217	108, 60, 216	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) - 1 ) x. X ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( 1 x. X ) ) )
218		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 3 e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( 3 - 2 ) / 2 ) = ( ( 3 / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) )
219	35, 85, 104, 218	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 - 2 ) / 2 ) = ( ( 3 / 2 ) - ( 2 / 2 ) )
220	95	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 - 2 ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
221		2div2e1 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 / 2 ) = 1
222	221	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 / 2 ) - ( 2 / 2 ) ) = ( ( 3 / 2 ) - 1 )
223	219, 220, 222	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 3 / 2 ) - 1 ) = ( 1 / 2 )
224	223	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 3 / 2 ) - 1 ) x. X ) = ( ( 1 / 2 ) x. X )
225	224	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) - 1 ) x. X ) = ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
226		mulid2 10038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. CC -> ( 1 x. X ) = X )
227	226	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - ( 1 x. X ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - X ) )
228	217, 225, 227	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - X ) = ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
229	228	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - X ) - 0 ) = ( ( ( 1 / 2 ) x. X ) - 0 ) )
230		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ X e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. X ) e. CC )
231	69, 230	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. CC -> ( ( 1 / 2 ) x. X ) e. CC )
232	231	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 2 ) x. X ) - 0 ) = ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
233	229, 232	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) - X ) - 0 ) = ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
234	212, 215, 233	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. CC -> ( ( ( ( 3 / 2 ) x. X ) + -u ( ( 3 / 2 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) - ( X + ( ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
235	176, 182, 234	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . 9 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) - ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
236	235	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( X e. CC -> -u ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) - ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) ) = -u ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
237	171, 236	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( X e. CC -> ( ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) = -u ( ( 1 / 2 ) x. X ) )
238	237	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + ( ( ( 1 / 4 ) + ( X - ( 1 / 2 ) ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + -u ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
239	133, 231	negsubd 10398	. . . . . 6 |- ( X e. CC -> ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) + -u ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
240	170, 238, 239	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( X e. CC -> ( sum_ k e. ( 0 ... 1 ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) + ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X - ( 1 / 6 ) ) ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
241	143, 144, 240	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 1 + 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
242	8, 241	syl5eq 2668	. . 3 |- ( X e. CC -> sum_ k e. ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) = ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
243	242	oveq2d 6666	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 3 ) - sum_ k e. ( 0 ... ( 3 - 1 ) ) ( ( 3 _C k ) x. ( ( k BernPoly X ) / ( ( 3 - k ) + 1 ) ) ) ) = ( ( X ^ 3 ) - ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) )
244		expcl 12878	. . . 4 |- ( ( X e. CC /\ 3 e. NN0 ) -> ( X ^ 3 ) e. CC )
245	1, 244	mpan2 707	. . 3 |- ( X e. CC -> ( X ^ 3 ) e. CC )
246	245, 133, 231	subsubd 10420	. 2 |- ( X e. CC -> ( ( X ^ 3 ) - ( ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) - ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )
247	3, 243, 246	3eqtrd 2660	1 |- ( X e. CC -> ( 3 BernPoly X ) = ( ( ( X ^ 3 ) - ( ( 3 / 2 ) x. ( X ^ 2 ) ) ) + ( ( 1 / 2 ) x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   u. cun 3572   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   _C cbc 13089   sum_csu 14416   BernPoly cbp 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-bpoly 14778

This theorem is referenced by:  bpoly4  14790