Theorem sumeven 15110

Description: If every term in a sum is even, then so is the sum. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeven.a	|- ( ph -> A e. Fin )
sumeven.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
sumeven.e	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 2 || B )

Assertion

Ref	Expression
sumeven	|- ( ph -> 2 || sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem sumeven

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 14419	. . 3 |- ( x = (/) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. (/) B )
2	1	breq2d 4665	. 2 |- ( x = (/) -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || sum_ k e. (/) B ) )
3		sumeq1 14419	. . 3 |- ( x = y -> sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
4	3	breq2d 4665	. 2 |- ( x = y -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || sum_ k e. y B ) )
5		sumeq1 14419	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
6	5	breq2d 4665	. 2 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
7		sumeq1 14419	. . 3 |- ( x = A -> sum_ k e. x B = sum_ k e. A B )
8	7	breq2d 4665	. 2 |- ( x = A -> ( 2 || sum_ k e. x B <-> 2 || sum_ k e. A B ) )
9		z0even 15103	. . . 4 |- 2 || 0
10		sum0 14452	. . . 4 |- sum_ k e. (/) B = 0
11	9, 10	breqtrri 4680	. . 3 |- 2 || sum_ k e. (/) B
12	11	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 2 || sum_ k e. (/) B )
13		2z 11409	. . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 2 e. ZZ )
15		sumeven.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Fin )
16		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> y e. Fin )
17	16	expcom 451	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ A -> ( A e. Fin -> y e. Fin ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( A e. Fin -> y e. Fin ) )
19	15, 18	mpan9 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
20		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
21		ssel 3597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) )
24	23	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
25		sumeven.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
26	20, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ )
27	19, 26	fsumzcl 14466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. y B e. ZZ )
28		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( A \ y ) -> z e. A )
29	28	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> z e. A )
30	29	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
31	25	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. ZZ )
32	31	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. A B e. ZZ )
33		rspcsbela 4006	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
34	30, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. ZZ )
35	14, 27, 34	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 2 e. ZZ /\ sum_ k e. y B e. ZZ /\ [_ z / k ]_ B e. ZZ ) )
36	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> ( 2 e. ZZ /\ sum_ k e. y B e. ZZ /\ [_ z / k ]_ B e. ZZ ) )
37		sumeven.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 2 || B )
38	37	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A 2 || B )
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k 2
40		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ||
41		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
42	39, 40, 41	nfbr 4699	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k 2 || [_ z / k ]_ B
43		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
44	43	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> ( 2 || B <-> 2 || [_ z / k ]_ B ) )
45	42, 44	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. A -> ( A. k e. A 2 || B -> 2 || [_ z / k ]_ B ) )
46	28, 38, 45	syl2imc 41	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. ( A \ y ) -> 2 || [_ z / k ]_ B ) )
47	46	a1d 25	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y C_ A -> ( z e. ( A \ y ) -> 2 || [_ z / k ]_ B ) ) )
48	47	imp32 449	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> 2 || [_ z / k ]_ B )
49	48	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> ( 2 || [_ z / k ]_ B /\ 2 || sum_ k e. y B ) )
50	49	ancomd 467	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> ( 2 || sum_ k e. y B /\ 2 || [_ z / k ]_ B ) )
51		dvds2add 15015	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ sum_ k e. y B e. ZZ /\ [_ z / k ]_ B e. ZZ ) -> ( ( 2 || sum_ k e. y B /\ 2 || [_ z / k ]_ B ) -> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) ) )
52	36, 50, 51	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> 2 || ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
53		vex 3203	. . . . . . 7 |- z e. _V
54	53	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. _V )
55		eldif 3584	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( A \ y ) <-> ( z e. A /\ -. z e. y ) )
56		df-nel 2898	. . . . . . . . . 10 |- ( z e/ y <-> -. z e. y )
57	56	biimpri 218	. . . . . . . . 9 |- ( -. z e. y -> z e/ y )
58	55, 57	simplbiim 659	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( A \ y ) -> z e/ y )
59	58	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> z e/ y )
60	59	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e/ y )
61		simpll 790	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> ph )
62		elun 3753	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( y u. { z } ) <-> ( k e. y \/ k e. { z } ) )
63	22	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. y -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
64		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. { z } -> k = z )
65		eleq1w 2684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( k e. A <-> z e. A ) )
66	29, 65	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = z -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { z } -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
68	63, 67	jaoi 394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. y \/ k e. { z } ) -> ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> k e. A ) )
69	68	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( ( k e. y \/ k e. { z } ) -> k e. A ) )
70	62, 69	syl5bi 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) -> k e. A ) )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. ( y u. { z } ) -> k e. A ) )
72	71	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. A )
73	61, 72, 25	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> B e. ZZ )
74	73	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ )
75		fsumsplitsnun 14484	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ ( z e. _V /\ z e/ y ) /\ A. k e. ( y u. { z } ) B e. ZZ ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
76	19, 54, 60, 74, 75	syl121anc 1331	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
77	76	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) B = ( sum_ k e. y B + [_ z / k ]_ B ) )
78	52, 77	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ 2 || sum_ k e. y B ) -> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B )
79	78	ex 450	. 2 |- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( 2 || sum_ k e. y B -> 2 || sum_ k e. ( y u. { z } ) B ) )
80	2, 4, 6, 8, 12, 79, 15	findcard2d 8202	1 |- ( ph -> 2 || sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   + caddc 9939   2c2 11070   ZZcz 11377   sum_csu 14416   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  vtxdgoddnumeven  26449