Theorem tchcphlem2 23035

Description: Lemma for tchcph 23036: homogeneity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tchval.n	|- G = (toCHil ` W )
tchcph.v	|- V = ( Base ` W )
tchcph.f	|- F = (Scalar ` W )
tchcph.1	|- ( ph -> W e. PreHil )
tchcph.2	|- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
tchcph.h	|- ., = ( .i ` W )
tchcph.3	|- ( ( ph /\ ( x e. K /\ x e. RR /\ 0 <_ x ) ) -> ( sqr ` x ) e. K )
tchcph.4	|- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
tchcph.k	|- K = ( Base ` F )
tchcph.s	|- .x. = ( .s ` W )
tchcphlem2.3	|- ( ph -> X e. K )
tchcphlem2.4	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
tchcphlem2	|- ( ph -> ( sqr ` ( ( X .x. Y ) ., ( X .x. Y ) ) ) = ( ( abs ` X ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .,   x, F   x, G   x, V   ph, x   x, W   x, .x.   x, X   x, Y

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem tchcphlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tchval.n	. . . . . . 7 |- G = (toCHil ` W )
2		tchcph.v	. . . . . . 7 |- V = ( Base ` W )
3		tchcph.f	. . . . . . 7 |- F = (Scalar ` W )
4		tchcph.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> W e. PreHil )
5		tchcph.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F = (ℂfld ↾s K ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tchclm 23031	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. CMod )
7		tchcph.k	. . . . . . 7 |- K = ( Base ` F )
8	3, 7	clmsscn 22879	. . . . . 6 |- ( W e. CMod -> K C_ CC )
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> K C_ CC )
10		tchcphlem2.3	. . . . 5 |- ( ph -> X e. K )
11	9, 10	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> X e. CC )
12	11	cjmulrcld 13946	. . 3 |- ( ph -> ( X x. ( * ` X ) ) e. RR )
13	11	cjmulge0d 13948	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( X x. ( * ` X ) ) )
14		tchcphlem2.4	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
15		tchcph.h	. . . . 5 |- ., = ( .i ` W )
16	1, 2, 3, 4, 5, 15	tchcphlem3 23032	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y e. V ) -> ( Y ., Y ) e. RR )
17	14, 16	mpdan 702	. . 3 |- ( ph -> ( Y ., Y ) e. RR )
18		tchcph.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> 0 <_ ( x ., x ) )
19	18	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. V 0 <_ ( x ., x ) )
20		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( x = Y /\ x = Y ) -> ( x ., x ) = ( Y ., Y ) )
21	20	anidms 677	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x ., x ) = ( Y ., Y ) )
22	21	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( 0 <_ ( x ., x ) <-> 0 <_ ( Y ., Y ) ) )
23	22	rspcv 3305	. . . 4 |- ( Y e. V -> ( A. x e. V 0 <_ ( x ., x ) -> 0 <_ ( Y ., Y ) ) )
24	14, 19, 23	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ ( Y ., Y ) )
25	12, 13, 17, 24	sqrtmuld 14163	. 2 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( X x. ( * ` X ) ) x. ( Y ., Y ) ) ) = ( ( sqr ` ( X x. ( * ` X ) ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )
26		phllmod 19975	. . . . . . 7 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
27	4, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
28		tchcph.s	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
29	2, 3, 28, 7	lmodvscl 18880	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. K /\ Y e. V ) -> ( X .x. Y ) e. V )
30	27, 10, 14, 29	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( X .x. Y ) e. V )
31		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
32		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( *r ` F ) = ( *r ` F )
33	3, 15, 2, 7, 28, 31, 32	ipassr 19991	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ ( ( X .x. Y ) e. V /\ Y e. V /\ X e. K ) ) -> ( ( X .x. Y ) ., ( X .x. Y ) ) = ( ( ( X .x. Y ) ., Y ) ( .r ` F ) ( ( *r ` F ) ` X ) ) )
34	4, 30, 14, 10, 33	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) ., ( X .x. Y ) ) = ( ( ( X .x. Y ) ., Y ) ( .r ` F ) ( ( *r ` F ) ` X ) ) )
35	3	clmmul 22875	. . . . . 6 |- ( W e. CMod -> x. = ( .r ` F ) )
36	6, 35	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> x. = ( .r ` F ) )
37	36	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X x. ( Y ., Y ) ) = ( X ( .r ` F ) ( Y ., Y ) ) )
38	3, 15, 2, 7, 28, 31	ipass 19990	. . . . . . 7 |- ( ( W e. PreHil /\ ( X e. K /\ Y e. V /\ Y e. V ) ) -> ( ( X .x. Y ) ., Y ) = ( X ( .r ` F ) ( Y ., Y ) ) )
39	4, 10, 14, 14, 38	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) ., Y ) = ( X ( .r ` F ) ( Y ., Y ) ) )
40	37, 39	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ph -> ( X x. ( Y ., Y ) ) = ( ( X .x. Y ) ., Y ) )
41	3	clmcj 22876	. . . . . . 7 |- ( W e. CMod -> * = ( *r ` F ) )
42	6, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> * = ( *r ` F ) )
43	42	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ph -> ( * ` X ) = ( ( *r ` F ) ` X ) )
44	36, 40, 43	oveq123d 6671	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X x. ( Y ., Y ) ) x. ( * ` X ) ) = ( ( ( X .x. Y ) ., Y ) ( .r ` F ) ( ( *r ` F ) ` X ) ) )
45	17	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y ., Y ) e. CC )
46	11	cjcld 13936	. . . . 5 |- ( ph -> ( * ` X ) e. CC )
47	11, 45, 46	mul32d 10246	. . . 4 |- ( ph -> ( ( X x. ( Y ., Y ) ) x. ( * ` X ) ) = ( ( X x. ( * ` X ) ) x. ( Y ., Y ) ) )
48	34, 44, 47	3eqtr2d 2662	. . 3 |- ( ph -> ( ( X .x. Y ) ., ( X .x. Y ) ) = ( ( X x. ( * ` X ) ) x. ( Y ., Y ) ) )
49	48	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( X .x. Y ) ., ( X .x. Y ) ) ) = ( sqr ` ( ( X x. ( * ` X ) ) x. ( Y ., Y ) ) ) )
50		absval 13978	. . . 4 |- ( X e. CC -> ( abs ` X ) = ( sqr ` ( X x. ( * ` X ) ) ) )
51	11, 50	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` X ) = ( sqr ` ( X x. ( * ` X ) ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) = ( ( sqr ` ( X x. ( * ` X ) ) ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )
53	25, 49, 52	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( sqr ` ( ( X .x. Y ) ., ( X .x. Y ) ) ) = ( ( abs ` X ) x. ( sqr ` ( Y ., Y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   *ccj 13836   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .rcmulr 15942   *rcstv 15943  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   .icip 15946   LModclmod 18863  ℂ_fldccnfld 19746   PreHilcphl 19969  CModcclm 22862  toCHilctch 22967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-phl 19971  df-clm 22863

This theorem is referenced by:  tchcph  23036