Theorem dvtaylp 24124

Description: The derivative of the Taylor polynomial is the Taylor polynomial of the derivative of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvtaylp.s	|- ( ph -> S e. { RR , CC } )
dvtaylp.f	|- ( ph -> F : A --> CC )
dvtaylp.a	|- ( ph -> A C_ S )
dvtaylp.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
dvtaylp.b	|- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dvtaylp	|- ( ph -> ( CC _D ( ( N + 1 ) ( S Tayl F ) B ) ) = ( N ( S Tayl ( S _D F ) ) B ) )

Proof of Theorem dvtaylp

Dummy variables j k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. _V
2		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	cnfldtopon 22586	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
4	3	toponunii 20721	. . . . . . 7 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
5	4	restid 16094	. . . . . 6 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. _V -> ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld ) )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC ) = ( TopOpen ` ℂfld )
7	6	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t CC )
8		cnelprrecn 10029	. . . . 5 |- CC e. { RR , CC }
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> CC e. { RR , CC } )
10		toponmax 20730	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
11	3, 10	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
12		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
13		dvtaylp.s	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. { RR , CC } )
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
15		cnex 10017	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> CC e. _V )
17		dvtaylp.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> CC )
18		dvtaylp.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ S )
19		elpm2r 7875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC e. _V /\ S e. { RR , CC } ) /\ ( F : A --> CC /\ A C_ S ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
20	16, 13, 17, 18, 19	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. ( CC ^pm S ) )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
22		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
24		dvnf 23690	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( S Dn F ) ` k ) : dom ( ( S Dn F ) ` k ) --> CC )
25	14, 21, 23, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( S Dn F ) ` k ) : dom ( ( S Dn F ) ` k ) --> CC )
26		0z 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
27		dvtaylp.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN0 )
28		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
30	29	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ZZ )
31		fzval2 12329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) = ( ( 0 [,] ( N + 1 ) ) i^i ZZ ) )
32	26, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) = ( ( 0 [,] ( N + 1 ) ) i^i ZZ ) )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) <-> k e. ( ( 0 [,] ( N + 1 ) ) i^i ZZ ) ) )
34	33	biimpa 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ( ( 0 [,] ( N + 1 ) ) i^i ZZ ) )
35		dvtaylp.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) )
36	13, 17, 18, 29, 35	taylplem1 24117	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( 0 [,] ( N + 1 ) ) i^i ZZ ) ) -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` k ) )
37	34, 36	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. dom ( ( S Dn F ) ` k ) )
38	25, 37	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) e. CC )
39		faccl 13070	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
40	23, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
41	40	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
42	40	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` k ) =/= 0 )
43	38, 41, 42	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
44	43	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
45		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
46		recnprss 23668	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. { RR , CC } -> S C_ CC )
47	13, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ CC )
48	18, 47	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A C_ CC )
49		dvnbss 23691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> dom ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) C_ dom F )
50	13, 20, 29, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) C_ dom F )
51		fdm 6051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : A --> CC -> dom F = A )
52	17, 51	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = A )
53	50, 52	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) C_ A )
54	53, 35	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. A )
55	48, 54	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. CC )
56	55	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
57	45, 56	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
58	22	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> k e. NN0 )
59	57, 58	expcld 13008	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ^ k ) e. CC )
60	44, 59	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( x - B ) ^ k ) ) e. CC )
61		0cnd 10033	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ k = 0 ) -> 0 e. CC )
62	58	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> k e. CC )
63	62	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. CC )
64	57	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( x - B ) e. CC )
65	58	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN0 )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> -. k = 0 )
67	66	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k =/= 0 )
68		elnnne0 11306	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN <-> ( k e. NN0 /\ k =/= 0 ) )
69	65, 67, 68	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> k e. NN )
70		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
71	69, 70	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
72	64, 71	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
73	63, 72	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) /\ -. k = 0 ) -> ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
74	61, 73	ifclda 4120	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
75	44, 74	mulcld 10060	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
76	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> CC e. { RR , CC } )
77	59	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> ( ( x - B ) ^ k ) e. CC )
78	74	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
79	57	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> ( x - B ) e. CC )
80		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
81		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ y e. CC ) -> y e. CC )
82	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ y e. CC ) -> k e. NN0 )
83	81, 82	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ y e. CC ) -> ( y ^ k ) e. CC )
84		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
85		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( k x. ( y ^ ( k - 1 ) ) ) e. _V
86	84, 85	ifex 4156	. . . . . . . 8 |- if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( y ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. _V
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ y e. CC ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( y ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. _V )
88		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> x e. CC )
89	76	dvmptid 23720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
90	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> B e. CC )
91		0cnd 10033	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> 0 e. CC )
92	55	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. CC )
93	76, 92	dvmptc 23721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> B ) ) = ( x e. CC |-> 0 ) )
94	76, 88, 80, 89, 90, 91, 93	dvmptsub 23730	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x - B ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
95		1m0e1 11131	. . . . . . . . 9 |- ( 1 - 0 ) = 1
96	95	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
97	94, 96	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x - B ) ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
98		dvexp2 23717	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y ^ k ) ) ) = ( y e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( y ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
99	23, 98	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( y ^ k ) ) ) = ( y e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( y ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
100		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( y = ( x - B ) -> ( y ^ k ) = ( ( x - B ) ^ k ) )
101		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( x - B ) -> ( y ^ ( k - 1 ) ) = ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) )
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = ( x - B ) -> ( k x. ( y ^ ( k - 1 ) ) ) = ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
103	102	ifeq2d 4105	. . . . . . 7 |- ( y = ( x - B ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( y ^ ( k - 1 ) ) ) ) = if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
104	76, 76, 79, 80, 83, 87, 97, 99, 100, 103	dvmptco 23735	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( x - B ) ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. 1 ) ) )
105	78	mulid1d 10057	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) /\ x e. CC ) -> ( if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. 1 ) = if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
106	105	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) x. 1 ) ) = ( x e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
107	104, 106	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( x - B ) ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
108	76, 77, 78, 107, 43	dvmptcmul 23727	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( x - B ) ^ k ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
109	7, 2, 9, 11, 12, 60, 75, 108	dvmptfsum 23738	. . 3 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( x - B ) ^ k ) ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) )
110		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> 1 e. ZZ )
111		0zd 11389	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> 0 e. ZZ )
112	27	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
113	112	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> N e. ZZ )
114		dvfg 23670	. . . . . . . 8 |- ( S e. { RR , CC } -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
115	13, 114	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( S _D F ) : dom ( S _D F ) --> CC )
116	47, 17, 18	dvbss 23665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ A )
117	116, 18	sstrd 3613	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ S )
118		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN0
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
120		dvnadd 23692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ ( 1 e. NN0 /\ N e. NN0 ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) ` N ) = ( ( S Dn F ) ` ( 1 + N ) ) )
121	13, 20, 119, 27, 120	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) ` N ) = ( ( S Dn F ) ` ( 1 + N ) ) )
122		dvn1 23689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ CC /\ F e. ( CC ^pm S ) ) -> ( ( S Dn F ) ` 1 ) = ( S _D F ) )
123	47, 20, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` 1 ) = ( S _D F ) )
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) = ( S Dn ( S _D F ) ) )
125	124	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) ` N ) = ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` N ) )
126		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
127	27	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
128	126, 127	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + N ) = ( N + 1 ) )
129	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S Dn F ) ` ( 1 + N ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) )
130	121, 125, 129	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` N ) = ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) )
131	130	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` N ) = dom ( ( S Dn F ) ` ( N + 1 ) ) )
132	35, 131	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. dom ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` N ) )
133	13, 115, 117, 27, 132	taylplem2 24118	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ j e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) x. ( ( x - B ) ^ j ) ) e. CC )
134		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) = ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) )
135	134	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) = ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) )
136		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k - 1 ) ) )
137	135, 136	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) = ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) )
138		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( x - B ) ^ j ) = ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) )
139	137, 138	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( j = ( k - 1 ) -> ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) x. ( ( x - B ) ^ j ) ) = ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
140	110, 111, 113, 133, 139	fsumshft 14512	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) x. ( ( x - B ) ^ j ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
141		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN )
142	141	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN )
143	142	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> k =/= 0 )
144		ifnefalse 4098	. . . . . . . . . 10 |- ( k =/= 0 -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
146	145	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
147		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ph )
148		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
149		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) )
151	150	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
152	151	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
153	147, 152, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
154	142	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. CC )
155		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> x e. CC )
156	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. CC )
157	155, 156	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( x - B ) e. CC )
158	142, 70	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. NN0 )
159	157, 158	expcld 13008	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
160	153, 154, 159	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. k ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
161		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
162	158, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. ( ( k - 1 ) + 1 ) ) )
163		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. CC )
164	154, 163	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( k - 1 ) + 1 ) = k )
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ! ` k ) )
166	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. ( ( k - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. k ) )
167	162, 165, 166	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` k ) = ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. k ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) x. k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) x. k ) / ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. k ) ) )
169	23	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. CC )
170	38, 169, 41, 42	div23d 10838	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) x. k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. k ) )
171	147, 152, 170	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) x. k ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. k ) )
172	147, 152, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) e. CC )
173		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( k - 1 ) ) e. NN )
174	158, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` ( k - 1 ) ) e. NN )
175	174	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` ( k - 1 ) ) e. CC )
176	174	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ! ` ( k - 1 ) ) =/= 0 )
177	172, 175, 154, 176, 143	divcan5rd 10828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) x. k ) / ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. k ) ) = ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) )
178	13	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> S e. { RR , CC } )
179	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> F e. ( CC ^pm S ) )
180	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> 1 e. NN0 )
181		dvnadd 23692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( S e. { RR , CC } /\ F e. ( CC ^pm S ) ) /\ ( 1 e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) ` ( k - 1 ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( 1 + ( k - 1 ) ) ) )
182	178, 179, 180, 158, 181	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) ` ( k - 1 ) ) = ( ( S Dn F ) ` ( 1 + ( k - 1 ) ) ) )
183	123	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( S Dn F ) ` 1 ) = ( S _D F ) )
184	183	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) = ( S Dn ( S _D F ) ) )
185	184	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( S Dn ( ( S Dn F ) ` 1 ) ) ` ( k - 1 ) ) = ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) )
186	163, 154	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( 1 + ( k - 1 ) ) = k )
187	186	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( S Dn F ) ` ( 1 + ( k - 1 ) ) ) = ( ( S Dn F ) ` k ) )
188	182, 185, 187	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( S Dn F ) ` k ) = ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) )
189	188	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) = ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) )
190	189	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) )
191	177, 190	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) x. k ) / ( ( ! ` ( k - 1 ) ) x. k ) ) = ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) )
192	168, 171, 191	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. k ) = ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) )
193	192	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. k ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) = ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
194	146, 160, 193	3eqtr2d 2662	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
195	194	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
196		0p1e1 11132	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 1 ) = 1
197	196	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) = ( 1 ... ( N + 1 ) )
198	197	sumeq1i 14428	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) )
199	195, 198	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` ( k - 1 ) ) ` B ) / ( ! ` ( k - 1 ) ) ) x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) )
200	150	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( 1 ... ( N + 1 ) ) C_ ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
201	78	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
202	151, 201	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) e. CC )
203	153, 202	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) e. CC )
204		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
205	68	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. NN0 /\ k =/= 0 ) -> k e. NN )
206	22, 205	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ k =/= 0 ) -> k e. NN )
207		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
208	206, 207	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ k =/= 0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
209		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` k ) )
210	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ k =/= 0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` k ) )
211		elfzuzb 12336	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) <-> ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` k ) ) )
212	208, 210, 211	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ k =/= 0 ) -> k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) )
213	212	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( k =/= 0 -> k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
214	213	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k =/= 0 -> k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) )
215	214	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( -. k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) -> k = 0 ) )
216	215	impr 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) /\ -. k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k = 0 )
217	204, 216	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> k = 0 )
218	217	iftrued 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) = 0 )
219	218	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. 0 ) )
220		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) )
221	43	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
222	220, 221	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
223	222	mul01d 10235	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. 0 ) = 0 )
224	219, 223	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( N + 1 ) ) \ ( 1 ... ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = 0 )
225		fzfid 12772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin )
226	200, 203, 224, 225	fsumss 14456	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
227	140, 199, 226	3eqtr2rd 2663	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) x. ( ( x - B ) ^ j ) ) )
228	227	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. if ( k = 0 , 0 , ( k x. ( ( x - B ) ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) x. ( ( x - B ) ^ j ) ) ) )
229	109, 228	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( x - B ) ^ k ) ) ) ) = ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) x. ( ( x - B ) ^ j ) ) ) )
230		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( N + 1 ) ( S Tayl F ) B ) = ( ( N + 1 ) ( S Tayl F ) B )
231	13, 17, 18, 29, 35, 230	taylpfval 24119	. . 3 |- ( ph -> ( ( N + 1 ) ( S Tayl F ) B ) = ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( x - B ) ^ k ) ) ) )
232	231	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( CC _D ( ( N + 1 ) ( S Tayl F ) B ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ( ( ( ( ( S Dn F ) ` k ) ` B ) / ( ! ` k ) ) x. ( ( x - B ) ^ k ) ) ) ) )
233		eqid 2622	. . 3 |- ( N ( S Tayl ( S _D F ) ) B ) = ( N ( S Tayl ( S _D F ) ) B )
234	13, 115, 117, 27, 132, 233	taylpfval 24119	. 2 |- ( ph -> ( N ( S Tayl ( S _D F ) ) B ) = ( x e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... N ) ( ( ( ( ( S Dn ( S _D F ) ) ` j ) ` B ) / ( ! ` j ) ) x. ( ( x - B ) ^ j ) ) ) )
235	229, 232, 234	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( CC _D ( ( N + 1 ) ( S Tayl F ) B ) ) = ( N ( S Tayl ( S _D F ) ) B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   sum_csu 14416   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   _D cdv 23627   Dncdvn 23628   Tayl ctayl 24107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tsms 21930  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-tayl 24109

This theorem is referenced by:  dvntaylp  24125