Theorem sumodd 15111

Description: If every term in a sum is odd, then the sum is even iff the number of terms in the sum is even. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeven.a	|- ( ph -> A e. Fin )
sumeven.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
sumodd.o	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. 2 || B )

Assertion

Ref	Expression
sumodd	|- ( ph -> ( 2 || ( # ` A ) <-> 2 || sum_ k e. A B ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem sumodd

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = ( # ` (/) ) )
2		hash0 13158	. . . . 5 |- ( # ` (/) ) = 0
3	1, 2	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( # ` x ) = 0 )
4	3	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = (/) -> ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || 0 ) )
5		sumeq1 14419	. . . . 5 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. (/) B )
6		sum0 14452	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) B = 0
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = 0 )
8	7	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = (/) -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || 0 ) )
9	4, 8	bibi12d 335	. 2 |- ( x = (/) -> ( ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || sum_ k e. x B ) <-> ( 2 || 0 <-> 2 || 0 ) ) )
10		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = y -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
11	10	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = y -> ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || ( # ` y ) ) )
12		sumeq1 14419	. . . 4 |- ( x = y -> sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
13	12	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = y -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || sum_ k e. y B ) )
14	11, 13	bibi12d 335	. 2 |- ( x = y -> ( ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || sum_ k e. x B ) <-> ( 2 || ( # ` y ) <-> 2 || sum_ k e. y B ) ) )
15		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( y u. { z } ) ) )
16	15	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || ( # ` ( y u. { z } ) ) ) )
17		sumeq1 14419	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
18	17	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
19	16, 18	bibi12d 335	. 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || sum_ k e. x B ) <-> ( 2 || ( # ` ( y u. { z } ) ) <-> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
20		fveq2 6191	. . . 4 |- ( x = A -> ( # ` x ) = ( # ` A ) )
21	20	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = A -> ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || ( # ` A ) ) )
22		sumeq1 14419	. . . 4 |- ( x = A -> sum_ k e. x B = sum_ k e. A B )
23	22	breq2d 4665	. . 3 |- ( x = A -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || sum_ k e. A B ) )
24	21, 23	bibi12d 335	. 2 |- ( x = A -> ( ( 2 || ( # ` x ) <-> 2 || sum_ k e. x B ) <-> ( 2 || ( # ` A ) <-> 2 || sum_ k e. A B ) ) )
25		biidd 252	. 2 |- ( ph -> ( 2 || 0 <-> 2 || 0 ) )
26		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( A \ y ) -> z e. A )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> z e. A )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
29		sumeven.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
30	29	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
31	30	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. ZZ )
32		rspcsbela 4006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
33	28, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
34		sumodd.o	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> -. 2 || B )
35	34	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. A -. 2 || B )
36		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k 2
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k ||
38		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
39	36, 37, 38	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k 2 || [_ z / k ]_ B
40	39	nfn 1784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k -. 2 || [_ z / k ]_ B
41		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
42	41	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = z -> ( 2 || B <-> 2 || [_ z / k ]_ B ) )
43	42	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( -. 2 || B <-> -. 2 || [_ z / k ]_ B ) )
44	40, 43	rspc 3303	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. A -> ( A. k e. A -. 2 || B -> -. 2 || [_ z / k ]_ B ) )
45	26, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( A \ y ) -> ( A. k e. A -. 2 || B -> -. 2 || [_ z / k ]_ B ) )
46	35, 45	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( z e. ( A \ y ) -> -. 2 || [_ z / k ]_ B ) )
47	46	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y C_ A -> ( z e. ( A \ y ) -> -. 2 || [_ z / k ]_ B ) ) )
48	47	imp32 449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. 2 || [_ z / k ]_ B )
49	33, 48	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ -. 2 || [_ z / k ]_ B ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ -. 2 || [_ z / k ]_ B ) )
51		sumeven.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. Fin )
52		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> y e. Fin )
53	52	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ A -> ( A e. Fin -> y e. Fin ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( A e. Fin -> y e. Fin ) )
55	51, 54	syl5com 31	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> y e. Fin ) )
56	55	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
57		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
58		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
61	60	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
62	57, 61, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
63	56, 62	fsumzcl 14466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. y B e. ZZ )
64	63	anim1i 592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> ( sum_ k e. y B e. ZZ /\ 2 || sum_ k e. y B ) )
65		opeo 15089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ -. 2 || [_ z / k ]_ B ) /\ ( sum_ k e. y B e. ZZ /\ 2 || sum_ k e. y B ) ) -> -. 2 || ( [_ z / k ]_ B + sum_ k e. y B ) )
66	50, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> -. 2 || ( [_ z / k ]_ B + sum_ k e. y B ) )
67	63	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. y B e. CC )
68	33	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
69		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( sum_ k e. y B e. CC /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) = ( [_ z / k ]_ B + sum_ k e. y B ) )
70	69	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( sum_ k e. y B e. CC /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> ( 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) <-> 2 || ( [_ z / k ]_ B + sum_ k e. y B ) ) )
71	70	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ k e. y B e. CC /\ [_ z / k ]_ B e. CC ) -> ( -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) <-> -. 2 || ( [_ z / k ]_ B + sum_ k e. y B ) ) )
72	67, 68, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) <-> -. 2 || ( [_ z / k ]_ B + sum_ k e. y B ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> ( -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) <-> -. 2 || ( [_ z / k ]_ B + sum_ k e. y B ) ) )
74	66, 73	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
75	74	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 2 || sum_ k e. y B -> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
76	63	anim1i 592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ -. 2 || sum_ k e. y B ) -> ( sum_ k e. y B e. ZZ /\ -. 2 || sum_ k e. y B ) )
77	49	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ -. 2 || sum_ k e. y B ) -> ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ -. 2 || [_ z / k ]_ B ) )
78		opoe 15087	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sum_ k e. y B e. ZZ /\ -. 2 || sum_ k e. y B ) /\ ( [_ z / k ]_ B e. ZZ /\ -. 2 || [_ z / k ]_ B ) ) -> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
79	76, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ -. 2 || sum_ k e. y B ) -> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
80	79	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( -. 2 || sum_ k e. y B -> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
81	80	con1d 139	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) -> 2 || sum_ k e. y B ) )
82	75, 81	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 2 || sum_ k e. y B <-> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
83		bitr3 342	. . . . 5 |- ( ( 2 || sum_ k e. y B <-> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) -> ( ( 2 || sum_ k e. y B <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) -> ( -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) ) )
84	82, 83	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( 2 || sum_ k e. y B <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) -> ( -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) ) )
85		bicom 212	. . . 4 |- ( ( -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> 2 || sum_ k e. y B ) <-> ( 2 || sum_ k e. y B <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
86		bicom 212	. . . 4 |- ( ( -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) <-> ( -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
87	84, 85, 86	3imtr4g 285	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> 2 || sum_ k e. y B ) -> ( -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) ) )
88		notnotb 304	. . . . 5 |- ( 2 || ( # ` y ) <-> -. -. 2 || ( # ` y ) )
89		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( y e. Fin -> ( # ` y ) e. NN0 )
90	56, 89	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( # ` y ) e. NN0 )
91	90	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( # ` y ) e. ZZ )
92		oddp1even 15068	. . . . . . 7 |- ( ( # ` y ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( # ` y ) <-> 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( -. 2 || ( # ` y ) <-> 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
94	93	notbid 308	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( -. -. 2 || ( # ` y ) <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
95	88, 94	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 2 || ( # ` y ) <-> -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
96	95	bibi1d 333	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( 2 || ( # ` y ) <-> 2 || sum_ k e. y B ) <-> ( -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> 2 || sum_ k e. y B ) ) )
97		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
98		eldifn 3733	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( A \ y ) -> -. z e. y )
99	98	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> -. z e. y )
100	99	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
101	56, 100	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y e. Fin /\ -. z e. y ) )
102		hashunsng 13181	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A \ y ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( # ` ( y u. { z } ) ) = ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
103	97, 101, 102	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( # ` ( y u. { z } ) ) = ( ( # ` y ) + 1 ) )
104	103	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 2 || ( # ` ( y u. { z } ) ) <-> 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) ) )
105		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
106	105	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. _V )
107		df-nel 2898	. . . . . . . 8 |- ( z e/ y <-> -. z e. y )
108	100, 107	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e/ y )
109		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
110		elun 3753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( y u. { z } ) <-> ( k e. y \/ k e. { z } ) )
111	59	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. y -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
112		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. { z } -> k = z )
113		eleq1w 2684	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( k e. A <-> z e. A ) )
114	27, 113	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
115	112, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { z } -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
116	111, 115	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. y \/ k e. { z } ) -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
117	110, 116	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( y u. { z } ) -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
118	117	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) -> k e. A ) )
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) -> k e. A ) )
120	119	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
121	109, 120, 29	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. ZZ )
122	121	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
123		fsumsplitsnun 14484	. . . . . . 7 |- ( ( y e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ y ) /\ A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
124	56, 106, 108, 122, 123	syl121anc 1331	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
125	124	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B <-> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
126	104, 125	bibi12d 335	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( 2 || ( # ` ( y u. { z } ) ) <-> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) <-> ( 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) ) )
127		notbi 309	. . . 4 |- ( ( 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) <-> ( -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
128	126, 127	syl6bb 276	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( 2 || ( # ` ( y u. { z } ) ) <-> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) <-> ( -. 2 || ( ( # ` y ) + 1 ) <-> -. 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) ) )
129	87, 96, 128	3imtr4d 283	. 2 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( 2 || ( # ` y ) <-> 2 || sum_ k e. y B ) -> ( 2 || ( # ` ( y u. { z } ) ) <-> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) ) )
130	9, 14, 19, 24, 25, 129, 51	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> ( 2 || ( # ` A ) <-> 2 || sum_ k e. A B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   #chash 13117   sum_csu 14416   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  evensumodd  15112  oddsumodd  15113  vtxdgoddnumeven  26449